第4讲：向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示【九大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第4讲：向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识二： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识三　平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识四　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识五　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识六：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：用坐标表示向量 【例1】．（24-25高一下·全国）如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】应用基底表示向量再结合向量的坐标表示得出向量的坐标即可. 【详解】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 【举一反三】 1．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】． 故选：B 2．（20-21高一下·全国·课后作业）已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标． 【答案】；；；. 【分析】根据给定条件求出正各顶点坐标，再利用坐标表示向量即可得解. 【详解】由所给图形，正的边长为2，则顶点，线段中点， 所以，，，． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，设对角线，． (1)试用基表示，； (2)求向量，在基下的坐标． 【答案】(1)，． (2)在基下的坐标为，向量在基下的坐标为． 【分析】（1）通过向量加法、减法、数量积运算，或通过列方程组的方法来求得，. （2）由（1）来求得向量，在基下的坐标. 【详解】（1）方法一  由题意知，，， 所以，． 方法二  设，，则， 又，则，所以 即，． （2）由（1）知向量在基下的坐标为， 向量在基下的坐标为． 题型二：平面向量线性运算的坐标表示 【例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知平面向量，． (1)求及其模的大小； (2)若，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据平面向量运算的坐标表示及向量的模的运算计算即可； （2）根据平面向量运算、数量积的坐标表示及向量的模的运算计算即可. 【详解】（1）因为，， 所以， ． （2）因为，， 则， 所以， 所以． 【举一反三】 1．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则_________． 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算得出的坐标，再根据求模公式计算. 【详解】法1：由题意可得，， ， 故，， 故. 法2：由题意可得，. 故答案为： 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知点，，. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，然后再求其模； （2）利用向量的夹角公式直接求解即可. 【详解】（1）因为点，，， 所以， 所以 所以 （2）因为，， 所以. 3．（2026高一·全国·专题练习）（1）设平面向量.求的坐标和模的大小. （2）已知向量．若，求． 【答案】（1），；（2）5或 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示可直接求出坐标，进而求出模. （2）根据题意，结合向量模长和数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以，即， 解得或． 当时，． 当时，． 综上，5或. 题型三：利用坐标求向量的模 【例3】．（23-24高三上·陕西榆林·月考）已知平面向量，则___________. 【答案】 【分析】先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则__________. 【答案】 【分析】根据平面垂直向量的坐标运算求出，利用平面向量模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 即. 所以， 所以. 故答案为：. 2．（22-23高一下·福建福州·期中）已知向量，满足，，，则______. 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【详解】向量，满足，，，则， ，整理得，即， 所以. 故答案为：4 3．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数______． 【答案】±1 【分析】利用向量的坐标运算、向量的模长公式求解即可． 【详解】由题意，得，所以，解得． 故答案为：±1. 题型四：由向量线性运算结果求参数 【例4】．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】设出向量，的坐标，根据条件列出坐标方程，即可解出，的坐标，即可进一步列出含参数的坐标方程，从而解出参数，. 【详解】设，，又，， 所以，且， 解得，，即，.所以，则，解得，故. 故选：B. 【举一反三】 1．（22-23高一下·山东菏泽·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，标注相关点的坐标，进而可得坐标，结合，应用向量线性运算的坐标表示列方程求出即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，设，又为的中点，    ∴，则， 由，得：， ∴，解得，则 故选：B. 2．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）    A． B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，求得相关向量的坐标，根据，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为x轴，过点A作的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则, 故, 则由可得， 即， 故， 故选：A 3．（2023·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建立坐标系，利用平面向量的坐标法求解. 【详解】以AC所在直线为x轴，AC的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系（点D在x轴上方）， 设，则， ， 因为，所以 所以，解得，所以. 故选：A. 题型五：由向量平行（共线）求参数 【例5】．（25-26高三上·浙江·期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义及向量共线判断求解. 【详解】若，则，，即向量共线， 所以“”是“向量共线”的充分条件； 若“共线”，则，解得或， 所以“”不是“向量共线”的必要条件. 所以“”是“向量共线”的充分不必要条件. 故选：A. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【分析】法一：由共线判定定理即可求解，法二：由向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】方法一：依题意可设（）， 则， 所以解得， 故选：B. 方法二：因为， 所以，解得或. 根据向量，方向相反可知， 当时，，符合题意. 当时，，，两向量方向相同，不符合题意，舍去. 故选：B 2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【详解】已知，，则，对于①，，故向量与平行；对于②，，故向量与平行；对于③，，故向量与平行；对于④，由于，故向量与不平行； 所以与平行的向量是①②③中的向量．故选：C． 3．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C. 题型六：平面向量线性运算解决几何问题 【例6】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为坐标原点，建立平面直角坐标系，求出，由数量积的坐标表示即可得出答案; （2）由向量的线性运算求出，由点的轨迹求出的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）由题意，以为坐标原点，建立平面直角坐标系， 所以， 由，可得，所以， 所以.    （2） ， 当时，点的轨迹表示以为圆心，为半径的圆， 所以， ， 所以的取值范围为：. 【举一反三】 1．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】构建以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求，，得到两个关系式，即可求值； 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 因为， ， 化简，即 化简得，即 所以，即, 故选：B. 2．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 3、（22-23高三上·天津和平·月考）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 【答案】C 【分析】选择合适的位置建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，逐项验证即可. 【详解】由题意，分别以 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 在正八边形中， 由 过作 因为，所以， 所以 对A选项：， 故A正确， 对B选项：，故B正确， 对C选项： 所以 所以，故C不正确， 对D选项： 所以在方向上的投影向量为： ，故D正确 故选：C. 题型七：由向量线性运算解决最值和范围问题 【例7】．（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 【举一反三】 1．（23-24高一下·广东韶关·月考）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【详解】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值. 【详解】设、、， 则、、， 由，则有，即， 由，有，故，即， 即有，且， 则， 由，故当时，有最大值， 且的最大值为. 故选：D. 3．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 题型八：平面向量坐标解决平行和长度问题 【例8】．（23-24高一下·山西运城·月考）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）建立适当的平面直角坐标系，求出的坐标，由向量坐标的数量积公式即可求解； （2）首先由，，得出点满足的两条直线方程，联立得的坐标，进一步由，对分类讨论即可求出它的位置，由向量模的坐标公式即可求解. 【详解】（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系． 则，，，， 所以，， 所以． （2）设， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为，，， 所以，所以， 所以，所以，，所以． 由题得，又，由图易知，点P在线段上或线段， ①若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． ②若P在上，设，，，，则， 解得， 所以，． 综上，的长度为或． 【举一反三】 1．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】由得，即，，， ，， 与同向的单位向量为，反向的单位向量为． 故选：C． 2．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图.令，则，因为，，所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，，所以，即. （2）因为M为的中点，所以，所以，， 所以，所以.又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 【答案】(1) (2) 【详解】（1）以点为坐标原点，分别以，方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，，，，， 则，，， 由可得：，所以，解得，因此； （2）设，因为三点共线，所以则存在唯一实数，使得，则，可得，，即，又三点共线，且，，则， 所以，解得， 则，所以，所以，所以线段的长. 题型九：平面向量坐标的综合问题 【例9】．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用平行四边形得出，再应用平面向量夹角余弦公式计算求解； （2）设，应用平面向量的坐标运算结合数量积坐标运算求解. 【详解】（1）由题意得． 因为四边形是平行四边形， 所以 因为，所以． （2）设，其中，则． ， 故的取值范围是． 2．（25-26高三上·福建福州·期中）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，，，由，可得出，结合，可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）化简得到，根据得到，再结合三角形相似可得到答案. 【详解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【详解】（1）因为，， 所以 ，又三点共线，所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以，由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以， 所以， 所以，所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，则，所以，所以，所以，则，所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量运算的坐标表示列式求解. 【详解】依题意，与的方向相反，又，则， 设，因，则，因此，解得， 故点的坐标为. 故选：A 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 【答案】C 【分析】应用向量平行的坐标关系计算求解. 【详解】因为向量，又因为， 所以， 即，解得或. 故选：C. 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两向量垂直的坐标关系求出，再利用向量模长的计算公式求解. 【详解】，所以，所以， 所以. 故选：A 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量的投影向量公式进行求解． 【详解】向量在方向上的投影向量为． 故选：B 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 6．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定三角形形状，再建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量数量积的坐标表示求解. 【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 故选：C 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算求. 【详解】以为原点建立平面直角坐标系，如图：    设（），则，所以，， 所以，， 由，又，所以. 所以. 故选：B 8．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，根据平面向量数量积坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，    则，，，设， ，， 则. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于ABC，根据平面向量的基本知识即可求解；对于D，求出在方向上的投影向量表达式，再根据表达式求解即可． 【详解】对于A，， ，故A正确； 对于B，， ， 因为， 所以与不平行，故B错误； 对于C，设向量与的夹角为， ， ， ， 又，所以，故C正确； 对于D，设和的夹角为， 则向量在方向上的投影向量为， ，， 则，故D错误． 故选：AC． 10．（25-26高二上·广东江门·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】对A，根据条件，利用模长的计算公式，即可求解；对B，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对C，利用向量的夹角公式，即可求解；对D，根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，所以A正确， 对于B，因为，，则，则， 所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为在方向上的投影向量的坐标为，所以D正确， 故选：ACD. 11．（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【分析】对于AB，结合题干条件，利用向量的模长公式以及数量积的运算律求得，代入夹角公式即可求解余弦值；对于C，由向量垂直的充要条件即可判断；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于AB，因为，所以，又，， 所以，所以， 所以向量与的夹角的余弦值为，故A正确；B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 12．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，M为BC上靠近B的三等分点，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．若AM交BO于点N，，则 C．的最大值为5 D．若点Q为此半圆弧上的另一个动点，且满足，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】由平面向量的线性运算可判断A；由平面向量共线的推论求解判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；根据平面向量数量积的定义及运算律求解判断D. 【详解】对于A，，故A正确；    对于B，由， 因为三点共线，则， 由 因为三点共线，则，解得， 则，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设，， 则， 所以， 当时，取得最大值5，此时，满足题意， 则的最大值为5，故C正确；    对于D，由于都在半圆上，且， 则，即， 而，， 则， 又， 则 ， 当时，取得最大值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 【答案】 【分析】由与，利用向量的运算法则，即可求解. 【详解】， 因为点是的中点， 所以，所以． 因为，所以． 故答案为： 14．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 【答案】 【分析】由题意可得，进而求得，利用可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以， 所以，所以，又， 所以. 故答案为：. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设为坐标原点，由结合向量减法的三角形法则将用表示，将用表示，利用向量的坐标公式求解即可得到点的坐标．由且在的延长线上得到．设，利用向量的坐标公式得到的方程组，解得的值，从而得到点的坐标. 【详解】设为坐标原点，，．． 点的坐标为． 又，且在的延长线上，． 设，则， 得，得， ∴点的坐标为. 故答案为：，. 16．（2026高一·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 【答案】11 【分析】建立直角坐标系，将“求的最小值”转化成“求函数最小值”，利用二次函数给定区间上的最值求解方法求解即可. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， . ， ，. 设，则（其中）， ， ， 当且仅当时，等号成立. 所以，当时，取得最小值11. 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量夹角的坐标表示求解. （2）利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律列式求解. 【详解】（1）由，得， 设与的夹角为，则， 所以与夹角的余弦值为. （2）由，得， 即，而， 则，所以． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】方法一，利用基底，，表示向量和，再根据向量数量积运算公式证明；方法二，建立平面直角坐标系，利用坐标法，证明. 【详解】（方法一）设，，则，， 又，， 所以 故，即． （方法二）建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则，，，，，． 因为，所以，即． 19．（25-26高三上·河北保定·期中）在直角中，点为斜边上的一点且满足，点为的中点，若设，且. (1)用表示； (2)求的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先得到，进而根据和求出答案； （2）建立平面直角坐标系，得到各点的坐标，求出和，利用夹角余弦公式得到答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 因为点为的中点，所以， 所以， ； （2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，    则，由（1）知， 故， 所以， 所以， ， 因为的夹角是， 所以 所以的余弦值是 20．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形，由向量的线性运算可得，结合，列方程组求解即得； （2）由题意可得为等边三角形，以为坐标原点建系，设，表示出相关向量，利用向量数量积的坐标公式代入，计算即得. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，解得. （2）由四边形为菱形，，为等边三角形， 以为坐标原点，以为轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则， 则， 则， 由，可得， 解得， 又，则， 即实数的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲：向量的坐标表示和运算 向量平行的坐标表示 【考点梳理】 【知识梳理】 知识一：平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知识二： 平面向量的坐标表示 1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).，在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 知识三　平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 知识四　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识五　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.，则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 知识六：平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.则a·b＝x1x2＋y1y2. (1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝. 若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝. (2)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)cos θ＝＝. 技巧：向量夹角问题的方法及注意事项 (1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ. (2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°. 【题型归纳】 题型一：用坐标表示向量 【例1】．（24-25高一下·全国）如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【举一反三】 1．（24-25高一下·江西上饶·期中）已知点，，则（   ） A． B． C． D． 2．（20-21高一下·全国·课后作业）已知边长为2的正三角形，顶点A在坐标原点，边在x轴上，C在第一象限，D为的中点，分别求向量的坐标． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在平行四边形中，设对角线，． (1)试用基表示，； (2)求向量，在基下的坐标． 题型二：平面向量线性运算的坐标表示 【例2】．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知平面向量，． (1)求及其模的大小； (2)若，求． 【举一反三】 1．（2025·四川乐山·模拟预测）已知向量，满足，，则_________． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知点，，. (1)求； (2)求. 3．（2026高一·全国·专题练习）（1）设平面向量.求的坐标和模的大小. （2）已知向量．若，求． 题型三：利用坐标求向量的模 【例3】．（23-24高三上·陕西榆林·月考）已知平面向量，则___________. 【举一反三】 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知向量，且，则__________. 2．（22-23高一下·福建福州·期中）已知向量，满足，，，则______. 3．（2023·河南·模拟预测）已知向量，，且，则实数______． 题型四：由向量线性运算结果求参数 【例4】．（22-23高一下·四川眉山·期中）已知向量满足，，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D． 【举一反三】 1．（22-23高一下·山东菏泽·期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，若E为AF的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·内蒙古赤峰·三模）如图，在四边形ABCD中，，，，，，，则（    ）    A． B．2 C．3 D．6 3．（2023·江西·模拟预测）在平面四边形ABCD中，，若，则（　　） A． B．2 C． D． 题型五：由向量平行（共线）求参数 【例5】．（25-26高三上·浙江·期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 2．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，有下列向量：①；②；③；④．其中，与平行的向量是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 3．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型六：平面向量线性运算解决几何问题 【例6】．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如图，已知是直角边长为2的等腰所在平面内一点，是的中点，是的中点.    (1)当时，求的值； (2)当时，求的取值范围. 【举一反三】 1．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）已知平面四边形，，若，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24高一下·河南郑州·期中）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 3、（22-23高三上·天津和平·月考）如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼.其平面图形记为图乙中的正八边形，其中，则以下结论错误的是（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 题型七：由向量线性运算解决最值和范围问题 【例7】．（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24高一下·广东韶关·月考）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 2．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 题型八：平面向量坐标解决平行和长度问题 【例8】．（23-24高一下·山西运城·月考）如图，正方形的边长为6，E是的中点，F是边上靠近点B的三等分点，与交于点M． (1)求的值； (2)已知点P是正方形四条边上的动点，若，求的长度． 【举一反三】 1．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知为坐标原点，，若、，则与共线的单位向量为（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 3．（24-25高一下·江苏淮安·月考）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点. (1)若，则的值 (2)若交于点，求线段的长 题型九：平面向量坐标的综合问题 【例9】．（25-26高一上·浙江金华·期末）如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【举一反三】 1．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 2．（25-26高三上·福建福州·期中）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知向量，且，则（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．或 3．（25-26高一上·江苏南京·期末）若向量与垂直，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 7．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，直角梯形，，，，分别为的中点，满足，则为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 8．（25-26高三上·北京昌平·期末）已知正方形的边长为1，为线段的中点，为边上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知向量，，则（    ） A． B． C．向量与的夹角为 D．向量在方向上的投影向量为 10．（25-26高二上·广东江门·月考）设向量，，下列结论正确的是（    ） A． B． C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为 11．（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 12．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，是边长为2的等边三角形，M为BC上靠近B的三等分点，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（    ）    A． B．若AM交BO于点N，，则 C．的最大值为5 D．若点Q为此半圆弧上的另一个动点，且满足，则的最大值为 三、填空题 13．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，点在上，且，点是的中点，若，，则____________．． 14．（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则__________. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）平面上有，，三点，点在直线上，且，连接并延长至点，使，则点的坐标为____________，点的坐标为____________． 16．（2026高一·全国·专题练习）如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 四、解答题 17．（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 18．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在正方形中，，分别是，的中点，求证：． 19．（25-26高三上·河北保定·期中）在直角中，点为斜边上的一点且满足，点为的中点，若设，且. (1)用表示； (2)求的余弦值. 20．（24-25高一下·云南曲靖）如图，已知菱形中，点为线段上一点，且． (1)若，，求x，y的值； (2)若，且，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $