第05讲 正弦定理与余弦定理的应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第05讲正余弦定理的应用 【题型1】射影定理 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 【针对训练】 1．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 3．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 【详解】由三角形中的射影定理,结合已知条件，可得, 又∵，∴，由，可得， 解得(负值舍去)，∴三角形的面积为， 故答案为：. 4．在中，角A，，所对的边分别为，，，已知 (1)求角的大小， (2)若，求面积的最大值，并求出此时对应，的值． 【详解】（1）由，得 所以 所以，即 因为，所以 （2）由余弦定理得： 所以 所以 所以， 当且仅当时，有最大值 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：是等腰三角形； (2)若的面积为，且，求的周长． 【详解】（1）在中，， 由射影定理得，， 所以是等腰三角形． （2）在中，因且，则， 又，即，由(1)知，则有， 在中，由余弦定理得：，解得， 又，则a，b，c能构成三角形，符合题意，， 所以的周长为. 6．已知中，角、、的对边分别是、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【详解】(1)在中，由射影定理及得：， 整理得，而，解得，又，于是得， 所以角的大小为； (2)在中，由余弦定理得：， 整理得，而，解得，则， 所以的面积为. 【题型2】多三角形问题 例题1．在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【详解】（1），，， 由得，. （2）由（1）得，， ，或（舍去）， 的面积. （3）设， 则，， ， . 【针对训练】 1．在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 【详解】（1）因为，如下图： 设，则，可得， 所以，. 设，则， 在中，由正弦定理得，，则， 因为，所以， 所以. （2）方法一： 由（1）知，，则，所以. 在中，由余弦定理得， ， 所以． 方法二： 由（1）知，，则，所以，. 所以，在中，由勾股定理得． 2．记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【详解】（1）因为， 则， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则， 可得，即， 若，所以. （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： ， 即， 则， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 【题型3】利用正余弦定理证明三角形中的恒等式或不等式 例题1．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 【详解】由余弦定理得 ，， 得， 即， 变形得， 由正弦定理，得，， 即. 则等式成立. 【针对训练】 1．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 【详解】（1）证明：因为， 所以由题得，即， 由余弦定理可得，所以． （2）由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 【详解】（1）由正弦定理，得， ， ， ， ，即， ，即； （2）由（1）及题设有，又， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 显然有，则， 整理得，即，又， 所以，从而， 的周长为. 4．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 5．在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【详解】（1）在中,所以是锐角，. 由，可得，而， 所以， 可得，则， 故； （2）由（1）易知，则， 由（1）及余弦定理有， 所以，又，则. 【题型4】高度测量问题 例题1．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【详解】由题知，设， 则，， 所以， 解得. 所以. 例题2．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 【针对训练】 1．三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 【详解】如图，过C作，过B作， 故， 由题易知为等腰直角三角形，所以． 所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， ， 而， 所以， 所以. 故答案为：373. 2．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 【详解】由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 3．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 【题型5】角度测量问题 例题1．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 【针对训练】 1．美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，得 ，，，，. 设，则， 在中，， 由正弦定理，得，即，解得 所以. 故选：B. 2．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知，所以， 在中，由正弦定理可得， 因为处测得塔尖的仰角为，即， 则在中，龙洲塔高度为. 故选：C. 3．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 4．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 【详解】由题意可知， ∵，∴， 从而可知灯塔在灯塔的北偏西． 故选：B 5．某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则 ． 【详解】如图，、分别为杆，、为平行的阳光，、分别为杆的影子， 设阳光与水平面所成角为，则， ，， 在中，由正弦定理可得 即， 由可得，， 代入可得，，， 则， 故答案为：. 【题型6】距离测量问题 例题1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距 m． 【详解】设炮台顶部为点，炮台底部（在水面上）为点，水面上的两条船分别为点、； 由题意：炮台高度，且水面（即，）； 由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）； 由看的俯角为，故（根据平行线性质，俯角等于仰角）； 两船与炮台底部的夹角； 中，，代入已知条件：，因，故：， 在中，，代入已知条件：， 因，故：， 在中，已知，，， 由余弦定理：， 代入数值计算：， 因距离为正，故：， 两条船之间的距离为. 故答案为： 【针对训练】 1．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛离开公路的距离是 km． 【详解】如图所示，设汽车所在位置分别为，，小岛所在位置为，则， ，，． 因为 在中，由 得． 设到直线的距离为， . 则，即小岛离开公路的距离为． 故选： 2．某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 【详解】（1）因为，所以. 所以，所以. 在中，根据正弦定理，，即， 解得. （2）在中，根据余弦定理，， 化简得，由于，所以解得米. 因为，在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 在中，根据余弦定理， 化简得，解得米. 3．一艘轮船在大海航行到达处时，望见北偏东方向有一座灯塔，此时船和灯塔相距海里，然后船沿北偏东的方向航行到达处，望见灯塔在船的正东方向，如图所示，求处到灯塔的距离.    【详解】由题意可得，海里， 因为在点的正东方向，故，    在中，，，，海里， 由正弦定理可得，故海里. 因此处到灯塔的距离为海里. 4．某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) (1)求的面积； (2)求点之间的距离. 【详解】（1）在中，，，则. 因为，， 所以由正弦定理得， 所以的面积为； （2）在中，，， 则，， 因此，. 在中，由余弦定理 ， 因此. 5．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以. 又两处相距米，故，所以的长为米. （2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为， 可得，则. 由（1）知，由，得， 由，得. 在中，由，得. 在中，由余弦定理得. 故在处观测到、两点的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲正余弦定理的应用 【题型1】射影定理 1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【针对训练】 1．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 2．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 3．在中，内角，，的对边分别是，，，，，若，则的面积为 . 4．在中，角A，，所对的边分别为，，，已知 (1)求角的大小， (2)若，求面积的最大值，并求出此时对应，的值． 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)证明：是等腰三角形； (2)若的面积为，且，求的周长． 6．已知中，角、、的对边分别是、、，已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【题型2】多三角形问题 例题1．3．在中，，. (1)求； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，求的角平分线的长. 【针对训练】 1．在中，，点在延长线上，． (1)求； (2)若的面积为，求线段的长度． 2．记的内角所对的边分别为，． (1)若，求； (2)若为边上的点，且，求的最小值． 【题型3】利用正余弦定理证明三角形中的恒等式或不等式 例题1．在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，.求证：. 【针对训练】 1．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)求内角的最大值． 2．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)记的中点为，若，且，求的周长． 4．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 5．在中. (1)求的值及的面积； (2)求证：. 【题型4】高度测量问题 例题1．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 例题2．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【针对训练】 1．三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A、B、C三点，且A、B、C在同一水平面上的投影、、满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A、C两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1） 2．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为 米． 3．紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为 米（精确到整数位）（）. 【题型5】角度测量问题 例题1．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．美丽的千岛湖位于浙江省淳安县境内，是“世界三大千岛湖”之一，也是国家5A级旅游景区.千岛湖有三座岛屿A，B，C，旅游公司准备在岛屿C上开发一个旅游项目，需测量其高度，由于地理位置等原因无法直接测量.如图，在岛屿B的底部测得岛屿C的顶部D处的仰角为60°，并测得岛屿C在岛屿B的北偏西75°方向上，另外测得岛屿C在岛屿A的北偏东60°方向上，岛屿B在A的正东方向600m处，且三座岛屿A，B，C在同一水平面上，则岛屿C的高度为（   ） A． B． C． D． 2．灵山江畔的龙洲塔，有“人文荟萃，学养深厚”的福地一说.如图，某同学为了测量龙洲塔的高度，在地面处测得塔在南偏东的方向上，向正南方向行走后到达D处，测得塔在南偏东的方向上，处测得塔尖的仰角为，则可得龙洲塔高度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东，灯塔B在观察站C的南偏东，则灯塔A在灯塔B的（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．北偏西 5．某斜面上有两根长为3米的垂直于水平面放置的杆子，杆子与斜面的接触点分别为，某时刻它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.5米，另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为米，斜面的底角为，则 ． 【题型6】距离测量问题 例题1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为和，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距 m． 【针对训练】 1．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西的方向上，则小岛离开公路的距离是 km． 2．某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧两地相距50米，河对岸有两地，测得米，. (1)求的值； (2)若测量后发现，求两地的距离. 3．一艘轮船在大海航行到达处时，望见北偏东方向有一座灯塔，此时船和灯塔相距海里，然后船沿北偏东的方向航行到达处，望见灯塔在船的正东方向，如图所示，求处到灯塔的距离.    4．某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观察人员分别在处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观察人员从两个观测站分别测得.(注:在同一平面内) (1)求的面积； (2)求点之间的距离. 5．如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，. (1)求观测点到树干底部点的距离的长度； (2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $