第04讲正弦定理与余弦定理 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第04讲正弦定理与余弦定理 【题型1】利用余弦定理解三角形 例题1．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【详解】由余弦定理得． 例题2．在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】由题可知最大边长与最小边长不相等，故最大角大于，最小角小于， ∴第三边即为a，且，， ， . 【针对训练】 1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 【详解】由余弦定理得，所以. 2．在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【详解】根据余弦定理得. 由于，所以. 3．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【详解】已知， 又因为，所以， 又由余弦定理， 又因为， 所以， 【课后巩固】 1．在中，内角，的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由余弦定理，得； 由，得. 所以，所以. 因为，所以. 2．在中，若，，，则 ． 【详解】因为，，， 所以，故， 所以由余弦定理得. 3．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 【详解】在中，已知，且， 由余弦定理得， ，解得， 当且仅当时取等号，又三角形两边之和大于第三边，即， 因此. 故答案为： 4．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 【详解】因为，且，所以， 由余弦定理得， 化简得，则， 解得，当且仅当时取等号，因此. 故答案为： 5．在锐角三角形中，、、分别为内角、、所对的边，若，，且，，求的值． 【详解】根据余弦定理得， 整理得， 又，所以，又，可得，， 于是， 所以 【题型2】余弦定理边角互化的应用 例题1．在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【详解】若A为钝角，则，即， 所以． 【针对训练】 1．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 2．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 3．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【详解】因为，由余弦定理知， 所以， 整理得， 即的形状是直角三角形. 4．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 5．已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 【详解】由余弦定理有，所以， 解得或2. 故答案为：或2. 6．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 7．锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角B； (2)求的取值范围． 【详解】（1）由题可得，，由余弦定理， 可得等式左边， 故有，得，, 故. （2）在锐角中，由，得，故， 且，， 即，解得. ， 因为，故， 故，则， 即的取值范围为. 8．在中，角的对边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． 【详解】（1）由，结合余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又，所以； （2）因为的面积为，所以， 由（1）知，所以， 又，，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以 ， 所以. 9．在中，，判断的形状． 【详解】，∴原式可化为， 由余弦定理可得， 整理得，即， 或， 故一定为直角三角形． 10．在中，已知． (1)求角的度数； (2)求的取值范围． 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，且为三角形内角，故． （2）由（1）知，则， ， 由，得， 所以的取值范围为. 【题型3】利用正弦定理解三角形 例题1．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 得， 所以或，经检验，均满足题意． 当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得． 因此或． 例题2．已知在中，，，，求a，b和B． 【详解】在中，由，得， ， ， 由，得 ． 【针对训练】 1．已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【详解】由正弦定理得，即， ，又， 或． 2．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 3．在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，， 所以， 又，所以，则， 又，，所以，所以，则， 又，解得， 所以， 即的最短边与最长边之比为. 4．在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 【详解】由，可得， 因为，可得， 整理得，所以或， 当时，因为，所以， 又因为，所以，可得； 当时，． 5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 【详解】（1）由，得． 因为， 所以转化为， 所以． 因为，所以．因为，所以． （2）由正弦定理，得． 所以或． ①当时，由，得，所以； ②当时，由，得， 所以． 综上可得或2． 6．在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 【详解】（1）由， 得， 因为，所以， 所以，则， 因为，所以， 由正弦定理，，因为， 则； （2）因为， 所以 ， 则. 【题型4】正弦定理边角互化的应用 例题1．中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：D 例题2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，解得，则，又，所以． 故选：B. 【针对训练】 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知条件及正弦定理得， 又在三角形中，． 又，或． 故选：BD． 2．中，内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【详解】， ， ， ， ， 是的内角，， ， ， ，，，. 故答案为：. 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 【详解】因为，由正弦定理得 ， 所以， 因为， 所以. 故答案为： 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【详解】（1）由，正弦定理可得， ，， ， 因为，所以，两边同时除以得， 解得. （2）由，，得. 因为且，所以. 再由，得，即. 由余弦定理：，得. 因此的周长为. 【题型5】正余弦定理的综合应用 例题1．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 【详解】因为，，所以. 由正弦定理可知，，所以，， 又，所以，所以. 由余弦定理知，，所以，即. 又， 所以，所以. 故选：D. 例题2．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） 【详解】由余弦定理得， 又，所以，所以， 所以由正弦定理得． 【针对训练】 1．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定为直角三角形 D．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 【详解】对于A，由，得，由正弦定理可得， 即，故A正确； 对于B，当时，，而，故B错误； 对于C，由，根据正弦定理可得， 则，所以或（舍去）， 则，又，所以，则为直角三角形，故C正确； 对于D，由正弦定理可得，则，所以， 因为该三角形有两解，所以，则，解得， 则的取值范围是，故D错误. 故选：AC. 3．在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则 D．若，，，则只有一解 【详解】对于选项A，因为，所以A正确， 对于选项B，在锐角中，，因为在上单调递增， 所以，所以B正确， 对于C，因为，则， 即，又，则有，所以， 又在区间上单调递增，所以，则，所以C正确， 对于D，若，，，则， 因为，所以，则为锐角或钝角，即有两解，所以D错误． 故选：ABC． 4．（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【详解】对于A，，所以，由正弦定理得，故A正确； 对于B，，故边最长，角最大. 设， 则. 所以角为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 对于C，，则，则为等腰三角形，故C正确； 对于D，， 因为，故，结合可得， 根据正弦定理 由正弦函数的性质可知有两解， 所以有两解，故D正确. 5．在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．存在锐角，使得 D．若，，有解，则 【详解】对于A选项，因为，则，所以， 因为，故，即是直角三角形，A对； 对于B选项，因为，则， 又因为、且余弦函数在上单调递减，故，B错； 对于C选项，如下图所示： 在单位圆中，设锐角的大小为弧度，则， 过点作轴，则， 因为，即，即，即， 故对任意的锐角，，C错； 对于D选项，因为，，有解， 由正弦定理可得，所以， 因为，则，故为锐角，所以，D对. 故选：AD. 【题型6】正弦定理判定三角形解的个数 例题1．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A．两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 例题2．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 【针对训练】 1．在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（   ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 【详解】由正弦定理可知，，即，得， 因为，所以或， 所以此三角形有两解. 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【详解】因为，所以，所以满足条件的三角形有2个. 3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 【详解】对于A，由，得，则，即只有一解，A错误； 对于B，，且，则，而为锐角，因此有两解，B错误； 对于C，由，，，得，有解，C错误； 对于D，由，得，又，则是锐角，有一解，D正确. 故选：ABC 4．根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【详解】对于A，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然不满足内角和为，故A错误； 对于B，由正弦定理得：，解得， 根据，且，仅存在一个锐角满足，故B正确； 对于C，由正弦定理得：，解得， 根据，可得：，显然满足唯一解，故C正确； 对于D，由正弦定理得：，解得， 根据，且，可得一个锐角和钝角都满足题意，故D错误； 5．在△ABC中，已知,则此三角形的解有 个 【详解】因为，所以， 所以此三角形无解. 故答案为：0 【题型7】根据三角形解的个数求参数的取值范围 例题1．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 例题2．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由正弦定理可得, ,可得, 由△ABC有两解知，有两个解， 故，即 ， 或， 又， ∴ A为锐角，所以，. 【针对训练】 1．在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由正弦定理有， 又， 所以， 2．在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 3．已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为有两解， 得，得． 【课后巩固】 1．在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为三角形有两个解，所以， 所以，所以，即AC的取值范围是. 2．已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由有两解，得即解得， 3．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】作，垂足为D，记点A关于D的对称点为， 在中，设，则，得， 于是，解得，，． 由C有两解可知点B在线段（不含端点和D）上运动， 故，可得， 故选：B． 4．的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【详解】由满足的有两解，可得，即， 即，则符合题意的有BC. 5．在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（      ） A．6 B．2 C．4 D．8 【详解】在中，，， 由正弦定理，得，即 当时，，有且只有一个解，； 当，且时，，有两解，； 当时，，有且只有一个解，， 所以AC的值可能为2或4，AD错误，BC正确. 故选：BC 【题型8】三角形的面积问题 例题1．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意及正弦定理，得， 又，所以，则， 因为， 所以， 所以， 又，所以， 所以，又， 所以当且仅当时，， 又，且，所以，， 所以，则， 故的面积． 故选:C 【针对训练】 1．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】由及，得， 而，则，所以的面积. 2．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】由余弦定理得， 所以的面积为． 4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 【详解】由，，，由余弦定理得， 又因为，所以， 所以. 5．在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为 ． 【详解】因为， 由余弦定理得到，化简得到， 由余弦定理，得到； 得到； 所以三角形面积为. 故答案为：. 6．在锐角中，内角的对边分别是，满足. (1)求角的大小； (2)求面积的最大值. 【详解】（1）对于， 由正弦定理和二倍角公式，， 则， 即， 即， 由题知，则， 得到，由于，则， 于是，解得 （2）由余弦定理，， 由，，得到， 由基本不等式，，则（取等号）， ， 即时，的最大值是. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求角； (2)若，且的周长为，求的面积． 【详解】（1）因为， 由正弦定理， 得， 又， ， 即， 由，得． （2）由（1）及已知，有， 可得， 又，即， 所以， 故． 8．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【详解】（1），， ， ，. （2），， ，，， ，（为外接圆的半径）， ，， 【题型9】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理求外接圆半径 例题1．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【详解】设边长分别为3，2的两边夹角为，另一条边为， 则由余弦定理得， ，． 由，得． ． 【针对训练】 1．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【详解】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 2．设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【详解】由，可得， 则，因为，所以， 又，由正弦定理可得，解得. 3．已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于 ． 【详解】 ， ， ，解得， 从而有外接圆面积等于． 故答案为：． 4．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为： ． 【详解】由，及，根据正弦定理得 ，即， 由余弦定理得，又， 故， 设外接圆的半径为，根据正弦定理得， 解得， 则外接圆的面积为. 5．在中，，则其外接圆的半径为 ． 【详解】由题意，，所以是等边三角形，则， 所以其外接圆的半径为， 故答案为：. 6．在中，角，，的对边分别为，，.若，，则的面积的最大值为 . 【详解】由及正弦定理，得． ， ． 根据三角形三边关系定理，即，计算得， 则当时，即时取得最大值，面积的最大值是． 【题型10】求三角形中的边长或周长的最值或范围 例题1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 【详解】（1）解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，， 所以，由余弦定理得， 解得， 因为，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为. （2）解：因为，， 所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即， 所以，即为直角三角形，，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为. 【针对训练】 1．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 【详解】（1）由， 用正弦定理得， 化简得：， 又, 从而，， 得又. （2）由正弦定理得: , 所以 , 在 中， 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ． 2．已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 【详解】（1）根据正弦定理有 ． 因为， 所以 ， ， 则有， ． （2）由（1）及余弦定理可知 ，当且仅当时，“”成立． 是的中点，， 两边平方得，即， 由（1）知，代入得， ， ， 所以的最大值为． . 3．在中，角的对边分别是，且满足. (1)证明：； (2)若边上的中线长为2，求的面积的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，而，则， 即，而，所以，. （2）令边的中点为，则，， 两边平方得，则， 即，当且仅当时取等号， 的面积， 所以的面积的最大值为. 【题型11】多三角形问题 例题1．在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为的平分线，且， 在中，根据正弦定理可知， 在中，根据正弦定理可知， 而，，故将上述两个等式相除可得， 又，所以，则在中， 由余弦定理得， 所以，在中，由正弦定理得， 则. 故选：A. 例题2在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】令，则， 由题设，有，， 所以，则， 所以，可得（负值舍）. 故选：B 【针对训练】 1．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，则， 设，则，， 在中，，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 2．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，边上的高为，，且， 所以，则， 则，， 所以，则. 故选：B 3．在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲正弦定理与余弦定理 【题型1】利用余弦定理解三角形 例题1．在中，，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 例题2．在中，，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且最大边长和最小边长分别是方程的两个实根，则第三边的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【针对训练】 1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D．3 2．在中，已知，，，则（   ） A． B．2 C． D． 3．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角（   ） A． B． C． D． 【课后巩固】 1．在中，内角，的对边分别为，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则 ． 3．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 4．在中，已知，且，则的取值范围为 ． 5．在锐角三角形中，、、分别为内角、、所对的边，若，，且，，求的值． 【题型2】余弦定理边角互化的应用 例题1．在非等边三角形中，A为钝角，则三边a，b，c满足的条件是（ ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 2．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．在中，其内角A，B，C的对边分别为，，，若，则的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 5．已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 . 6．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 7．锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角B； (2)求的取值范围． 8．在中，角的对边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． 9．在中，，判断的形状． 10．在中，已知． (1)求角的度数； (2)求的取值范围． 【题型3】利用正弦定理解三角形 例题1．在中，，，，则（   ） A． B．或 C．或 D． 例题2．已知在中，，，，求a，b和B． 【针对训练】 1．已知中，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 3．在中，，，则的最短边与最长边之比为（    ） A． B． C． D． 4．在 中，．若，则等于（   ） A． B． C．2 D．3 5．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，求c的值． 6．在中，角所对的边分别为，且,,． (1)求； (2)求的面积． 【题型4】正弦定理边角互化的应用 例题1．中，，，的对边分别是，，，则等于（   ） A． B． C． D． 例题2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则A=（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则（   ） A． B． C． D． 2．中，内角，，的对边分别为，，，若，则 . 3．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 ． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为． (1)求的值； (2)若，求的周长. 【题型5】正余弦定理的综合应用 例题1．在中，内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B．20 C．16 D． 例题2．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的值为（   ） 【针对训练】 1．记的内角的对边分别为，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则一定为直角三角形 D．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是 3．在中，角、、的对边分别为、、，则下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则 D．若，，，则只有一解 4．（多选）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则是钝角三角形 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 5．在中，角、、的对边分别是、、，下列说法正确的是（    ） A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．存在锐角，使得 D．若，，有解，则 【题型6】正弦定理判定三角形解的个数 例题1．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（   ） A． 两解 B．一解 C．无解 D．无穷多解 B． 例题2．在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【针对训练】 1．在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（   ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则满足条件的三角形有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中错误的是（   ） A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解 4．根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．在△ABC中，已知,则此三角形的解有 个 【题型7】根据三角形解的个数求参数的取值范围 例题1．在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，角所对的边分别为，，，已知，，，若满足题意的三角形有两个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【课后巩固】 1．在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知的内角的对边分别为，，，且满足，的三角形有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，时，当角C有两解时，边a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．的内角，，的对边分别为，，，若满足，的有两解，则的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．在中，，若该三角形有且只有一解，则AC的值可能为（      ） A．6 B．2 C．4 D．8 【题型8】三角形的面积问题 例题1．记的内角的对边分别为，已知，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知中，内角，，所对边长分别为，，，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．在中，为边上的中点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C．4 D．8 5．在中，内角的对边分别是．已知，则的面积为 ． 6．在锐角中，内角的对边分别是，满足. (1)求角的大小； (2)求面积的最大值. 7．已知的内角，，的对边分别为，，，若． (1)求角； (2)若，且的周长为，求的面积． 8．在中，角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，，求的面积． 【题型9】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理求外接圆半径 例题1．的两边长分别为3，2，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 2．设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．已知的内角为，，满足，且的面积为2，则外接圆面积等于 ． 4．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则外接圆的面积为： ． 5． 在中，，则其外接圆的半径为 ． 6．在中，角，，的对边分别为，，.若，，则的面积的最大值为 . 【题型10】求三角形中的边长或周长的最值或范围 例题1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. (1)若，求边上的高； (2)若，求的周长. 【针对训练】 1．已知的内角的对边分别为，且， (1)求的大小； (2)已知，为边上的高，求的取值范围． 2．已知分别为的内角所对的边，且． (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值． 3．在中，角的对边分别是，且满足. (1)证明：； (2)若边上的中线长为2，求的面积的最大值. 【题型11】多三角形问题 例题1．在中，，是的平分线，，，则（   ） A． B． C． D． 例题2在锐角中，，是的中点，，过点做的垂线，垂足是，，则（   ） A． B． C． D．1 【针对训练】 1．如图，在四边形中，，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．在中，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，，则=（   ） A． B．2 C．3 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $