专题02 平面向量与复数（5大考点）（黑吉辽蒙专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题02 平面向量与复数 5大考点概览 考点01平面向量的基本定理及坐标表示 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的数量积 考点04数系的扩充与复数的概念 考点05复数代数形式的四则运算 1．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知向量，，若，则（    ）平面向量的基本定理及坐标表示 运算 考点1 A． B． C．5 D．20 2．（2026·三省三校·一模）若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ）平面向量的线性运算 考点2 A． B． C． D． 1．（2026·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ）平面向量的数量积 考点3 A． B．3 C． D． 2．（2026·吉林长春·一模）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026黑龙江哈九中·一模）若向量满足，且，则的值为______. 4．（2026·黑龙江研远联合·一模）设，，则与的夹角________． 5．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 7．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 数系的扩充与复数的概念 考点4 1．（2026·黑龙江哈三中·一模）已知复数为纯虚数，则实数（   ） A．1 B． C．0 D．1或 2．（2026·辽宁沈阳·一模）若复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 3．（2026·吉林长春·一模）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 4．（2026·三省三校·一模）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 复数代数形式的四则运算 考点5 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．1 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）复数，则（    ） A． B． C．2 D．1 5．（2026·黑龙江·一模）计算（   ） A． B． C． D． 6．（2026·黑龙江研远联合·一模）下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·辽宁大连·一模）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知复数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2026·吉林白山·一模）（多选）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02平面向量与复数 考点1 平面向量的基本定理及坐标表示 1.B 2. aD 考点2 平面向量的线性运算 1.C D 考点3 平面向量的数量积 1.D 2.D 3.5 4 5.B 6 7.C 8.C 考点4 数系的扩充与复数的概念 1.B 2.A 3.B 4.C 考点5 复数代数形式的四则运算 1.-2 2.A 3.B 4.D. 5.D 6.A 1/2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.B 8.A. 9.AB 2/2 专题02 平面向量与复数 5大考点概览 考点01平面向量的基本定理及坐标表示 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的数量积 考点04数系的扩充与复数的概念 考点05复数代数形式的四则运算 1．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知向量，，若，则（    ）平面向量的基本定理及坐标表示 运算 考点1 A． B． C．5 D．20 【答案】B 【分析】根据求出，再用模的坐标表示求解即可. 【详解】向量，，由，得，则， 所以. 故选：B 2．（2026·三省三校·一模）若向量，满足，，且，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【分析】根据，求出，再结合投影向量的定义得出答案. 【详解】因为，则，解得， 由于，所以在方向上的投影向量即为， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，则（    ）平面向量的线性运算 考点2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算即可求解. 【详解】四边形ABCD 为平行四边形， 所以，, 所以. 故选：C 1．（2026·吉林白山·一模）已知向量，，且，则（   ）平面向量的数量积 考点3 A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可. 【详解】，， ， 故选：D 2．（2026·吉林长春·一模）已知向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量数量积坐标运算等于0可得方程，解出即可. 【详解】因为 ， 所以， 解得：. 故选：D 3．（2026黑龙江哈九中·一模）若向量满足，且，则的值为______. 【答案】 【分析】先利用向量的数量积的运算律得，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可. 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 故答案为： 4．（2026·黑龙江研远联合·一模）设，，则与的夹角________． 【答案】 【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角. 【详解】因为，， 设与的夹角为，， 所以，所以． 故答案为：． 5．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量，满足，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角. 【详解】因为， 所以，解得， 所以， 所以，又， 所以向量与的夹角为， 故选：B 6．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形的边长为2，且F为AD边中点，与交于点，则________． 【答案】/ 【分析】以为基底表示，结合向量的数量积运算求得正确答案. 【详解】在正方形中，因为为AD中点，所以，且， 则， 则 . 7．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）在直角三角形中，斜边的中点为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】以为基底向量得到向量，然后即可求得. 【详解】，∵为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在直角中，，∴， ∴. 故选：C 8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道与两个固定反光点和（为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个反光点之间的能量耦合值W，W定义为与的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积求出，几何意义为点P与原点的距离的平方减1，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设，坐标原点为 ， 则，， 即 即，当最小时W最小， 原点到直线的距离为， 所以， 所以. 数系的扩充与复数的概念 考点4 1．（2026·黑龙江哈三中·一模）已知复数为纯虚数，则实数（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】B 【分析】由纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得. 故选：B. 2．（2026·辽宁沈阳·一模）若复数是纯虚数，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断. 【详解】，则，有. 故选：A 3．（2026·吉林长春·一模）复数的虚部是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得. 【详解】， 所以复数的虚部是1. 故选：B 4．（2026·三省三校·一模）复数的共轭复数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】， 所以共轭复数为， 故选：C 复数代数形式的四则运算 考点5 1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知复数满足，（其中为虚数单位），则复数的虚部为______. 【答案】 【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可. 【详解】， . 故复数的虚部为. 故答案为：. 2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到，再由共轭复数得到. 【详解】，所以， 故选：A 3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解. 【详解】复数，则. 4．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）复数，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算化简复数，从而根据模长公式得. 【详解】复数， 故. 故选：D. 5．（2026·黑龙江·一模）计算（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数运算法则计算即可得. 【详解】. 6．（2026·黑龙江研远联合·一模）下列选项中，与复数（i为虚数单位）相等的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数除法法则计算出，得到答案. 【详解】． 故选：A 7．（2026·辽宁大连·一模）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的除法运算及复数的模计算可得. 【详解】，， ， ，故选：B 8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知复数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算将转化为，若，则，利用这个公式求出. 【详解】， . 故选：A. 9．（2026·吉林白山·一模）（多选）已知复数z满足，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】AB 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， A，复数的虚部为，正确； B，由，得，则复数在复平面内对应的点为位于第三象限，正确； C，由复数模的计算公式，可得，错误； D，因为复数和都是虚数，不能比较大小，错误. 故选：AB 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $