周周练02 第十九章 二次根式综合训练（数学新教材人教版八年级下册）

2025-2026学年八年级下学期数学周周练02 第十九章 二次根式综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在根式①；②；③；④；⑤中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①③⑤ 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：①是最简二次根式； ②，被开方数含有分母，不是最简二次根式； ③是最简二次根式； ④，被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式； ⑤，分母中含有二次根式，不是最简二次根式； 故选：C． 2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥3 B．x≥0 C．x＞3 D．x≠3 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件可得x﹣3≠0，即可求解． 【解答】解：∵二次根式有意义， ∴（二次根式有意义即被开方数为非负数）， ∵2＞0， ∴（x﹣3）2＞0（分式有意义即分母不为0）， ∴x﹣3≠0， ∴x≠3． 故选：D． 3．（3分）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值． 【解答】解：∵4，若是整数，则也是整数， ∴n的最小正整数值是3． 故选：B． 4．（3分）已知ab＜0，且，，则a+b结果是（　　） A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8 【分析】根据二次根式的性质求出a的值，根据ab＜0判断出b的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可得出b的值，从而计算a+b的值即可． 【解答】解：∵， ∴a＝5， ∵ab＜0， ∴b＜0， ∵， ∴﹣b＝3， ∴b＝﹣3， ∴a+b＝5+（﹣3）＝2， 故选：B． 5．（3分）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐一判断各等式的正确性． 【解答】解：根据二次根式的性质化简，二次根式的乘法与减法运算逐项分析判断如下： ①，正确，不符合题意； ②，正确，不符合题意； ③，正确，不符合题意； ④，错误，符合题意； 故选：A． 6．（3分）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【分析】先通过展开化简原式，再估算其值． 【解答】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴原式的值在3和4之间， 故选：B． 7．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．a﹣2b﹣c B．c﹣a C．﹣a+2b+c D．a﹣c 【分析】先根据数轴的定义得出a＞0，c＜b＜0，|c|＞|a|＞|b|，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得． 【解答】解：由题意得：a﹣b﹣c＝a+（﹣b）+（﹣c）＞0，b﹣a＜0， ∴原式＝a+（a﹣b﹣c）﹣（a﹣b） ＝a+a﹣b﹣c﹣a+b ＝a﹣c． 故选：D． 8．（3分）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1， ∴a＜0，b＜0， ， 当a+b＝﹣2，ab＝1，原式＝﹣1×（﹣2）＝2， 故选：B． 9．（3分）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 【分析】先设小长方形卡片的长为x cm，再结合图形得出上面的阴影长方形的周长和下面的阴影长方形的周长，再把它们加起来即可求出答案． 【解答】解：设小长方形卡片的长为xcm， 根据题意得：， ∴， 则图②中两块阴影部分周长和是： ＝20（cm）， ∴图②中两块阴影部分的周长和是20cm． 故选：A． 10．（3分）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“Φ”为当m＜n时，mΦn＝2；当m≥n时，mΦn＝2，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算（3Φ2）﹣（8Φ12）的结果为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据新定义当m＜n时，；当m≥n时，即可解答． 【解答】解：∵当m≥n时，， ∴， ∵当m＜n时，， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若与最简二次根式可以合并，则a的值为　6　 ． 【分析】先把化为最简二次根式，再根据与最简二次根式可以合并可知的被开方数与化为最简二次根式的后被开方数相同，据此求解即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣3＝3， ∴a＝6． 故答案为：6． 12．（3分）若5，8，则a2﹣2a﹣b2的值为　﹣1或19　 ． 【分析】利用二次根式的性质及立方根的定义求得a，b的值，然后代入原式计算即可． 【解答】解：若5，8， 则|a|＝5，b3＝64， 那么a＝±5，b＝4， 当a＝5，b＝4时， a2﹣2a﹣b2 ＝52﹣2×5﹣42 ＝25﹣10﹣16 ＝﹣1， 当a＝﹣5，b＝4时， a2﹣2a﹣b2 ＝（﹣5）2﹣2×（﹣5）﹣42 ＝25+10﹣16 ＝19， 综上，原式的值为﹣1或19， 故答案为：﹣1或19． 13．（3分）将（a＞0，b＞0）化为最简二次根式：　　 ． 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【解答】解：∵a＞0，b＞0， ∴． 故答案为：． 14．（3分）已知，，y﹣x的平方根是　　 ． 【分析】根据二次根式有意义的条件可得98﹣x≥0，再根据二次根式的性质可得x的值；根据二次根式有意义的条件可得，据此可得m的值，进而得出y的值，然后根据平方根的定义解答即可． 【解答】解：∵， ∴98﹣x≥0， ∴x﹣100＜0， ∴100﹣x+98﹣x＝200， 解得x＝﹣1， ∵， ∴， 解得m＝1， ∴y5， ∴y﹣x＝5+1＝6， ∴y﹣x的平方根是． 故答案为：． 15．（3分）阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积（海伦公式）．若△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝7，请利用上述公式求出△ABC的面积 　　 ． 【分析】先求出a，b，c，p的值，然后代入化简即可． 【解答】解：根据题意可知a＝4，b＝5，c＝7， ∴， ∴ ． 故答案为：． 16．（3分）若，则2a4﹣12a3﹣24a+7＝　15　 ． 【分析】利用分母有理化把a化简，利用完全平方公式得到a2﹣6a＝2，代入原式计算得到答案． 【解答】解：a3， ∴a﹣3， ∴（a﹣3）2＝11， ∴a2﹣6a+9＝11，即a2﹣6a＝2， 则2a4﹣12a3﹣24a+7 ＝2a2（a2﹣6a）﹣24a+7 ＝4a2﹣24a+7 ＝4（a2﹣6a）+7 ＝8+7 ＝15， 故答案为：15． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【解答】解：（1）原式2 ＝42 ＝4； （2）原式＝18﹣3﹣（1﹣25） ＝18﹣3﹣6+2 ＝9+2． 18．（6分）计算： （1）； （2）（a＞0）． 【分析】（1）先拆分根式除法并化简，再对分式分母有理化，最后去括号合并同类项，得出结果； （2）先利用二次根式的性质化简，再进行加减计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝8，． 【分析】先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除、加减运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【解答】解：， 当x＝8，时，原式． 20．（8分）已知，； （1）求x2+y2﹣3xy的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 【分析】（1）先进行分母有理化，再直接代入计算即可； （2）分别估算出x，y的取值范围，然后可得a，b的值，再直接代入计算即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴x2+y2﹣3xy ＝11； （2）∵， ∴，， 由（1）知，， ∴0＜x＜1，3＜y＜4， 又∵x的小数部分为a，y的小数部分为b， ∴，， ∴ ． 21．（8分）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【分析】（1）依据题意，先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）依据题意，由矩形面积公式列式计算，然后比较大小即可； 【解答】解：（1）由题意可得：正方形的边长为：， ∴，． ∴矩形ABCD木板的面积为． （2）木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为， ∴裁出长为：， 由（1）得长方形ABCD的长为宽为， ∵4，6，， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料． ∴木工乙的想法可行． 22．（8分）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 【分析】（1）根据题意，，计算求解即可； （2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可； （3）根据题意，将原式化简为，根据1≤x≤2，计算求解即可． 【解答】解：（1）原式 ． ； （2）原式 ． ＝9； （3）原式 ＝2． 23．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：． （2）若．求： ①求3a2﹣6a+2的值． ②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+2＝　1　 ，　3　 ． 【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解； （2）将a分母有理化得，移项并平方得到a2﹣2a＝1，对①，②的式子进行变形后代入求值． 【解答】解：（1） ， ＝5； （2）①∵， ∴， ∴a2﹣2a+1＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴3a2﹣6a＝3， ∴3a2﹣6a+2＝5； ②∵a3﹣3a2+a+2， ＝a3﹣2a2﹣a2+a+2， ＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+2， ∵a2﹣2a＝1， ∴原式＝a﹣a2+a+2＝﹣（a2﹣2a）+2＝﹣1+2＝1； ∵， a2﹣2a＝1， ∴原式． 故答案为：1，3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学周周练02 第十九章 二次根式综合训练 （时间：60分钟 满分：100分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）在根式①；②；③；④；⑤中，最简二次根式是（　　） A．①② B．③④ C．①③ D．①③⑤ 2．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（　　） A．x≥3 B．x≥0 C．x＞3 D．x≠3 3．（3分）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（3分）已知ab＜0，且，，则a+b结果是（　　） A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣8 5．（3分）某同学做了以下四道习题，①；②；③；④．其中做错的题有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（3分）估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．（3分）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　） A．a﹣2b﹣c B．c﹣a C．﹣a+2b+c D．a﹣c 8．（3分）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1 9．（3分）把四张形状大小完全相同，宽为1cm的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形，长为，宽为5cm盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（　　） A．20cm B． C． D． 10．（3分）我们规定：对于任意的正数m，n的运算“Φ”为当m＜n时，mΦn＝2；当m≥n时，mΦn＝2，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算（3Φ2）﹣（8Φ12）的结果为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若与最简二次根式可以合并，则a的值为　 　 ． 12．（3分）若5，8，则a2﹣2a﹣b2的值为　 　 ． 13．（3分）将（a＞0，b＞0）化为最简二次根式：　 　 ． 14．（3分）已知，，y﹣x的平方根是　 　 ． 15．（3分）阅读与计算：古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量》一书中给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积（海伦公式）．若△ABC中，BC＝4，AC＝5，AB＝7，请利用上述公式求出△ABC的面积 　 　 ． 16．（3分）若，则2a4﹣12a3﹣24a+7＝　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）计算： （1）； （2）． 18．（6分）计算： （1）； （2）（a＞0）． 19．（6分）先化简，再求值：，其中x＝8，． 20．（8分）已知，； （1）求x2+y2﹣3xy的值； （2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求的值． 21．（8分）有一块长方形木板ABCD，木工甲采用如图的方式，将木板的长AD增加（即），宽AB增加（即）．得到一个面积为192cm2的正方形AGFE． （1）求长方形木板ABCD的面积； （2）木工乙想从长方形木板ABCD中裁出一个面积为12cm2，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 22．（8分）著名数学教育家G•波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料： 数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如： ． 解决问题： （1）根据上述思路，试将予以化简； （2）根据上述思路，化简并求出的值； （3）当1≤x≤2时，化简． 23．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3， ∴a2﹣4a＝﹣1， ∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：． （2）若．求： ①求3a2﹣6a+2的值． ②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+2＝　 　 ，　 　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年八年级下学期数学周周练02 第十九章二次根式综合训练 (时间：60分钟满分：100分) 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分) 题号 2 3 4 6 7 P 9 10 答案 C D B B B D B B 二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11.6. 12.-1或19. 13.b6 14.±V6. 15.4y6、 16.15. 三.解答题（共7小题，满分52分) 17.【答案】解：(1)原式=V48÷3-×12+26 =4-6+2W6 =4+6; (2)原式=18-3-(1-25+5) =18-3-6+25 =9+25. 18【答￥1，)=反÷5-5网+5-是间 2② =4--(2-2 =2-22-2+V2 =-V2; (2)原式=2a√2a-2a2×会+3aV2a -2avV2a+3a2a 1/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =(2-方+3)av2a =号aV2a. 19.【答案】解：(xV层+V12y-(4厚-y周 =区+23-2k+3 =-区+33y 当x=8,y=时，原式=-V8+33×劳=-25+1. 20.【答案】解1x==2-5,y=2=2+5. ∴.x24y2-3y =2-5'+2+-36-52+5） =7-4W3+7+4W5-3 =11; (2)1<V3<2, ∴0<2-3<1,3<2+5<4， 由(1)知x=2-V3,y=2+V3 .0<x<1,3<y<4, 又x的小数部分为a,y的小数部分为b, a=2-3,b=2+5-3=V5-1, (a+b)+/a-b) =(2-5+5-12+2-5-5+ =1+2V3-3 =25-2. 21.【答案】解：(1)由题意可得：正方形的边长为：V192=8V5cm, :.AD=8V3-2V3=6V3cm,AB=8V3-73=V3 cm 2/4 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∴矩形ABCD木板的面积为65×V3=18cm2. (2)木工乙的想法可行，理由如下： 从长方形木板4BCD中我出一个面积为12m2,宽为9cm 锁出长为：12÷号=12×后=45cm, 由(1)得长方形ABCD的长为6V3cm宽为V5cm, :46=6,65=408,5=里 46<65,9<5. ∴可以裁出所求的长方形木料. 木工乙的想法可行. 22.【答案】解：(1)原式=√9-2×2W5 =5+2-2×25 =5-习 =5-2 =5-2: (2原武=72-2×7×5+（°+2+2×25+( =-可++可 =7-V5+2+5. =9; (3)原式=《k-)+2×-×1+12+-)°-2×-ix1+12 =-五++-1- =x-1+1+1-☒-1 =2. 23.【管案1解：)+后本雨+万+…+丽 3/4 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 -學+5+55+…+ 2 =×(W3-1+5-5+…+11-119)=(-1+11) =5 20=六06而-5+1， a-1=V2, .a2-2at1=2, .a2-2a=1, .3a2-6a=3, .3a2-6at2=5: ②.a3-3a2+a+2, =a3-2a2-a2+at2, =a(a2-2a)-a2+a+2, ,a2-2a=1, ∴.原式=a-a2+a+2=-(a2-2a)+2=-1+2=1; :2a2-5a+吉+3=2a2-4a-41=2(a2-2a)--21, a2-2a=1, ∴原式=2-1=2-景=2+1=3. 故答案为：1,3. 4/4