第9章《平面向量》同步单元必刷卷【基础卷】-2025-2026学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第9章《平面向量》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】对于非零向量，若，则同向，不一定有；若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件.故选：C 2．下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【详解】依题意，，①正确；假定，则，即，因此，无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确.故选：A 3．在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析可得， 于是． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，且有，则，解得. 5．在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 【答案】B 【分析】由可得四边形是平行四边形，又，根据矩形的判定定理可得结果. 【详解】由得，所以四边形是平行四边形. 因为，即平行四边形的对角线相等，所以平行四边形是矩形. 如图， 故选：B. 6．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【详解】设点B是长江对岸一点，与江岸垂直，当汽车实际沿方向行驶时，航程最短. 设汽车的速度，水流的速度，实际速度. 由图可知， . 则航行时间为（min）. 7．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意可得与的夹角，然后表示，利用二次函数的性质计算即可. 【详解】由题可知：设，则， ， 又的最小值为，则的最小值为3， 所以当时，有，又，所以. 设，则， 所以， 当时，有最小值为. 故选：C 8．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，所以， 故向量在向量上的投影向量为. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则，所以或当时，，C错； 对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对. 故选：ABD. 10．在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】由点在线段上可设，.根据题意可得，，∴.结合平面向量基本定理即可得到，逐项判断即可求解. 【详解】∵点在线段上，∴设，. 又点，分别在和上，且满足，， ∴，，∴. 又，∴，即. 故选项A，C，D正确，选项B错误. 故选：ACD. 11．已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】ABD 【详解】由正六边形的性质得：，则，， ，而表示在上的投影， 当点P在C处时，投影最大为，当点P在F处时，投影最小为0，所以的取值范围为，故A、B、D正确，C错误. 故选：ABD. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为__________. 【答案】3 【分析】直接根据向量的模长公式积及夹角公式求解即可. 【详解】已知，，解得：. 设向量与的夹角为 当时，，， 可得：，即与的夹角为钝角，不符合题意； 当时，，， 可得：，即与的夹角为锐角，符合题意； 故答案为： 13．若为的重心，则____________． 【答案】 【详解】如图所示，延长至交于使得，则由重心性质知为中点，又为中点，故四边形为平行四边形．所以．又因为，则 所以． 14．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是_________． 【答案】 【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，   ∵， ∴有， ∴，设，因此有，∵， ∴有，而， ∴，当时，有最大值，当有最小值0， ∴的取值范围是.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，. 【答案】,【详解】依题意，，则， 在中，，， ； . 16．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 17．如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 【答案】（1）证明见解析；（2）点C在BG的中点. 【详解】以B为原点，BE所在所在直线为x轴，以BG所在直线为y轴，建立直角坐标系．设，，且a<b， ∴、、，，∴，， ∴，∴，即． （2）易知，， ∴，当且仅当时取等号， ∴点C在BG的中点时，最小． 18．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）若，则与的夹角为0或． 所以或． （2）因为 ， 所以． （3）若，则，即， 所以， 即，所以， 又，所以． 19．如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. (1)求向量在坐标系中的坐标； (2)若，，求向量在坐标系中的坐标； (3)求的最小值. 【答案】(1)(2) (3). 【详解】（1）由可得. 即.即向量在坐标系中的坐标为； （2）若，则.所以. 因为，.即. 解得，所以向量在坐标系中的坐标为； （3）因为，；所以；当，即时，取得最小值，最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章《平面向量》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 3．在菱形中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（    ） A． B．7 C． D． 5．在四边形中，若，，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 6．2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（    ）时间（单位：min） A． B． C．6 D．12 7．已知中，，，且的最小值为，若P为边上任意一点，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 8．已知向量和满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 10．在中，点，分别在和上，且满足，，点在线段上，且，则下列各组数据适合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 11．已知正六边形ABCDEF的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值可以为（    ） A．0 B． C． D．3 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，若与的夹角为锐角，且，则实数的值为__________. 13．若为的重心，则____________． 14．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，. 16．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 17．如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H． （1）证明：； （2）当点C在BG的什么位置时，最小？ 18．已知． (1)若，求； (2)若，的夹角为，求； (3)若，求与的夹角为． 19．如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. (1)求向量在坐标系中的坐标； (2)若，，求向量在坐标系中的坐标； (3)求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $