第03讲 平面向量基本定理与坐标表示 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第03讲平面向量基本定理与坐标表示 【题型1】平面向量共线定理证明点共线问题 例题1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【详解】由题可得， 又线段BD与线段AB有公共点B，所以三点共线. 【针对训练】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】若，则， 选项A：若，则，解得，选项A正确； 选项B：若，则，无解，选项B错误； 选项C：若，则，无解，选项C错误； 选项D：若，则，无解，选项D错误. 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，，所以． 又，所以与共线． 故选：B． 【题型2】平面向量基本定理的推论及其应用 例题1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 【针对训练】 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【详解】 由是边上靠近的三等分点， 可得：， 又因为，所以， 又因为三点共线，所以 又因为， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为， 故选：C 【针对训练】 1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 【详解】作的平行线与圆相交于点，与直线相交于点，与直线相交于点，    设，因为三点共线，所以， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为， 由，可设， 当过点且与圆相切时，取最小值0， 当与在点的同侧，且与圆相切于点时，取最大值， 此时，，则取最大值， 所以， ， 又，则，得， 所以，则的最大值为． 故选：A． 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【详解】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 故答案为： 3．（25-26高三上·四川成都·月考）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 .    【详解】由是线段的中点，可得， 又由是线段的中点，可得， 所以 ， 即， 【题型3】已知向量共线（平行）求参数 例题1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由于，故存在实数，使得，故，解得， 故选：A 【针对训练】 1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 【详解】由，，，得， 由，，三点共线，得存在实数，使得，即， 因此，解得. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数 ． 【详解】和共线，存在实数，使得． ， 又和不共线，所以，化简得出，解得. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【详解】因 ，且的夹角为，则， 由 ，解得 又由可得，即， 解得，因， 的取值范围是． 故答案为：． 【题型4】平面向量的坐标表示与线性运算 例题1.（25-26高一下·全国·课堂例题），，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【详解】因，，则. 例题2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 【针对训练】 1．（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【详解】因为点，， 所以， 故选：B 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【详解】因为， 所以. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【详解】由， 则，，故． 4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，所以， ，解得，所以. 故选：A 5．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】依题意，则． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为， 所以向量， 向量，所以，解得， 所以点A的坐标为. 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，那么向量的坐标是 ． 【详解】已知向量，， 所以. 8．（2017·全国·高考真题）已知平面向量，则 ． 【详解】. 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 【题型5】线段的定比分点 例题1．（22-23高一下·北京朝阳·期末）已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以是线段的中点， 所以点C的坐标为，即， 故点的坐标为. 故选:A. 【针对训练】 1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 2．（24-25高一下·上海·月考）已知点，点，且，则点的坐标为 ． 【详解】设点，因为点，点，且， 所以，即，解得， 故点的坐标为. 3．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 【详解】点P为线段AB的中点，所以，则 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 【题型6】利用向量的坐标运算求模长 例题1．（22-23高一下·北京·期中）已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【详解】，， ， ，当且仅当时取等号， 的最大值是3． 【针对训练】 1．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 【详解】， ，， 所以. 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 【详解】因为向量， 所以向量， 所以. 3．（23-24高三下·湖南·月考）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】易知 ,故 ，当时，最小， 此时由二次函数性质得，故， 故的最小值为，故A正确. 【题型7】由坐标判断向量是否共线 例题1．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 【针对训练】 1．（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D．. 【详解】对于A，，不共线，可作基底，A是； 对于B，，，不能作基底，B不是； 对于C，，不共线，可作基底，C是； 对于D，不能作基底，D不是. 故选：AC 【题型8】由向量共线（平行），垂直求参数 例题1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【详解】由题意若，则，解得，故C正确. 例题2．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【详解】由，可得， 因三点共线，则与共线， 故有，解得. 故选：D. 【针对训练】 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【详解】因为，，三点共线，所以存在唯一实数，使得， 又因为，， 所以，即，解得， 所以的值为. 故选：A 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得， 所以. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则x的值为 ． 【详解】已知，，且， 所以有，化简得， 解得或. 故答案为：3或-1. 4．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为与共线， 所以，解得． 故答案为： 5．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 【详解】，，解得． 6．（2026·四川泸州·二模）已知平面向量，若，则实数 ． 【详解】由向量，可得， 因为，所以， 解得. 7．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则 . 【详解】因为，所以，即，解得. 【题型9】利用坐标法解决数量积问题 例题1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 【详解】在三角形ABC中，，三角形ABC为直角三角形，是BC的中点， 则，由题意得，是AD的中点， 以为坐标原点，AB，AC所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 则，由，即，得， 则，，所以． 例题2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 【针对训练】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【详解】向量满足， 所以. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 则，， 所以. 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 5．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 【详解】设，，∴，， ，当时，最小值为； 设，，∴，， ，当时，最小值为； 6．（2025·上海·高考真题）已知，若，则 ． 【详解】由得，解得. 7．（2023·上海·高考真题）已知,，求 【详解】由题意得 8．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【详解】点在线段上，设， 则， ， 当时，取得最大值为， 此时， . 故答案为： 【题型10】用向量解决线段的长度问题 例题1．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 例题2．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【详解】，∴. 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 2．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】如图所示，设向量，作向量， 因为，所以四边形是边长为2的菱形，且， 再作，则， 所以点在以为圆心，半径为1的圆上， 结合图形，当三点共线时，即点在处时，取得最大值， 所以取得最大值. 故选：C. 【题型11】向量的坐标与几何最值 例题1．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知得， 所以 ， 因为，则， 所以，即. 故选：D. 【针对训练】 1．（2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 【详解】由题画出图形，则向量的夹角为锐角时适合题意，过作，交直线AB于点， 则， 故当取得最大值时，的值最大. 设圆心为，因为圆的半径为1，故是边长为1的等边三角形， 且当与圆相切时，的值最大， 过O作，交AB于D，连接OC，则四边形ODHC为矩形， 所以，则，即的最大值为 故的最大值为. 例题2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    【针对训练】 1．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ． 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 2．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 【详解】 如图所示，取的中点，以为坐标原点，所在的直线 分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，的边长为2， 则，， 设，则，， 因为，且， 所以，且， 即，可得. 因为，点在内部，所以， 可得，所以. 所以， 所以， 所以当时， 取最小值. 故答案为： 3．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 【题型12】利用平面向量基本定理证明三点共线 例题1．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 【详解】（1），是的中点， 故， ，故； （2） ， 即，， 所以，， 故，而有公共点，所以三点共线. 例题2．（25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【详解】（1）由向量的减法可得：， 由向量的加法可得：， 因为在平行四边形中，是的中点，所以， 同理：； （2）由， 则，所以，即三点共线. 【针对训练】 1．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 【详解】（1）由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以， （2）因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 2．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 【详解】（1）解：由题意知，向量可得， 又由，可得， 所以. （2）证明：因为，可得， 所以， 且，可得，所以三点共线. 3．（22-23高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 【详解】（1）由题可知， 因为点为的中点，所以 ， 因为三点共线，所以， ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为4. （2）    由，则，即， ， 所以，又三点不共线，所以． 3．（22-23高一下·江苏扬州·期中）设，是两个不共线的向量. (1)判断与是否共线，并说明理由； (2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值. 【详解】（1）当时，显然与共线. 当时，，则与共线. 综上，与共线. （2）， A，B，D三点共线，与共线， 即存在实数，使得，即， 因为，是两个不共线的向量，由平面向量基本定理得， ∴. 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 【详解】（1）以E为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图. 令，则，因为，， 所以四边形为正方形，所以各点坐标分别为 . 因为，， 所以，即. （2）因为M为的中点，所以， 所以，， 所以，所以. 又与有公共点，所以D，M，B三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲平面向量基本定理与坐标表示 【题型1】平面向量共线定理证明点共线问题 例题1．（25-26高二上·贵州毕节·期末）已知是不共线向量，且，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【针对训练】 1．（24-25高一下·广东茂名·期末）已知，是同一平面内两个不共线的向量，则的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高一下·全国·专题练习）已知为两个不共线的向量，若向量，则下列向量中与向量共线的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】平面向量基本定理的推论及其应用 例题1．（24-25高一下·贵州遵义·月考）在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【针对训练】 1．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，其中，则的最小值是（    ） A．4 B． C． D． 【针对训练】 1．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边的外接圆为圆，点为圆上任意一点，若，则的最大值为（    ）    A． B．2 C． D．1 2．（2026高三·全国·专题练习）在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    3．（25-26高三上·四川成都·月考）如图，矩形中，是线段的中点，是线段的中点，连接，若，则 .    【题型3】已知向量共线（平行）求参数 例题1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知向量，不共线.若，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）已知向量，，，若，，三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数 ． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ． 【题型4】平面向量的坐标表示与线性运算 例题1.（25-26高一下·全国·课堂例题），，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 例题2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高一上·北京房山·期末）已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）若，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知向量，，，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·浙江台州·期末）已知，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ． 7．（25-26高一下·全国·课后作业）已知向量，，那么向量的坐标是 ． 8．（2017·全国·高考真题）已知平面向量，则 ． 9．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则 【题型5】线段的定比分点 例题1．（22-23高一下·北京朝阳·期末）已知，，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为 ． 2．（24-25高一下·上海·月考）已知点，点，且，则点的坐标为 ． 3．（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为 . 4．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知知两点，，且点P为线段AB的中点.则的坐标为 ． 5．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【题型6】利用向量的坐标运算求模长 例题1．（22-23高一下·北京·期中）已知向量，，其中，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【针对训练】 1．（2025·陕西咸阳·三模）已知向量满足，则＝（   ） A．5 B．－5 C．－11 D．11 2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知向量，则向量的模为（    ） A． B．4 C．2 D． 3．（23-24高三下·湖南·月考）已知，平面向量，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【题型7】由坐标判断向量是否共线 例题1．（24-25高一下·江苏南京·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【针对训练】 1．（24-25高一下·河北邢台·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D．. 【题型8】由向量共线（平行），垂直求参数 例题1．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．3 C． D． 例题2．（25-26高二上·贵州·期中）已知向量，若三点共线，则（    ） A． B．49 C．21 D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·江苏连云港·期中）若三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，，且，则x的值为 ． 4．（25-26高三上·陕西·期末）已知向量，，，若与共线，则实数的值为 ． 5．（2024·上海·高考真题）已知，且，则的值为 ． 6．（2026·四川泸州·二模）已知平面向量，若，则实数 ． 7．（2026·上海·高考真题）已知，，若，则 . 【题型9】利用坐标法解决数量积问题 例题1．（25-26高三上·广东深圳·月考）已知在三角形ABC中，是BC的中点，且，则（   ） A．-9 B．-16 C．-21 D．-24 例题2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2018·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，、是轴上的两个动点，且，则的最小值为 6．（2025·上海·高考真题）已知，若，则 ． 7．（2023·上海·高考真题）已知,，求 8．（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知坐标平面内，，，O为坐标原点，是线段上的一个动点（P可以和O、M重合）当取最大值时，则的值为 ． 【题型10】用向量解决线段的长度问题 例题1．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 例题2．（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【针对训练】 1．（24-25高一下·湖南·期末）如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北沧州·期末）已知向量 满足，，则的最大值为（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型11】向量的坐标与几何最值 例题1．（2026·云南·模拟预测）已知为的边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2026·陕西西安·三模）设，，是半径为1的圆上三点，若，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．2 例题2．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是 . 【针对训练】 1．（2025高一下·江苏南京·专题练习）如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是 ． 2．（23-24高一下·山东青岛·月考）已知是边长为2的等边三角形，点是内一点，且，若，则 的最小值为 . 3．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为 . 【题型12】利用平面向量基本定理证明三点共线 例题1．（25-26高一上·云南昆明·期末）如图，在中，是的中点，，设． (1)用向量与表示向量； (2)若，求证：三点共线． 例题2．（25-26高一上·北京顺义·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，是上一点，且．设，． (1)用基底分别表示向量； (2)若，用平面向量证明三点共线． 【针对训练】 1．（25-26高一上·辽宁鞍山·期末）如图，在平行四边形ABCD中，，，设，．注：本小题几何方法求解不得分．    (1)用，表示，； (2)用平面向量证明：E，F，C三点共线． 2．（24-25高一下·广东云浮·期末）如图，在平行四边形中，，设. (1)用表示； (2)证明：三点共线. 3．（22-23高一下·河北保定·期中）已知，如图，在中，点满足，是线段上一点，，点为的中点，且三点共线．    (1)求的最小值． (2)若点满足，证明：． 3．（22-23高一下·江苏扬州·期中）设，是两个不共线的向量. (1)判断与是否共线，并说明理由； (2)已知，，，若A，B，D三点共线，求k的值. 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知直角梯形中，，过点C作于点E，M为的中点. 求证： (1)； (2)D，M，B三点共线. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $