6.2.3 向量的数乘运算 学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量数乘运算 学习目标　1.了解向量数乘的概念.2.理解并掌握平面向量数乘运算及运算规则.3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.4.会用向量的数乘运算解决平行(共线)等平面问题. 第一部分 自 学 阅读课本13-16页，思考并完成以下问题以及【知识梳理】部分 1、向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2、向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3、向量的线性运算是指的哪三种运算？ 4、向量共线定理是怎样表述的？ 第二部分 互学 导学 一、新知引入 实数的运算中，3个5相加，我们可以写成5+5+5，也可以用乘法表示成5×3；3个a相加，我们可以写成a+a+a，也可以用乘法表示成3a；在向量的运算中，3个a相加，我们可以写成a+a+a，能不能写成3a？这就是我们今天要研究的向量的数乘运算. 二、新知探究 探究1：向量的数乘运算 问题1 已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+ (-a)+ (-a)，它们的方向和长度是怎样的？  问题2 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？ 问题3 我们知道数的乘法满足交换律、结合律和分配律，那么向量的数乘运算是否也满足这些运算律呢？请你写出来并加以验证． 【知识梳理】 1.一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个　 　，这种运算叫做向量的　 ，记作　 　　 (1)λa的长度为：|λa|=　　　　　　. (2)λa的方向： 特别地，当λ=0时，λa=　　　　　　. 当λ= -1时，(-1)a=　　　　　　. (3)λa的几何意义：　 2.数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)=　　　　　　. (2)(λ+μ)a=　　　　　　. (3)λ(a+b)=　　　　　　. 特别地，(-λ)a=-(λa)=　　　　　　，λ(a-b)=　　　　　　. 3.向量的线性运算 向量的　　　　、　　　　、　　　　　　运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是　　　　　　　　.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=　　　　　　　　　　. 例1 计算：(1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 【方法归纳】类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数. 提醒：λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模. 探究2：用已知向量表示其他向量 例2如图2,ABCD的两条对角线相交于点M,且=a,=b,你能用a、b表示和吗? 【方法归纳】 点C在线段AB上，且，则 练习： 探究3：平面向量共线定理 问题4 (1)引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积λa与原向量a之间的位置关系吗？ (2) 如果b=λa(a≠0)，那么向量a，b是否共线？反过来，若向量b与非零向量a共线，那么是否存在一个实数λ，使得b=λa？ 问题5：向量a可以是零向量吗？ 【知识梳理】 向量共线定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　　　　　 　. 练习：判断下列各小题的向量a与b是否共线。 （1）a=2e，b=-2e （2）a=e1-e2，b=-2e1+2e2. 例3.如图3,已知任意两个非零向量a、b,试作=a+b,=a+2b,=a+3b.猜想A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 例4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b-ta,a-b共线，求实数t的值． 【方法归纳】(1)运用向量知识判断A，B，C三点是否共线，可先判断向量共线，即是否存在λ，使=λ(或=λ等)成立，再说明两向量所在的直线有公共点即可说明. （2）已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.　 【三、课堂总结】 (1)向量的数乘运算及其几何意义. (2)用已知向量表示其他向量. (3)向量共线定理及其应用（证明三点共线等） 【巩固练习】 1.(多选)下列运算正确的是(　　) A.(-3)·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b 2.(多选)已知A，B，C是不重合的三点，则下列结论正确的是(　　) A.=- B.与共线的单位向量是 C.若=2，则A，B，C三点共线 D.若=2，则= 3.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则等于(　　) A.-+ B.+ C.- D.- 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $