精品解析：安徽省肥东县第一中学2026届高三毕业班第一轮质量检测数学试题

2026届高三毕业班第一轮质量检测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． ※祝大家学习生活愉快※ 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不按以上要求作答的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 5．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 4. 函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 当时， D. 11. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，同时满足，，则___________． 13. 互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量满足：，满足的概率为___________． 14. 设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 （1）请完成上述列联表； （2）依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式; （2）证明:对，. 17. 如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿BE翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． （1）证明：． （2）若A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：在平面ABCD上． （3）求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 18. 已知为抛物线上一点. （1）求的准线方程； （2）若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 19. 已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： （1）在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； （2）已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； （3）玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三毕业班第一轮质量检测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． ※祝大家学习生活愉快※ 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不按以上要求作答的答案无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 5．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解. 【详解】复数，则. 2. 已知集合是绝对值小于的整数，，则的元素个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】是绝对值小于的整数，即满足（为整数），可得， 已知，根据并集定义，得：  因此，共个元素. 3. 已知双曲线（，）的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】由双曲线（，）得双曲线的渐近线方程为. ，所以离心率. 4. 函数的图象向左平移后关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出平移后的解析式，再根据余弦函数的对称性即可得到，解出即可. 【详解】向左平移后解析式为， 若其图象关于轴对称，则， 则，又因为，则当时，取得最小值，为. 故选：C. 5. 设函数在定义域上满足，且当时，，则当时，的最大值是（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据，得出，再应用分段函数的解析式得出，最后应用二次函数最值求解. 【详解】因为，则当时，， 因为当时，，又因为当时，， 则， 当时，的最大值是. 故选：D. 6. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用坐标法，首先建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，再表示为基底形式，利用待定系数法，即可求解. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1， 则，，，， 所以，，， 设向量 则 则，解得 所以. 7. 点A，B是圆上两点，，若在圆上存在点P恰为线段的中点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的长度和圆的方程可得点P的轨迹，再分析与圆的位置关系进而即得. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 由P是弦AB的中点，且，则， 所以， 故点P在以为圆心，以为半径的圆上． 又在圆上存在点P恰为线段AB的中点， 则两圆有公共点，可得，即， 解得或． 则实数m的取值范围为． 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，正方体中，点分别为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，写出点的坐标，得到平面的法向量，进而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，，显然与没有倍数关系， 故不平行，即与不平行，故A错误； 对于B，平面的一个法向量为， ，故，又平面，故平面，故B正确； 对于C，因，， 则，所以，故C正确； 对于D，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取， 因，则与平行，故平面，故D正确. 故选：BCD 10. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】写出圆的方程，利用给定点求出，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可逐个选项判断． 【详解】抛物线的焦点为，圆方程为， 对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确； 抛物线的焦点为， 设直线方程为， 由对称性不妨令点在第一象限， 由，得，则， 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由选项B得点，直线斜率，即， 则，而，因此，C正确； 对于D，， 又 ，且圆的弦， 因此不一定小于，D错误． 11. 在中，内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由变形可得的值，再由结合二倍角公式和平方关系变形可得，进而得到，再结合余弦定理可得两边的关系，由B可得，结合正弦定理可求得的值，进而比较大小，对利用完全平方公式进行放缩可得到的大小. 【详解】对于A选项 ，由，所以， 得，A选项正确； 对于B选项 ，由 ， 则， 得，由正弦定理，即 ， 代入 ，得 ， 解得 或，B选项错误； 对于C， ， 由,， ，C选项错误； 对 D选项，， ，D选项正确. 故选:AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，同时满足，，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】易知，则，即集合中的元素互为倒数，由题意可求出集合，进而确定集合，根据并集的运算即可求出答案． 【详解】设，若，又，故，此时，与已知矛盾， 故，所以，得，所以， 即集合中的元素互为倒数， 因为， 所以存在，使得且，解得， 又因为， 所以或， 若，则，则； 若，则，则. 综上所述，或． 13. 互不相等的正实数，是的任意顺序排列，设随机变量满足：，满足的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据找出满足的排列即可． 【详解】根据题意，的全排列有种， 因为随机变量满足：， 所以当或时，； 当或时，； 当或时，； 因为满足或， 即满足的排列有：，共种， 所以的概率． 14. 设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据“集合”的定义分2个元素，3个元素，4个元素讨论求解. 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 （1）请完成上述列联表； （2）依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）认为材料配方与耐热疲劳性能有关联 【解析】 【分析】（1）按照样本总量比例计算A和B配方的抽样数量； （2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关 【小问1详解】 由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件，由此可得列联表如下 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 【小问2详解】零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 由表知，，，，，， 代入公式得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 16. 已知数列满足，，. （1）求数列的通项公式; （2）证明:对，. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先由递推公式结合题中条件，得到，判断出数列是等差数列，求出通项，即可得出结果； （2）先由（1），根据裂项的方法，得到对1，2，3…，进而可求出，即证明结论成立. 【小问1详解】 由可得， ∵，∴，依此类推， ∴，∴， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴，即， 【小问2详解】 ，故 对1，2，3… ， ∴ .， 因为， 所以 即 17. 如图，在梯形ABCD中，，过点作于点．将沿BE翻折到的位置，使得平面平面ABED.已知四棱锥的体积为8． （1）证明：． （2）若A，B，D，P在同一个球面上，设该球面的球心为，证明：在平面ABCD上． （3）求平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求证平面ABED，进而结合体积可求出，再求证平面即可证出； （2）在平面ABCD内作AB的垂直平分线，交于，求证即可； （3）以为坐标原点建系，计算两个平面的法向量，计算法向量的夹角即可. 【小问1详解】 设，因为，所以． 因为平面平面ABED，平面平面，平面，平面， 所以平面ABED， 由四棱锥的体积为8，，， 得，解得，即， 连接AE，在Rt中，． 在Rt中，所以． 因为，所以，即 因为平面平面ABED，所以 因为平面AEP，所以平面， 又平面AEP，所以； 【小问2详解】 在平面ABCD内作AB的垂直平分线，交于，连接MB，MP． 因为，所以， 因为，所以 ， 因为，所以， 所以A，B，D，P在以为球心，3为半径的球面上， 即与重合，故在平面ABCD上． 【小问3详解】 以为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以． 设平面PAD的法向量为， 则，令，则． 设平面PAB的法向量为， 则，令，则． 因为， 所以平面PAD与平面PAB的夹角的余弦值为． 18. 已知为抛物线上一点. （1）求的准线方程； （2）若点与关于轴对称，过点且斜率为2的直线交于另一点，设. （i）求数列的前项和； （ii）求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）8 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标，得出抛物线方程，即可求出准线方程； （2）（i）利用斜率可得，再由等差数列的定义判断数列为等差数列，即可求出前项和； （ii）法一：利用弦长公式、点到直线的距离求三角形面积，法二：利用向量外积求三角形面积即可. 【小问1详解】 由题意知，则， 所以的准线方程为. 【小问2详解】 由（1）知的方程为， （i）， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，以4为公差的等差数列， 所以，所以. （ii）将代入得， 则， 法一： 直线的方程为， 点到直线的距离， ， 的面积. 法二： . 19. 已知一副不含大小王的52张扑克牌，共包含4种花色（黑桃、红桃、方片、梅花），每种花色各有13张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、7、6、5、4、3、2，其中A可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副扑克牌中随机抽取3张，定义如下牌型： 豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222； 顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23； 金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24； 顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5红桃6方片7； 对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334； 散牌：不构成上述任何一种牌型的3张牌组合. 请回答下列问题： （1）在一次游戏中，记事件为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件为“抽到的牌型为顺金”，求； （2）已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）； （3）玩家初始持有次抽牌机会，每消耗1次抽牌机会，就从52张扑克牌中随机抽取3张，观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1次后的数量；若剩余抽牌机会数为0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为，初始持有次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为.试证明： （i）证明：数列是严格递增数列； （ii）证明：对任意，都有. 【答案】（1） （2）规则不合理、不公平 （3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式计算； （2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断； （3）（i）找出数列的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明. 【小问1详解】 顺子的牌点组合共12种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应种花色组合，故. 顺金要求花色相同且牌点为顺子，共种，故. 由条件概率公式，. 【小问2详解】 分别计算各牌型的概率： ，， ，， ，. 概率从小到大排序：，与规则的牌型大小顺序不一致： 顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型； 顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型. 因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平. 【小问3详解】 首先明确核心概率：抽到顺金的概率：， 抽到顺子但非顺金的概率：，抽到非顺子的概率：， 初始1次机会，抽1次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜， 故. 初始2次机会，抽1次后剩余1次机会，递推得： 代入，整理得：，即. （i）用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：时，， 因，，，故. （二）归纳推理：假设对任意，都有，即数列前项严格递增. 对任意，递推公式为：， 因此， 由归纳假设，，，且系数均为正，故. 由数学归纳法，对任意，，即数列严格递增. （ii）令，，不等式转化为证明，. 将代入原递推公式，化简得：，边界条件. 令，求导得：，故在上严格递减， 因此对任意. 下面用数学归纳法证明： （一）归纳奠基：当时，，成立； （二）归纳推理：假设对任意，. 对，由递推公式和归纳假设：， 只需证明，两边除以得：， 代入，右边化简为， 左边减右边得：（因）， 故不等式成立，即. 由数学归纳法，对任意，即，移项得：，得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $