专项提升08：圆锥的体积（7大考点）（考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练）数学人教版六年级下册

人教版六年级数学下册典型题培优讲练 专项提升08：圆锥的体积 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 【考点一】圆锥的体积（容积） 【考点二】截取最大圆锥问题 【考点三】圆锥与长方体、正方体的等积变形问题 【考点四】圆锥与圆柱体积的等积变形问题 【考点五】立体图形的切拼问题（圆锥） 【考点六】组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【考点七】“排水法”求不规则物体的体积问题（圆锥） 考点1：圆锥的体积（容积） 圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 V圆柱＝Sh＝πr2h 考点2：截取最大圆锥问题 1.从圆柱中截取最大圆锥：当从一个圆柱中截取一个圆锥时，要使圆锥体积最大，这个圆锥应该和圆柱等底等高。 2.从正方体中截取最大圆锥：当在正方体中截取一个最大圆柱时，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长。 3.从长方体中截取最大圆锥：需要分情况讨论以长方体不同的面为圆锥底面时的情况。一般来说，圆锥的底面直径最大只能等于长方体某个面的较短边长，圆锥的高则取决于长方体的棱长。 考点3：圆锥与长方体、正方体的等积变形 当圆锥与长方体、正方体之间进行等积变形时，体积始终保持不变。抓住体积相等这一核心，根据已知条件分别表示出圆锥与长方体、正方体的体积，然后建立等式求解。 考点4：圆柱与圆锥体积的等积变形 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。在等积变形中，可能存在圆锥和圆柱底面积、高之间的变化，但体积相等。 考点5：立体图形的切拼（圆锥） 1.把圆锥沿高切开，得到两个相同的半圆锥，切面是三角形，其面积与圆锥的底面直径和高有关； 2.若平行于圆锥底面切，会得到一个小圆锥和一个圆台。 考点6：组合体的体积（圆柱、圆锥） 1.核心原则：组合体体积=各部分体积之和/差（叠加型用和，挖去型用差）。 2.常见类型 （1）叠加型：圆柱+圆柱、圆柱+圆锥（如粮仓：下部圆柱，上部圆锥）； （2）挖去型：圆柱内挖去圆锥（等底等高时，剩余体积V柱）。 考点7：“排水法”求不规则物体的体积（圆锥） 1.排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 2.应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 3.解题步骤 （1）记录圆柱容器的底面半径r，计算底面积S底=πr2； （2）测量放入物体前的水面高度h1和放入后的高度h2，计算△h=h2－h1； （3）代入公式V物= S底×△h，得出不规则物体体积； （4）验证：水未溢出，物体完全浸没。 考点1：圆锥的体积（容积） 【典型例题】一个圆锥形容器中装有3L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 【变式训练1】一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是（ ）m。 【变式训练2】一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 考点2：截取最大圆锥问题 【典型例题】一个正方体一个面的面积是36平方厘米，把这个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是（ ）立方厘米。 【变式训练1】把棱长为6分米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米。 【变式训练2】把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 考点3：圆锥与长方体、正方体的等积变形 【典型例题】把一段圆柱体钢材制成一个最大的圆锥，切削掉的部分重80千克，则原来圆柱体钢材重（ ）千克。 【变式训练1】将一个棱长为4cm的正方体钢坯，熔铸成一个底面积是32cm2的圆锥体零件，这个零件的高是（ ）cm。 【变式训练2】一个圆柱的体积是，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ），削去部分的体积是（ ）。 考点4：圆柱与圆锥体积的等积变形 【典型例题】一个圆锥形容器，底面直径8分米，高9分米，装满水后全部倒入一个底面半径4分米的圆柱形容器中。水面会上升到多少分米？ 【变式训练1】一块圆柱形的橡皮泥底面半径是4cm，高是6cm，把它捏成一个与圆柱底面积相等的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm。 【变式训练2】一堆圆锥形的小麦，底面周长是18.84米，高是2米，把这些小麦装进一个圆柱形的粮仓中正好可以装满。这个粮仓的高是1.5米，粮仓的底面积是多少平方米？（忽略粮仓的厚度） 考点5：立体图形的切拼（圆锥） 【典型例题】如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 【变式训练1】把一个圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半，表面积增加了24cm2，如果原来圆锥的高是12cm，那么原来的圆锥的体积是（ ）cm3。 【变式训练2】一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了（ ），制作这个陀螺需要（ ）木料。 考点6：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典型例题】蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 【变式训练1】陀螺在我国至少有四五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。聪聪有一个木质陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是（ ）cm3。（π取3.14） 【变式训练2】求下面图形旋转一周形成的图形的体积（单位：厘米）。 考点7：“排水法”求不规则物体的体积（圆锥） 【典型例题】小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练1】一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练2】一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 一、选择题 1．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是9.42dm2，圆柱的底面积是（     ）dm2。 A．3.14 B．9.42 C．28.26 2．一个圆锥体积是12.56cm3，比等底等高的圆柱体积少了（     ）cm3。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 3．一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（     ）cm。 A．30 B．45 C．60 4．如图，圆柱形容器内的沙子（阴影部分）占容器容积的，倒入容器（     ）内正好倒满。 A． B． C． 5．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果圆锥的体积是36立方厘米，那么削去的部分是（     ）立方厘米。 A．24 B．36 C．72 二、填空题 6．如图是一个直角三角形，它的面积是（     ）cm2，如果以AB所在直线为轴旋转一周，那么形成的立体图形的体积是（     ）cm3。 7．把一个底面半径是10cm、高是18cm的圆柱削成一个最大的圆锥，要削去（ ）cm3。 8．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80cm3，这个圆锥的体积是（ ）cm3，圆柱的体积是（ ）cm3。 9．一个圆柱比它等底等高的圆锥的体积大120立方米，圆柱的体积是（ ）立方米。 10．一个圆锥形沙堆，底面积是31.4m2，高是4.8m，用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺（ ）m。 11．一个圆柱形容器的底面直径为10cm，高为20cm，一个圆锥形容器的底面直径也为10cm。小亮先用这个圆柱形容器装满水，然后将圆锥形容器灌满，结果如图所示。则这个圆锥形容器高（ ）cm。（容器壁厚度忽略不计） 12．李奶奶收获的稻谷堆成了圆锥体，高是5分米，底面半径是3分米，这堆稻谷的体积是（ ）立方分米，如果每立方分米稻谷重2千克，这堆稻谷重（ ）千克。 13．等底等高的长方体和圆锥，它们体积之和是128cm3，那么圆锥的体积是（ ）cm3。 14．一个高为6厘米的圆锥，体积是75.36立方厘米，与它体积相等，底面积也相等的圆柱，高是（ ）厘米。 15．一个圆锥的体积是12.56立方分米，底面直径是4分米，它的高是（ ）分米，和它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方分米。 16．在一个从里面量高24厘米的圆锥形量杯里装满水，再将这些水倒入与它底面积相等的圆柱形量杯中，水面降低（ ）厘米。 17．在一个底面半径是10厘米的圆柱形水桶中装水，水中放一个底面半径5厘米的圆锥形铅锤，铅锤全部淹没，取出铅锤后桶面水面下降2厘米，铅锤的高是（     ）。 18．一个圆柱形木料底面半径是2分米，高是90厘米，把它削成两个相对的，且高相等的圆锥（如图），底面积和原来的圆柱底面积相等，削去部分的体积是（ ）立方分米。 19．美术课上，张明用棱长6厘米的正方体陶泥捏成一个与正方体等底等高的圆柱与圆锥组成的火箭模型，如上图，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 20．如图，在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，溢出了900mL水，则每个圆锥形铁块的体积是（     ）cm3。 三、计算题 21．图形计算。 求下图的体积。（单位：cm） 22．下图中ABCD是一个直角梯形，以AB为轴并将这个直角梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，请计算这个旋转体的体积。 23．如图，从正方体中挖掉一个最大的圆锥，求剩余部分的体积。 四、解答题 24．小东家有一堆稻谷，堆成了圆锥形。稻谷堆高为1.2米，底面直径为2米。如乘果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 25．整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简易示意图（整流罩本身的厚度忽略不计）。 （1）该整流罩模型的底面面积是多少？ （2）该整流罩的容积是多少？ 26．一个圆锥形麦堆，底面直径是2米，高是0.6米，每立方米小麦重500千克。如果把这些小麦加工成面粉，小麦的出粉率是80%，可以加工出面粉多少千克？ 27．把底面半径为5厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在棱长10厘米的正方体容器中，水面上升1.57厘米（水未溢出），这个金属铸件的高是多少？（π取3.14） 28．小星买了一个圆锥形的塑料玩具，底面直径是4厘米，高是9厘米。 （1）这个圆锥形玩具的体积是多少立方厘米？ （2）小星用硬纸板做一个长方体纸盒，刚好能装下这个圆锥形玩具。做这个长方体纸盒至少用了多少平方厘米的硬纸板？（接头和纸盒厚度忽略不计） 29．底面半径为2米，高为3米的不锈钢圆柱形无盖水塔（如图）。（钢材的厚度忽略不计） （1）制作这个水塔需要多少平方米的钢材？ （2）水塔注满水后容积是多少升？ （3）水塔注满水后，将其的水抽到底面周长为12.56米的圆锥形容器内，刚好装满，这个圆锥形容器的高是多少米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学下册典型题培优讲练 专项提升08：圆锥的体积 （考点梳理+方法点拨+重难点讲解+巩固提升训练） 【考点一】圆锥的体积（容积） 【考点二】截取最大圆锥问题 【考点三】圆锥与长方体、正方体的等积变形问题 【考点四】圆锥与圆柱体积的等积变形问题 【考点五】立体图形的切拼问题（圆锥） 【考点六】组合体的体积问题（圆柱、圆锥） 【考点七】“排水法”求不规则物体的体积问题（圆锥） 考点1：圆锥的体积（容积） 圆柱的体积公式：圆柱的体积＝底面积×高 V圆柱＝Sh＝πr2h 考点2：截取最大圆锥问题 1.从圆柱中截取最大圆锥：当从一个圆柱中截取一个圆锥时，要使圆锥体积最大，这个圆锥应该和圆柱等底等高。 2.从正方体中截取最大圆锥：当在正方体中截取一个最大圆柱时，圆柱的底面直径等于正方体的棱长，圆柱的高也等于正方体的棱长。 3.从长方体中截取最大圆锥：需要分情况讨论以长方体不同的面为圆锥底面时的情况。一般来说，圆锥的底面直径最大只能等于长方体某个面的较短边长，圆锥的高则取决于长方体的棱长。 考点3：圆锥与长方体、正方体的等积变形 当圆锥与长方体、正方体之间进行等积变形时，体积始终保持不变。抓住体积相等这一核心，根据已知条件分别表示出圆锥与长方体、正方体的体积，然后建立等式求解。 考点4：圆柱与圆锥体积的等积变形 等底等高的圆锥体积是圆柱体积的。在等积变形中，可能存在圆锥和圆柱底面积、高之间的变化，但体积相等。 考点5：立体图形的切拼（圆锥） 1.把圆锥沿高切开，得到两个相同的半圆锥，切面是三角形，其面积与圆锥的底面直径和高有关； 2.若平行于圆锥底面切，会得到一个小圆锥和一个圆台。 考点6：组合体的体积（圆柱、圆锥） 1.核心原则：组合体体积=各部分体积之和/差（叠加型用和，挖去型用差）。 2.常见类型 （1）叠加型：圆柱+圆柱、圆柱+圆锥（如粮仓：下部圆柱，上部圆锥）； （2）挖去型：圆柱内挖去圆锥（等底等高时，剩余体积V柱）。 考点7：“排水法”求不规则物体的体积（圆锥） 1.排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 2.应用场景：求石块、土豆等不规则物体的体积。 3.解题步骤 （1）记录圆柱容器的底面半径r，计算底面积S底=πr2； （2）测量放入物体前的水面高度h1和放入后的高度h2，计算△h=h2－h1； （3）代入公式V物= S底×△h，得出不规则物体体积； （4）验证：水未溢出，物体完全浸没。 考点1：圆锥的体积（容积） 【典型例题】一个圆锥形容器中装有3L水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水？ 【答案】21升 【分析】首先根据水面高度正好是圆锥高度的一半，求出，其体积正好是圆锥体积的，所以还能再装水升。据此解答。 【详解】 （升） 答：这个容器还能装21升水。 【变式训练1】一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是（ ）m。 【答案】6 【分析】根据圆锥的体积＝底面积高，进行分析。 【详解】 （m） 一个圆锥的体积是，底面积是，这个圆锥的高是6m。 【变式训练2】一个圆锥形沙堆，底面积是，高是1.2m。用这堆沙在10m宽的公路上铺成1.5cm厚的路面，能铺多少米？ 【答案】50.24米 【分析】根据圆锥的体积＝底面积高，长方体的体积＝长宽高，1m＝100cm，据此进行分析。 【详解】1.5厘米＝0.015米 （米） 答：能铺50.24米。 考点2：截取最大圆锥问题 【典型例题】一个正方体一个面的面积是36平方厘米，把这个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是（ ）立方厘米。 【答案】 56.52 169.56 【分析】正方体一个面是正方形，正方形面积公式为“面积＝边长×边长”。已知一个面的面积是36平方厘米，因为6×6＝36，所以正方体的棱长是6厘米。把正方体削成“最大的圆锥”，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长（这样能保证圆锥体积最大），圆锥的底面直径为6厘米，因此底面半径为6÷2＝3厘米；圆锥的高为6厘米。根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高）。把数据代入计算即可得出圆锥的体积，因为“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”，所以用圆锥体积乘3即可得出和它等底等高的圆柱体积。 【详解】36＝6×6 把正方体削成“最大的圆锥”，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长。 6÷2＝3（厘米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3＝169.56（立方厘米） 圆锥的体积是56.52立方厘米，和它等底等高的圆柱体积是169.56立方厘米。 【变式训练1】把棱长为6分米的正方体木块，削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是（ ）立方分米。 【答案】56.52 【分析】根据题意，要计算削成的最大圆锥的体积，需先确定圆锥的底面直径和高。在棱长为6分米的正方体中削最大圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长6分米。然后运用圆锥体积公式V＝πr2h（其中r是底面半径，h是高）来计算，据此解答。 【详解】圆锥底面半径：6÷2＝3（分米） 圆锥体积： ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝56.52（立方分米） 圆锥的体积是56.52立方分米。 【变式训练2】把一个底面积为15平方分米、高为6分米的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为5分米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少厘米？ 【答案】34.4厘米 【分析】“长方体体积＝底面积×高”，已知长方体铁块底面积是15平方分米，高是6分米，所以长方体体积是15×6＝90立方分米；把长方体铁块熔铸成圆锥形铁块，只是形状改变，体积不变，即圆锥体积为15×6＝90立方分米；圆锥的底面是圆，圆的面积公式“S＝πr2”，已知圆锥底面半径为5分米，则圆锥底面积为（3.14×52）平方分米；圆锥体积＝×底面积×高，变形可得“高＝圆锥体积×3÷底面积” ；最后题目问的是高约是多少厘米，因为1分米＝10厘米，所以还要进行单位换算，分米换算为厘米是大单位换算为小单位要乘进率10。 【详解】15×6×3÷（3.14×52）×10 ＝15×6×3÷（3.14×25）×10 ＝15×6×3÷78.5×10 ＝90×3÷78.5×10 ＝270÷78.5×10 ≈3.44×10 ＝34.4（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是34.4厘米。 考点3：圆锥与长方体、正方体的等积变形 【典型例题】把一段圆柱体钢材制成一个最大的圆锥，切削掉的部分重80千克，则原来圆柱体钢材重（ ）千克。 【答案】120 【分析】根据题意，要将圆柱体钢材制成最大的圆锥，此圆锥与圆柱必然等底等高。由圆柱和圆锥的体积关系可知，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，那么切削掉部分的体积就是圆柱体积的1－＝。因为钢材的重量与体积成正比，所以切削掉部分的重量也占圆柱重量的。已知切削掉的部分重80千克，先求出1份的重量，再求出圆柱的总重量，据此解答。 【详解】80÷（3－1）×3 ＝80÷2×3 ＝40×3 ＝120（千克） 所以，原来圆柱体钢材重120千克。 【变式训练1】将一个棱长为4cm的正方体钢坯，熔铸成一个底面积是32cm2的圆锥体零件，这个零件的高是（ ）cm。 【答案】6 【分析】所熔铸成的圆锥体积与正方体体积相等，根据正方体体积＝长×宽×高求出正方体体积，再根据圆锥的体积公式：，乘3再除以圆锥底面积即可。 【详解】根据分析： 4×4×4×3÷32 ＝16×4×3÷32 ＝64×3÷32 ＝192÷32 ＝6（cm） 所以这个零件的高是6cm。 【变式训练2】一个圆柱的体积是，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是（ ），削去部分的体积是（ ）。 【答案】 4 8 【分析】先明确等底等高的圆柱与圆锥体积关系，用设份数法，根据题目给到的信息，求出一份的体积再求对应的圆柱、圆锥、削去部分体积； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，那么圆锥的体积就是圆柱体积÷3； 把等底等高的圆柱和圆锥中的圆柱体积看成是3份，圆锥是1份，削去的体积就应该为（份），求出对应一份的体积再×2即可得到答案。 【详解】（立方分米） （立方分米） 所以，一个圆柱的体积是12立方分米，把它削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是4立方分米，削去部分的体积是8立方分米。 考点4：圆柱与圆锥体积的等积变形 【典型例题】一个圆锥形容器，底面直径8分米，高9分米，装满水后全部倒入一个底面半径4分米的圆柱形容器中。水面会上升到多少分米？ 【答案】3分米 【分析】分析题目，先根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h列式求出水的体积，再根据圆柱的底面积＝πr2求出圆柱形容器的底面积，最后用水的体积除以圆柱形容器的底面积即可得到水面上升的高度。 【详解】3.14×（8÷2）2×9× ＝3.14×42×9× ＝3.14×16×9× ＝50.24×9× ＝452.16× ＝150.72（立方分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 150.72÷50.24＝3（分米） 答：水面会上升到3分米。 【变式训练1】一块圆柱形的橡皮泥底面半径是4cm，高是6cm，把它捏成一个与圆柱底面积相等的圆锥，这个圆锥的高是（ ）cm。 【答案】18 【分析】把一个圆柱形橡皮泥捏成圆锥形，体积是不变的，根据V圆锥＝πr2h，可知h＝3V圆锥÷πr2，代入数据解答即可。 【详解】3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝50.24×6 ＝301.44（cm3） 301.44×3÷（3.14×42） ＝904.32÷（3.14×16） ＝904.32÷50.24 ＝18（cm） 这个圆锥的高是18cm。 【变式训练2】一堆圆锥形的小麦，底面周长是18.84米，高是2米，把这些小麦装进一个圆柱形的粮仓中正好可以装满。这个粮仓的高是1.5米，粮仓的底面积是多少平方米？（忽略粮仓的厚度） 【答案】12.56平方米 【分析】已知圆锥形小麦的底面周长是18.84米，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2计算出底面半径；已知圆锥形小麦的高是2米，根据圆锥的体积公式计算出圆锥形小麦的体积；因为小麦装进圆柱形粮仓正好装满，所以圆锥的体积等于圆柱的体积，已知圆柱形粮仓的高是1.5米，再根据“圆柱体积＝底面积×高”用圆柱体积除以高即可计算出粮仓的底面积。据此解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） ×3.14×32×2 ＝×3.14×9×2 ＝3.14×3×2 ＝9.42×2 ＝18.84（立方米） 18.84÷1.5＝12.56（平方米） 答：粮仓的底面积是12.56平方米。 考点5：立体图形的切拼（圆锥） 【典型例题】如图，一个圆锥的高是3厘米，沿着它的高平均切成两部分，表面积增加12平方厘米，原来圆锥的底面直径是（ ）厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】 4 12.56 【分析】由题意可知：增加的面积即两个以圆锥的底面直径为底，圆锥的高为高的三角形的面积，那么一个三角形的面积为12÷2＝6平方厘米，三角形面积公式为：面积＝底×高÷2，则底＝面积×2÷高，已知高为3厘米，则底为6×2÷3＝4厘米（即圆锥的直径），所以圆锥的半径为4÷2＝2厘米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把半径2厘米，高3厘米代入公式计算即可。 【详解】12÷2×2÷3＝4（厘米） 4÷2＝2（厘米） 3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝3.14×4 ＝12.56（立方厘米） 原来圆锥的底面直径是4厘米，体积是12.56立方厘米。 【变式训练1】把一个圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半，表面积增加了24cm2，如果原来圆锥的高是12cm，那么原来的圆锥的体积是（ ）cm3。 【答案】12.56 【分析】分析题目，表面积增加的面积等于2个底等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高的三角形的面积，据此用24除以2求出一个面的面积，再根据三角形的底＝面积×2÷高求出三角形的底即圆锥的底面直径，最后根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h代入数据列式计算即可。 【详解】24÷2＝12（cm2） 12×2÷12 ＝24÷12 ＝2（cm） 3.14×（2÷2）2×12× ＝3.14×12×12× ＝3.14×1×12× ＝3.14×12× ＝37.68× ＝12.56（cm3） 把一个圆锥从顶点开始，沿着高把它切成两半，表面积增加了24cm2，如果原来圆锥的高是12cm，那么原来的圆锥的体积是12.56cm3。 【变式训练2】一个木制圆锥形陀螺底面直径是6cm，高是4cm，沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了（ ），制作这个陀螺需要（ ）木料。 【答案】 24cm2 37.68cm3 【分析】沿底面直径把陀螺切成两个完全相同的两部分，表面积增加了两个三角形的面积，三角形的底＝圆锥的底面直径＝6cm，三角形的高＝圆锥的高＝4cm，三角形的面积＝底×高÷2； 制作这个陀螺需要的材料大小即为圆锥的体积，圆锥的体积＝底面积×高÷3，据此代入数据进行解答。 【详解】6×4÷2×2＝24（cm2） 3.14×（6÷2）2×4÷3 ＝3.14×9×4÷3 ＝28.26×4÷3 ＝113.04÷3 ＝37.68（cm3） 所以，表面积增加了24cm2，制作这个陀螺需要37.68cm3木料。 考点6：组合体的体积（圆柱、圆锥） 【典型例题】蒙古包，古代称作穹庐，其上部为圆锥形，下部为圆柱形，四周用绳索固定。下图中这个蒙古包内部的空间是多少立方米？（厚度忽略不计） 【答案】120.576立方米 【分析】根据题图可知，就是求圆柱和圆锥的体积，根据、求出圆柱和圆锥的体积，相加即可； 【详解】 （立方米） 答：这个蒙古包内部的空间是120.576立方米。 【变式训练1】陀螺在我国至少有四五千年的历史，是民间最早的娱乐工具之一。聪聪有一个木质陀螺（如图），这个陀螺的体积大约是（ ）cm3。（π取3.14） 【答案】197.82 【分析】分析题目，这个陀螺的体积等于一个底面直径是6厘米高是6厘米的圆柱的体积加上一个底面直径是6厘米高是3厘米的圆锥的体积，圆柱的体积＝π（d÷2）2h，圆锥的体积＝π（d÷2）2h，据此列式计算即可。 【详解】3.14×（6÷2）2×6＋3.14×（6÷2）2×3× ＝3.14×32×6＋3.14×32×3× ＝3.14×9×6＋3.14×9×3× ＝28.26×6＋28.26×3× ＝169.56＋84.78× ＝169.56＋28.26 ＝197.82（cm3） 这个陀螺的体积大约是197.82cm3。 【变式训练2】求下面图形旋转一周形成的图形的体积（单位：厘米）。 【答案】791.28立方厘米 【分析】由图可知，图形旋转一周形成的是一个组合体，该组合体的上面是一个圆锥，下面是一个圆柱，“”“”利用公式求出圆柱和圆锥的体积，最后求出它们的和，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝791.28（立方厘米） 所以，该组合体的体积是791.28立方厘米。 考点7：“排水法”求不规则物体的体积（圆锥） 【典型例题】小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）24厘米 【分析】（1）因为圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积。上升的水形成的是一个圆柱，这个圆柱的底面半径为10厘米，水面上升了2厘米（即为高）。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可解答。 （2）已知圆锥体积为628立方厘米，圆锥底面半径为5厘米。根据公式：h＝V÷÷（πr2），π取3.14，r为半径，h为高，把数据代入公式计算即可得出圆锥铁块的高。 【详解】（1）3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是628立方厘米。 （2）628÷÷（3.14×52） ＝628×3÷（3.14×25） ＝628×3÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：圆锥形铁块的高是24厘米。 【变式训练1】一个底面半径是6厘米的圆柱体玻璃器皿里装有一部分水，水中浸没了一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个圆锥体铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】18.84平方厘米 【分析】已知圆柱体玻璃器皿的底面半径是6厘米，当把圆锥体铅锤浸没在水中，水面下降了0.5厘米，水面下降部分水的体积等于圆锥的体积，根据圆柱体积公式即可计算出圆锥体铅锤的体积； 已知圆锥体铅锤的高为9厘米，根据“圆锥体积＝×底面积×高”，用圆锥体铅锤的体积乘3除以高可得到圆锥体铅锤的底面积。据此解答。 【详解】3.14×62×0.5 ＝3.14×36×0.5 ＝113.04×0.5 ＝56.52（立方厘米） 56.52×3÷9 ＝169.56÷9 ＝18.84（平方厘米） 答：这个圆锥体铅锤的底面积是18.84平方厘米。 【变式训练2】一个圆柱形水槽，底面半径是10厘米，把一个底面半径是4厘米的圆锥形铁块浸没在水槽中，但水没有溢出水槽，当取出铁块时，水面下降了2厘米，这个圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】37.5厘米 【分析】水面下降部分的体积等于圆锥形铁块的体积。根据圆柱体积＝×半径的平方×高，计算出下降的水的体积，也就是圆锥形铁块的体积，用下降的水的体积乘3，再除以圆锥形铁块的底面积即可解答。 【详解】3.14××2×3÷（3.14×） ＝3.14×100×6÷3.14÷16 ＝600÷16 ＝37.5（厘米） 答：这个圆锥形铁块的高是37.5厘米。 一、选择题 1．一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面积是9.42dm2，圆柱的底面积是（     ）dm2。 A．3.14 B．9.42 C．28.26 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×；圆柱的体积等于圆锥的体积，圆柱的高等于圆锥的高，则圆柱的底面积＝圆锥的底面积×，据此求出圆柱的底面积。 【详解】9.42×＝3.14（dm2） 圆柱的底面积是3.14dm2。 故答案为：A 2．一个圆锥体积是12.56cm3，比等底等高的圆柱体积少了（     ）cm3。 A．6.28 B．12.56 C．25.12 【答案】C 【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍；用圆锥的体积乘3，求出圆柱的体积；再用圆柱的体积减去圆锥的体积，求出圆锥比等底等高的圆柱少的体积。 【详解】12.56×3＝37.68（cm3） 37.68－12.56＝25.12（cm3） 比等底等高的圆柱体积少了25.12cm3。 故答案为：C 3．一个圆柱和圆锥的体积相等，它们的底面积的比是3∶2，圆柱的高是10cm，圆锥的高是（     ）cm。 A．30 B．45 C．60 【答案】B 【分析】已知圆柱和圆锥的底面积的比是3∶2，可以把圆柱的底面积看作3份，则圆锥的底面积看作2份；根据“圆柱和圆锥的体积相等”以及圆柱、圆锥的体积公式可得出等量关系：S锥h锥＝S柱h柱，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设圆锥的高为hcm。 ×2×h＝3×10 h＝30 h＝30÷ h＝30× h＝45 圆锥的高是45cm。 故答案为：B 4．如图，圆柱形容器内的沙子（阴影部分）占容器容积的，倒入容器（     ）内正好倒满。 A． B． C． 【答案】C 【分析】圆柱体积＝底面积×高，据此求圆柱形容器的容积，将圆柱形容器的容积看作单位“1”，圆柱形容器的容积×沙子对应分率＝沙子体积；再根据圆锥体积＝底面积×高×，分别计算出各选项容器的容积，与沙子体积相等的即可。 【详解】π×（10÷2）2×16× ＝π×52×16× ＝π×25×16× ＝π A.π×（16÷2）2×10× ＝π×82×10× ＝π×64×10× ＝π B.π×（8÷2）2×16× ＝π×42×16× ＝π×16×16× ＝π C.π×（10÷2）2×16× ＝π×52×16× ＝π×25×16× ＝π 倒入容器内正好倒满。 故答案为：C 5．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，如果圆锥的体积是36立方厘米，那么削去的部分是（     ）立方厘米。 A．24 B．36 C．72 【答案】C 【分析】把圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥和原来的圆柱等底等高，等底等高的圆锥的体积是圆柱的，将圆柱的体积看作单位“1”，那么削去部分的体积是圆柱的，如果圆锥的体积是36立方厘米，那么圆柱的体积是立方厘米，削去的部分是立方厘米。 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） 所以削去的部分是72立方厘米； 故答案为：C 二、填空题 6．如图是一个直角三角形，它的面积是（     ）cm2，如果以AB所在直线为轴旋转一周，那么形成的立体图形的体积是（     ）cm3。 【答案】 4.5 28.26 【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式即可求出这个三角形的面积。如果以AB所在直线为轴旋转一周，形成一个底面半径和高都是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：Vπr2h，把数据代入公式解答。 【详解】3×3÷2＝4.5（cm2） 3.14×32×3 3.14×9×3 ＝28.26（cm3） 即这个三角形的面积是4.5cm2，圆锥的体积是28.26cm3。 7．把一个底面半径是10cm、高是18cm的圆柱削成一个最大的圆锥，要削去（ ）cm3。 【答案】3768 【分析】分析题目，将一个圆柱削成最大的圆锥时，圆锥与圆柱等底等高，根据圆柱和圆锥的体积公式可知：削成的圆锥体积是圆柱体积的，则削去部分的体积占圆柱体积的（1－），根据圆柱的体积＝πr2h求出圆柱的体积，最后乘（1－）即可求出削去部分的体积。 【详解】3.14×102×18×（1－） ＝3.14×100×18×（1－） ＝314×18× ＝5652× ＝3768（cm3） 把一个底面半径是10cm、高是18cm的圆柱削成一个最大的圆锥，要削去3768cm3。 8．等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80cm3，这个圆锥的体积是（ ）cm3，圆柱的体积是（ ）cm3。 【答案】 20 60 【分析】圆柱的体积＝πr2h，圆锥的体积＝πr2h，据此可知等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，最后用圆锥的体积乘3即可求出圆柱的体积。 【详解】80÷（3＋1） ＝80÷4 ＝20（cm3） 20×3＝60（cm3） 等底等高的圆柱和圆锥，它们的体积之和是80cm3，这个圆锥的体积是20cm3，圆柱的体积是60cm3。 9．一个圆柱比它等底等高的圆锥的体积大120立方米，圆柱的体积是（ ）立方米。 【答案】180 【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积差相当于圆柱体积的（1－），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答。 【详解】120÷（1－） ＝120÷ ＝120× ＝180（立方米） 圆柱的体积是180立方米。 10．一个圆锥形沙堆，底面积是31.4m2，高是4.8m，用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺（ ）m。 【答案】314 【分析】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；把铺的路看作一个长方体，圆锥形沙堆的体积等于长方体的体积；长方体的宽等于8m，高等于2cm；根据长方体体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），据此求出铺路的长度，注意单位的换算。 【详解】2cm＝0.02m 31.4×4.8×÷（8×0.02） ＝31.4×4.8×÷0.16 ＝150.72×÷0.16 ＝50.24÷0.16 ＝314（m） 一个圆锥形沙堆，底面积是31.4m2，高是4.8m，用这堆沙在8m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺314m。 11．一个圆柱形容器的底面直径为10cm，高为20cm，一个圆锥形容器的底面直径也为10cm。小亮先用这个圆柱形容器装满水，然后将圆锥形容器灌满，结果如图所示。则这个圆锥形容器高（ ）cm。（容器壁厚度忽略不计） 【答案】30 【分析】根据图可知，圆柱形容器的水倒入圆锥形容器中，圆柱形容器里的水正好一半倒入圆锥形容器中，所以圆锥形容器内的水的体积等于圆柱形容器内水的体积的一半；根据圆柱的体积＝底面积×高，据此求出圆柱形容器内水的体积，进而求出圆锥形容器内水的体积，再根据圆锥的体积＝底面积×高×，高＝圆锥的容积÷÷底面积，据此求出圆锥形容器的高。 【详解】3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝3.14×52×20÷2 ＝3.14×25×20÷2 ＝78.5×20÷2 ＝1570÷2 ＝785（cm3） 785÷÷[3.14×（10÷2）2] ＝785÷÷[3.14×52] ＝785÷÷[3.14×25] ＝785÷÷78.5 ＝785×3÷78.5 ＝2355÷78.5 ＝30（cm） 这个圆锥形容器的高是30cm。 12．李奶奶收获的稻谷堆成了圆锥体，高是5分米，底面半径是3分米，这堆稻谷的体积是（ ）立方分米，如果每立方分米稻谷重2千克，这堆稻谷重（ ）千克。 【答案】 47.1 94.2 【分析】稻谷堆成了圆锥体，圆锥的体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r表示底面半径，h表示高）。已知底面半径为3分米，高为5分米，把数据代入公式计算即可得出这堆稻谷的体积，每立方分米稻谷重2千克，然后用体积与2相乘即可解答。 【详解】×3.14×32×5 ＝×3.14×9×5 ＝3.14×3×5 ＝9.42×5 ＝47.1（立方分米） 2×47.1＝94.2（千克） 这堆稻谷的体积是47.1立方分米，如果每立方分米稻谷重2千克，这堆稻谷重94.2千克。 13．等底等高的长方体和圆锥，它们体积之和是128cm3，那么圆锥的体积是（ ）cm3。 【答案】32 【分析】等底等高的长方体体积是圆锥体积的3倍，它们体积之和是圆锥体积的（3＋1）倍，用它们体积之和除以（3＋1），就是圆锥的体积。 【详解】128÷（3＋1） ＝128÷4 ＝32（立方厘米） 所以圆锥的体积是32立方厘米。 14．一个高为6厘米的圆锥，体积是75.36立方厘米，与它体积相等，底面积也相等的圆柱，高是（ ）厘米。 【答案】2 【分析】圆柱的体积是与其等底等高圆锥体积的3倍。圆柱和圆锥的体积相等，底面积相等，则圆锥的高是圆柱高的3倍。据此解答。 【详解】6÷3＝2（厘米） 所以圆柱的高是2厘米。 15．一个圆锥的体积是12.56立方分米，底面直径是4分米，它的高是（ ）分米，和它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方分米。 【答案】 3 37.68 【分析】根据圆锥底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆锥的高＝体积×3÷底面积，求出它的高；等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，直接用圆锥体积×3，即可求出等底等高的圆柱的体积。 【详解】12.56×3÷[3.14×（4÷2）2] ＝37.68÷[3.14×22] ＝37.68÷[3.14×4] ＝37.68÷12.56 ＝3（分米） 12.56×3＝37.68（立方分米） 它的高是3分米，和它等底等高的圆柱的体积是37.68立方分米。 16．在一个从里面量高24厘米的圆锥形量杯里装满水，再将这些水倒入与它底面积相等的圆柱形量杯中，水面降低（ ）厘米。 【答案】16 【分析】由题意可知，水的体积不变，圆锥与圆柱底面积相等。根据等底等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是圆柱高的3倍，因此圆锥的高24厘米对应圆柱的高为8厘米，用圆锥的水面高度减去圆柱的水面高度就是水面降低的高度。 【详解】圆锥体积公式： 将水倒入底面积相等的圆柱形量杯中，圆柱体积公式： 因为水的体积不变，则 即： 因此圆柱中水面高度为： （厘米） 24－8＝16（厘米） 因此，水面降低的高度为16厘米。 17．在一个底面半径是10厘米的圆柱形水桶中装水，水中放一个底面半径5厘米的圆锥形铅锤，铅锤全部淹没，取出铅锤后桶面水面下降2厘米，铅锤的高是（     ）。 【答案】24厘米/24cm 【分析】根据题意知道圆柱形水桶的水面下降的2厘米的水的体积就是圆锥形铅块的体积，由此再根据圆锥的体积公式的变形，h＝3V÷S，即可求出铅锥的高． 【详解】3.14××2×3÷（3.14×） ＝3.14×100×6÷（3.14×25） ＝314×6÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 所以铅锤的高是24厘米。 18．一个圆柱形木料底面半径是2分米，高是90厘米，把它削成两个相对的，且高相等的圆锥（如图），底面积和原来的圆柱底面积相等，削去部分的体积是（ ）立方分米。 【答案】75.36 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，把一个底面半径是2分米，高是90厘米的圆柱形木料，削成两个相对的，且高相等的圆锥形物体，底面积和原来的圆柱底面积相等，则1个圆锥的体积是圆柱体积的，两个相对圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积是圆柱形木料体积的（1－），根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】90厘米＝9分米 3.14×22×9×（1－） ＝113.04× ＝75.36（立方分米） 所以削去部分的体积是75.36立方分米。 19．美术课上，张明用棱长6厘米的正方体陶泥捏成一个与正方体等底等高的圆柱与圆锥组成的火箭模型，如上图，圆锥的体积是（ ）立方厘米。 【答案】54 【分析】把正方体捏成任何形状，体积都是不变的，所以圆柱和圆锥的体积之和与正方体的体积相等；圆柱与圆锥“等底等高”，则圆柱与圆锥的体积之比为，由此可知圆锥体积是正方体的体积的，据此解答即可。 【详解】正方体的体积：6×6×6＝216（立方厘米） 因为圆柱体积＋圆锥体积＝正方体的体积，且等底等高的圆柱与圆锥的体积之比为， 所以圆锥的体积为： 216× ＝216× ＝54（立方厘米） 所以，圆锥的体积是54立方厘米。 20．如图，在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，溢出了900mL水，则每个圆锥形铁块的体积是（     ）cm3。 【答案】150 【分析】先清楚等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。再结合本题中的溢水情况解题。在容器中放入1个圆柱形铁块和3个与圆柱等底等高的圆锥形铁块，那么溢出水的体积等于这4个铁块体积的和，就等于（3＋3）个圆锥形铁块的体积。用溢出水的重量除以（3＋3），求出每个圆锥形铁块的体积。 【详解】900÷（3＋3） ＝900÷6 ＝150（cm3） 所以每个圆锥形铁块的体积是150cm3。 三、计算题 21．图形计算。 求下图的体积。（单位：cm） 【答案】169.56cm3 【分析】观察图形可知，该图形由一个圆锥和一个圆柱组成，且等底。已知底面直径为6cm，那么半径为6÷2＝3cm，圆锥的高为6cm，圆柱的高为4cm。根据圆锥体积公式V＝πr2h，圆柱体积公式V＝πr2h，把数据分别代入公式计算后再相加，即可得出该图形的体积。 【详解】6÷2＝3（cm） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（cm3） 3.14×32×4 ＝3.14×9×4 ＝113.04（cm3） 56.52＋113.04＝169.56（cm3） 该图形的体积是169.56cm3。 22．下图中ABCD是一个直角梯形，以AB为轴并将这个直角梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，请计算这个旋转体的体积。 【答案】113.04cm3 【分析】得到的旋转体如图，这个旋转体的体积＝圆柱体积＋圆锥体积，圆柱体积＝底面积×高，圆锥体积＝底面积×高÷3，据此列式计算。 【详解】3.14×32×3＋3.14×32×（6－3）÷3 ＝3.14×9×3＋3.14×9×3÷3 ＝84.78＋28.26 ＝113.04（cm3） 这个旋转体的体积是113.04cm3。 23．如图，从正方体中挖掉一个最大的圆锥，求剩余部分的体积。 【答案】159.48cm3 【分析】要从正方体中挖掉一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，由图可知正方体的棱长是6cm，所以圆锥的底面直径是6cm，那么半径为6÷2＝3cm；根据正方体体积公式V＝a×a×a（a为正方体的棱长），圆锥的体积公式V＝πr2h（r为圆锥底面半径，h为圆锥的高，π取3.14），把数据分别代入公式计算后，再用正方体体积减圆锥体积即可得出剩余部分的体积。 【详解】6×6×6＝216（cm3） 6÷2＝3（cm） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3×3.14×6 ＝9.42×6 ＝56.52（cm3） 216－56.52＝159.48（cm3） 剩余部分的体积是159.48cm3。 四、解答题 24．小东家有一堆稻谷，堆成了圆锥形。稻谷堆高为1.2米，底面直径为2米。如乘果每立方米稻谷的质量为700千克，这堆稻谷的质量为多少千克？ 【答案】879.2千克 【分析】稻谷为圆锥形，底面直径为2米，那么半径为2÷2＝1米，高为1.2米，根据圆锥体积公式：V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），每立方米稻谷的质量为700千克，把数据代入公式计算后再与700相乘即可解答。 【详解】2÷2＝1（米） ×3.14×12×1.2×700 ＝×3.14×1×1.2×700 ＝×3.768×700 ＝1.256×700 ＝879.2（千克） 答：这堆稻谷的质量为879.2千克。 25．整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简易示意图（整流罩本身的厚度忽略不计）。 （1）该整流罩模型的底面面积是多少？ （2）该整流罩的容积是多少？ 【答案】（1）12.56平方米 （2）150.72立方米 【分析】（1）由图可知，该底面直径为4米，那么半径为4÷2＝2米，根据底面积公式：S＝πr2，（π取3.14，r为半径），把数据代入计算即可解答。 （2）整流罩由圆锥和圆柱组成，且底面积相等，所以整流罩的容积＝圆柱容积＋圆锥容积，圆柱的高为10米，整个整流罩的高为16米，所以圆锥的高为16－10＝6米。底面积已由（1）计算得出，根据圆柱体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为圆柱的高），圆锥体积公式：V＝Sh（S为底面积，h为圆锥的高），把数据分别代入计算后再相加即可解答。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 答：该整流罩模型的底面面积是12.56平方米。 （2）4÷2＝2（米） 12.56×10＋×12.56×（16－10） ＝125.6＋×12.56×6 ＝125.6＋2×12.56 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（立方米） 答：该整流罩的容积是150.72立方米。 26．一个圆锥形麦堆，底面直径是2米，高是0.6米，每立方米小麦重500千克。如果把这些小麦加工成面粉，小麦的出粉率是80%，可以加工出面粉多少千克？ 【答案】251.2千克 【分析】圆锥形麦堆，底面直径是2米，那么底面半径为2÷2＝1米，高是0.6米，根据圆锥体积公式为：V＝πr2h（r是底面半径，h是高，π取3.14）。把数据代入公式得：×3.14×12×0.6＝0.628（立方米）。 已知每立方米小麦重500千克，用麦堆体积乘单位体积小麦质量，得总质量为：500×0.628＝314（千克）。出粉率是面粉质量占小麦总质量的百分比，公式为：面粉质量＝小麦总质量×出粉率。已知出粉率是80%，把数据代入公式计算即可。 【详解】2÷2＝1（米） ×3.14×12×0.6 ＝×3.14×1×0.6 ＝0.2×3.14×1 ＝0.628×1 ＝0.628（立方米） 500×0.628＝314（千克） 314×80% ＝314×0.8 ＝251.2（千克） 答：可以加工出面粉251.2千克。 27．把底面半径为5厘米的圆锥形金属铸件完全浸没在棱长10厘米的正方体容器中，水面上升1.57厘米（水未溢出），这个金属铸件的高是多少？（π取3.14） 【答案】6厘米 【分析】根据题意，把圆锥形金属铸件完全浸没在有水的正方体容器中，水面上升1.57厘米，那么上升部分水的体积等于圆锥的体积，水上升部分是一个底面边长为10厘米、高为1.57厘米的长方体，根据长方体的体积公式V＝abh，求出圆锥的体积； 已知圆锥形金属铸件的底面半径为5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积； 根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的高h＝3V÷S，代入数据计算求出圆锥的高。 【详解】圆锥的体积： 10×10×1.57＝157（立方厘米） 圆锥的底面积： 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 圆锥的高： 157×3÷78.5 ＝471÷78.5 ＝6（厘米） 答：这个金属铸件的高是6厘米。 28．小星买了一个圆锥形的塑料玩具，底面直径是4厘米，高是9厘米。 （1）这个圆锥形玩具的体积是多少立方厘米？ （2）小星用硬纸板做一个长方体纸盒，刚好能装下这个圆锥形玩具。做这个长方体纸盒至少用了多少平方厘米的硬纸板？（接头和纸盒厚度忽略不计） 【答案】（1）37.68立方厘米 （2）176平方厘米 【分析】（1）根据圆锥的体积公式：（其中是底面半径，是高，π取3.14进行计算），半径等于直径的一半，已知该圆锥形塑料玩具的底面直径是4厘米，高是9厘米，代入数值即可求解这个圆锥形玩具的体积是多少立方厘米； （2）要刚好装下圆锥，长方体纸盒的长和宽应等于圆锥的底面直径，高等于圆锥的高，根据长方体的表面积公式：（其中是长，是宽，是高），代入数值即可求解做这个长方体纸盒至少用了多少平方厘米的硬纸板。 【详解】（1）半径：（厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 答：这个圆锥形玩具的体积是37.68立方厘米。 （2）长方体的表面积： （平方厘米） 答：做这个长方体纸盒至少用了176平方厘米的硬纸板。 29．底面半径为2米，高为3米的不锈钢圆柱形无盖水塔（如图）。（钢材的厚度忽略不计） （1）制作这个水塔需要多少平方米的钢材？ （2）水塔注满水后容积是多少升？ （3）水塔注满水后，将其的水抽到底面周长为12.56米的圆锥形容器内，刚好装满，这个圆锥形容器的高是多少米？ 【答案】（1）50.24平方米 （2）37680升 （3）1.5米 【分析】（1）制作无盖圆柱形水塔所需钢材面积为圆柱的侧面积加上一个底面积。公式为：S＝πr2＋2πrh（r为底面半径，h为高，π取3.14），已知半径为2米，高为3米，把数据代入计算即可解答。 （2）水塔注满水后的容积，就是圆柱的容积，圆柱容积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），半径为2米，高为3米，把数据代入公式计算即可解答。 （3）水塔的的水抽到底面周长为12.56米的圆锥形容器内，即圆柱容积×＝圆锥容积，圆锥底面周长是12.56米，根据底面周长公式：C＝2πr（π取3.14，r为底面半径），则r＝C÷2÷π，把数据代入计算即可得出圆锥底面半径。根据圆锥体积公式：V＝πr2h，则h＝V÷÷π÷r2，已知体积为：圆柱容积（由（2）已得出）×，把体积和半径代入计算即可解答。 【详解】（1）3.14×22＋2×3.14×2×3 ＝3.14×4＋2×3.14×2×3 ＝12.56＋6.28×2×3 ＝12.56＋12.56×3 ＝12.56＋37.68 ＝50.24（平方米） 答：制作这个水塔需要50.24平方米的钢材。 （2）3.14×22×3 ＝3.14×4×3 ＝12.56×3 ＝37.68（立方米） 1立方米＝1000升 37.68×1000＝37680（升） 答：水塔注满水后容积是37680升。 （3）37.68×＝6.28（立方米） 12.56÷2÷3.14＝2（米） 6.28÷÷3.14÷22 ＝6.28×3÷3.14÷4 ＝18.84÷3.14÷4 ＝6÷4 ＝1.5（米） 答：这个圆锥形容器的高是1.5米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $