6.3 平面向量基本定理及坐标表示 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用----平面向量基本定理及坐标表示专项训练 一、单选题 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，则（    ） A． B． C．向量在向量方向上的投影是 D．与向量方向相同的单位向量是 10．如图，在四边形ABCD中，为BC边上一点，且为AE的中点，则（     ） A． B． C． D． 11．（多选）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的有（   ） A．， B．， C．， D．， 三、填空题 12．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 13．已知向量，，且，则______． 14．如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ．    四、解答题 15．在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． (1)试用，表示向量； (2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 16．已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 17．设为平面内的四点，且，，． (1)若，求点的坐标； (2)设向量，，若与平行，求实数的值． 18．已知平面向量，，，且， (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 19．已知平面直角坐标系中，，，． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若，求实数t的值． (3)若是锐角，求实数t的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】利用平面向量的坐标运算建立方程，求解，进而得到即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，， 解得，，则，故B正确. 故选：B 2．A 【详解】， 由得，故. 3．A 【分析】由题意得，方法一：设，化简得到，列出方程组求解即可；方法二：利用三点共线的性质定理直接计算求解即可. 【详解】因为，，所以， 方法一：设（）， 则， 所以， 所以，解得； 方法二：因为三点共线， 由三点共线的性质定理可知，所以． 故选：A 4．D 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【详解】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 5．A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以． 6．C 【分析】根据向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故选：C. 7．C 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 8．D 【分析】根据投影向量的定义计算得解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为：. 9．ABCD 【分析】根据向量的坐标表示形式的运算及性质对选项一一分析即可. 【详解】，则，故A正确； ，故B正确； 向量在向量上的投影是，故C正确； 与方向相同的单位向量为，故D正确； 故选：ABCD 10．ABD 【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题 【详解】由， 由向量加法的三角形法则得 ， 又F为AE的中点，则，故A正确； ，故B正确； ，故D正确； ，故C错误. 故选：ABD 11．BC 【分析】根据向量共线定理，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，是不共线的向量，故，不共线，故A错误， 对于B, ,故，共线，B正确， 对于C, ,故，共线，C正确， 对于D, 若存在实数，使得，则，结合，是不共线的向量， 故且，此时无解，故不存在使得，故，不共线，故D错误， 故选：BC 12． 【分析】设的坐标，根据数量积的定义及向量的坐标运算法则，可求得向量与向量夹角的余弦值.或直接由数量积的定义及运算法则求解. 【详解】因为，所以可设，，则，. 因为，所以，即. 则. 即向量与向量夹角的余弦值为. 方法二： 因为，所以，即. . 即向量与向量夹角的余弦值为. 13． 【详解】因为，所以，解得， 所以，故． 14． 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得直线和的方程，联立方程组，求得，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，解得，即， 所以， 因为，所以，解得，所以． 故答案为：.    15．(1) (2)7 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【详解】（1）设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； （2）由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平面向量的数量积的坐标运算求解； （2）利用平面向量的模长公式求解； （3）利用平面向量的加法、减法和数量积的坐标运算求解. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）； （3）由已知得，， 所以. 17．(1) (2) 【分析】（1）设，通过相等向量，坐标相同列出等式求解即可； （2）由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 即， 所以解得， 所以点D的坐标为． （2）因为， ， 所以， ． 由与平行， 得． 所以． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行及垂直的坐标表示及投影向量的定义可得； （2）根据向量的坐标运算分别求得与的坐标，利用向量数量积的定义及其坐标表示求得与夹角的余弦值，即可求得与的夹角. 【详解】（1），，解得. . ，，. . ， . 所以在方向上的投影向量为． （2）由（1）知，，， ，，. 设，的夹角为，则：. ， 即向量与向量的夹角为． 19．(1)-2 (2) (3)，且． 【分析】（1）由A，B，P三点共线得到，利用向量平行的坐标公式求解； （2）利用向量垂直的坐标公式求解； （3）由是锐角得到且，不共线，由利用向量的数量积求解，由，不共线利用向量共线的坐标公式求解. 【详解】（1），B，P三点共线，． ，，，． （2），，． （3）若是锐角，则，且，不共线． ，，， 且，解得，且． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $