专题02二次根式的运算 同步培优讲义 2025-2026学年八年级数学下册（浙教版）

专题02 二次根式的运算同步培优讲义 模块一 题型预览 【题型1 二次根式的乘法】 3 【题型2 二次根式的除法】 4 【题型3 分母有理化】 5 【题型4 二次根式的乘除混合运算】 8 【题型5 复合二次根式的化简】 10 【题型6 同类二次根式】 12 【题型7 二次根式的加减运算】 14 【题型8 二次根式的混合运算】 15 【题型9 已知字母的值化简求值】 17 【题型10 已知条件式，化简求值】 20 【题型11 比较二次根式的大小】 22 【题型12 二次根式的应用】 24 【解答题5道】 26 一、运算前提：最简二次根式（运算基础） 1. 定义回顾：同时满足以下三个条件的二次根式，叫做最简二次根式（后续运算需先将所有二次根式化为最简）： ① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 被开方数中不含分母； ③ 分母中不含二次根式（即分母有理化）。 2. 快速判断：（最简）、（非最简，可化为）、（非最简，可化为）。 二、二次根式的加减法（核心：合并同类二次根式） 1. 同类二次根式定义：将几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式（与根号外系数无关）。 示例：（化简为）、（化简为）是同类二次根式；与不是同类二次根式。 2. 加减法步骤（三步法）： ① 化简：将所有参与运算的二次根式化为最简二次根式； ② 找同类：找出被开方数相同的同类二次根式； ③ 合并：将同类二次根式的系数相加，根号和被开方数保持不变（非同类二次根式不能合并）。 4. 易错提醒：非同类二次根式不能合并，如无法进一步运算，不能误写成。 三、二次根式的乘除法 （一）乘法运算 1. 运算法则：（其中，）； 文字表述：两个非负二次根式相乘，积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。 2. 运算步骤： ① 先按法则将被开方数相乘，写成一个二次根式； ② 化简这个二次根式，化为最简二次根式（若能开尽方，直接化为整数/整式）。 （二）除法运算 1. 运算法则：（其中，）； 文字表述：两个非负二次根式相除，商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商（分母，避免无意义）。 2. 运算步骤（两种方法）： 方法一：按法则将被开方数相除，再化简； 方法二：先分母有理化（分子分母同乘分母的二次根式），再化简（适用于分母含二次根式的情况）。 四、二次根式的混合运算 1. 运算顺序（与有理数混合运算一致）： 先算乘方（如），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号）。 2. 关键技巧： ① 灵活运用乘法公式：平方差公式、完全平方公式，简化运算； ② 运算过程中，及时化简二次根式，避免计算繁琐； ③ 注意符号：负号参与运算时，遵循有理数符号法则（同号得正，异号得负）。 五、常见易错点（1.3小节） 1. 未将二次根式化为最简就进行加减运算，误合并非同类二次根式； 2. 乘除运算时，忽略被开方数的非负条件（如无意义，不可运算）； 3. 分母有理化时，只将分子乘二次根式，分母未乘，导致运算错误； 4. 混合运算时，混淆运算顺序（如先算加减，后算乘除）； 5. 运用乘法公式时，符号出错（如误写成）。 【题型1 二次根式的乘法】 【典例1】．计算×​的结果等于______． 【跟踪训练1】．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________． 【跟踪训练2】．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【跟踪训练3】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 二次根式的除法】 【典例2】．计算： 【跟踪训练1】．计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【跟踪训练2】．计算： （1）_____； （2）__________． 【跟踪训练3】．化简的结果是__________． 【题型3 分母有理化】 【典例3】．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．计算： 【跟踪训练2】．计算：． 【跟踪训练3】．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 【题型4 二次根式的乘除混合运算】 【典例4】．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【跟踪训练2】．化简的结果为__________． 【跟踪训练3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【题型5 复合二次根式的化简】 【典例5】．__________． 【跟踪训练1】．化简：____________________． 【跟踪训练2】．设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为___________． 【跟踪训练3】．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 _____ ． 【题型6 同类二次根式】 【典例6】．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【跟踪训练2】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【跟踪训练3】．若最简二次根式与可以合并，则___________． 【题型7 二次根式的加减运算】 【典例7】．计算的结果是_______． 【跟踪训练1】．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 【跟踪训练2】．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【跟踪训练3】．计算的结果是_______． 【题型8 二次根式的混合运算】 【典例8】．计算： （1）______． （2）______． 【跟踪训练1】．计算： (1) (2) 【跟踪训练2】．计算： 【跟踪训练3】．计算： (1) (2) 【题型9 已知字母的值化简求值】 【典例9】．先化简，再求值：，其中 ． 【跟踪训练1】．已知．求的值． 【跟踪训练2】．先化简，再求值：，其中． 【跟踪训练3】．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【题型10 已知条件式，化简求值】 【典例10】．已知对，，求的值． 【跟踪训练1】．已知：，求代数式的值． 【跟踪训练2】．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【跟踪训练3】．已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【题型11 比较二次根式的大小】 【典例11】．比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【跟踪训练1】．比较大小：______6． 【跟踪训练2】．比较大小： (1)与 (2)与 【跟踪训练3】．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 【题型12 二次根式的应用】 【典例12】．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 【跟踪训练1】．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 【跟踪训练2】．喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【跟踪训练3】．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【解答题5道】 1．计算：． 2．先化简，再求值：，其中． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 4．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 5．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算同步培优讲义 模块一 题型预览 【题型1 二次根式的乘法】 3 【题型2 二次根式的除法】 4 【题型3 分母有理化】 5 【题型4 二次根式的乘除混合运算】 8 【题型5 复合二次根式的化简】 10 【题型6 同类二次根式】 12 【题型7 二次根式的加减运算】 14 【题型8 二次根式的混合运算】 15 【题型9 已知字母的值化简求值】 17 【题型10 已知条件式，化简求值】 20 【题型11 比较二次根式的大小】 22 【题型12 二次根式的应用】 24 【解答题5道】 26 一、运算前提：最简二次根式（运算基础） 1. 定义回顾：同时满足以下三个条件的二次根式，叫做最简二次根式（后续运算需先将所有二次根式化为最简）： ① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； ② 被开方数中不含分母； ③ 分母中不含二次根式（即分母有理化）。 2. 快速判断：（最简）、（非最简，可化为）、（非最简，可化为）。 二、二次根式的加减法（核心：合并同类二次根式） 1. 同类二次根式定义：将几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式（与根号外系数无关）。 示例：（化简为）、（化简为）是同类二次根式；与不是同类二次根式。 2. 加减法步骤（三步法）： ① 化简：将所有参与运算的二次根式化为最简二次根式； ② 找同类：找出被开方数相同的同类二次根式； ③ 合并：将同类二次根式的系数相加，根号和被开方数保持不变（非同类二次根式不能合并）。 4. 易错提醒：非同类二次根式不能合并，如无法进一步运算，不能误写成。 三、二次根式的乘除法 （一）乘法运算 1. 运算法则：（其中，）； 文字表述：两个非负二次根式相乘，积的算术平方根等于这两个数的算术平方根的积。 2. 运算步骤： ① 先按法则将被开方数相乘，写成一个二次根式； ② 化简这个二次根式，化为最简二次根式（若能开尽方，直接化为整数/整式）。 （二）除法运算 1. 运算法则：（其中，）； 文字表述：两个非负二次根式相除，商的算术平方根等于这两个数的算术平方根的商（分母，避免无意义）。 2. 运算步骤（两种方法）： 方法一：按法则将被开方数相除，再化简； 方法二：先分母有理化（分子分母同乘分母的二次根式），再化简（适用于分母含二次根式的情况）。 四、二次根式的混合运算 1. 运算顺序（与有理数混合运算一致）： 先算乘方（如），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号）。 2. 关键技巧： ① 灵活运用乘法公式：平方差公式、完全平方公式，简化运算； ② 运算过程中，及时化简二次根式，避免计算繁琐； ③ 注意符号：负号参与运算时，遵循有理数符号法则（同号得正，异号得负）。 五、常见易错点（1.3小节） 1. 未将二次根式化为最简就进行加减运算，误合并非同类二次根式； 2. 乘除运算时，忽略被开方数的非负条件（如无意义，不可运算）； 3. 分母有理化时，只将分子乘二次根式，分母未乘，导致运算错误； 4. 混合运算时，混淆运算顺序（如先算加减，后算乘除）； 5. 运用乘法公式时，符号出错（如误写成）。 【题型1 二次根式的乘法】 【典例1】．计算×​的结果等于______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法等知识点，解题关键是掌握二次根式的乘法． 直接用二次根式的乘法法则进行计算． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪训练1】．已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是关键． 根据长方形的面积等于长乘以宽，代入数值计算，并化简二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪训练2】．长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪训练3】．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的算术平方根，先计算被开方数的值，再根据算术平方根的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：∵， ∴， 选项A：和在实数范围内无意义，原运算错误，不符合题意； 选项B：，原运算错误，不符合题意， 选项C：，原运算正确，符合题意； 选项D：，原运算错误，不符合题意， 故选：C． 【题型2 二次根式的除法】 【典例2】．计算： 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪训练1】．计算：（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据二次根式除法法则：计算即可． 【详解】解：． 【跟踪训练2】．计算： （1）_____； （2）__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法． （1）应用二次根式的除法法则，将除法转化为被开方数的除法即可； （2）应用二次根式的除法法则，先计算被开方数的除法，再开方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 故答案为：，，． 【跟踪训练3】．化简的结果是__________． 【答案】 【分析】利用二次根式的除法运算，乘法运算，性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质，二次根式乘法运算，除法运算，熟练掌握性质和运算是解题的关键． 【详解】解： 由，根据题意，得， 故答案为：． 【题型3 分母有理化】 【典例3】．将分母有理化的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式运算法则是解本题的关键． 通过分子分母同时乘以 ，消除分母中的根号，实现分母有理化． 【详解】解：， ∴ 分母有理化的结果为， 故选： A． 【跟踪训练1】．计算： 【答案】 【详解】解： 【跟踪训练2】．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【跟踪训练3】．阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如： 任务： (1)分母有理化：___________； 化简“理想二次根式”：___________． (2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分子分母同乘以进行分母有理化即可；将变形为求解即可； （2）先代入，然后进行分母有理化和化简“理想二次根式”，再进行加减计算． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． ． ． 【题型4 二次根式的乘除混合运算】 【典例4】．计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【跟踪训练1】．计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 【跟踪训练2】．化简的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除，熟练掌握二次根式的乘除法的法则，二次根式的性质，是解题的关键． 将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则和性质简化即可． 【详解】原式 ． 故答案为 【跟踪训练3】．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，解题的关键是掌握运算顺序和运算法则． （1）先化简，再根据二次根式乘除法法则计算即可得答案； （2）先化简各二次根式、将除法转化为乘法，再计算乘法即可； （3）先将二次根式化简，然后计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【题型5 复合二次根式的化简】 【典例5】．__________． 【答案】/ 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，将原式变形为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【跟踪训练1】．化简：____________________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，完全平方公式的运算，根据完全平方公式将化成，再由二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【跟踪训练2】．设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵a为正整数，b在0和1之间， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练3】．设的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 _____ ． 【答案】 【分析】此题考查了估算无理数的大小，化简得出的整数部分为，小数部分为，代入计算即可求出值． 将 化简为 ，确定整数部分 和小数部分 ，再代入表达式计算 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴ ， 故答案为：5． 【题型6 同类二次根式】 【典例6】．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 【跟踪训练1】．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（   ） A．2023 B． C．2024 D． 【答案】B 【分析】本题考查同类最简二次根式的概念，最简二次根式可以合并的条件是它们的被开方数相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴它们的被开方数相等，即， 解得． 故选：B． 【跟踪训练2】．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的判定．需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简二次根式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可求解． 【详解】解：∵同类二次根式是指化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式， A、，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； B、，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； C、，最简形式的被开方数为，与被开方数不同，不是同类二次根式； D、，最简形式的被开方数为，与被开方数相同，是同类二次根式． 故选：D． 【跟踪训练3】．若最简二次根式与可以合并，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，根据同类二次根式，最简二次根式的定义可得和，求出m，n的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，， 解得：；， ∴． 故答案为：2． 【题型7 二次根式的加减运算】 【典例7】．计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的减法运算法则求解即可． 【详解】解：． 【跟踪训练1】．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的应用，判断出矩形的长，宽可得结论． 【详解】解：由题意矩形的长为， 宽为， 故答案为：；． 【跟踪训练2】．若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 【跟踪训练3】．计算的结果是_______． 【答案】 【详解】 ． 【题型8 二次根式的混合运算】 【典例8】．计算： （1）______． （2）______． 【答案】 1 【分析】（1）先根据立方根的定义，负整数指数幂的运算性质，零指数幂的运算性质化简各项，再进行有理数的加减运算； （2）根据二次根式的乘除运算法则化简计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【跟踪训练1】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：      ． （2）解： ． 【跟踪训练2】．计算： 【答案】3 【详解】解：原式 ． 【跟踪训练3】．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算解题的关键： （1）根据二次根式的乘法，完全平方公式进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法，二次根式的除法计算即可 【详解】（1）原式． ． ． （2）原式 ． 【题型9 已知字母的值化简求值】 【典例9】．先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值问题，二次根式的混合运算，在化简的过程中运用平方差公式，注意运算的结果要化成最简分式或整式．最后再代入数值进行分母有理化即可． 【详解】解：原式 ， 当a时，原式； 【跟踪训练1】．已知．求的值． 【答案】18 【分析】求出和的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴ ． 【跟踪训练2】．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 【跟踪训练3】．已知，求下列代数式的值． (1) (2) 【答案】(1)35 (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式、代数式求值以及二次根式运算，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先计算的值，进而得到的值，然后根据代入计算即可； （2）根据平方，结合，再开算术平方根即可． 【详解】（1）解：， ， 故， ， ； （2）解：， 且， ． 【题型10 已知条件式，化简求值】 【典例10】．已知对，，求的值． 【答案】 3 【分析】根据异分母分式的加减先化简，再代入求值即可． 本题考查了二次根式的加减法和分式运算，掌握的取值范围是解题关键． 【详解】解：∵, ∴, ． 【跟踪训练1】．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【跟踪训练2】．已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键； 将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可； 利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可； 利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可； 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， 由知：， 则， 原式； 【跟踪训练3】．已知，． (1)求和的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1)；1 (2)14 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，乘法运算，分式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． （1）根据二次根式的加法运算，乘法运算，计算的值即可． （2）根据的值，将代数式通分后整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，． （2）解：∵， ∴． 【题型11 比较二次根式的大小】 【典例11】．比较大小：7____．（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次根式的大小，通过平方将无理数比较转化为有理数比较是解题的关键． 根据平方后的结果判断原数大小即可． 【详解】解：∵， ∴比较它们的平方：， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练1】．比较大小：______6． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，通过比较平方的方法判断两个正数的大小即可． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】．比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的大小比较，核心方法是：对于正数，通过平方转化为有理数比较；对于负数，先比较绝对值(平方后比较)，再根据“绝对值大的负数更小”判断． 【详解】（1）解：先计算两数的平方： ， ， 又，且，， ； （2）解：先计算两数的绝对值并平方： ，， ，， 又， ， 根据负数比较大小的规则，绝对值大的负数更小， ． 【跟踪训练3】．比较大小：________；（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较． 先比较平方的大小，再比较两数大小即可． 【详解】解：计算，， 由于，且和均为正数， 因此． 故答案为：． 【题型12 二次根式的应用】 【典例12】．如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形和正方形），它们的面积分别为3和9，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为3和9， ∴它们的边长分别为：和3， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为3， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【跟踪训练1】．一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是长为，宽为的长方形，现将塑料容器内的一部分水倒入一个底面半径为的圆柱形玻璃容器中，玻璃容器水面高度上升了，求长方体塑料容器中的水下降的高度．（注意：取3）． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体和圆柱体的体积公式以及二次根式的运算，解题的关键是根据倒出的水的体积相等列出方程． 设长方体塑料容器中的水下降的高度为，根据体积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方体塑料容器中的水下降的高度为， 根据题意，得， 解得． 当取3时，， 长方体塑料容器中的水下降的高度是． 【跟踪训练2】．喜欢观察的小张同学发现座钟发出的嘀嗒声并不一定是每秒发出一次．他通过查询资料得到如下信息：座钟的摆针摆动一个来回的时间称为一个周期，它的计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m），取，．假如一台座钟的摆长为，它每摆动一个来回发出一次嘀嗒声，求该座钟在一分钟内大约发出多少次嘀嗒声？（结果取整数，参考数据：） 【答案】42次 【分析】本题考查了二次根式的应用，先理解题意，再代入数值到，求出，再结合一分钟，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，取， 则， ∵一分钟， ∴， 即该座钟在一分钟内大约发出次嘀嗒声． 【跟踪训练3】．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了与二次根式有关的代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．直接代入秦九韶公式计算三角形的面积． 【详解】解：∵的三边长 a，b，c分别为 2，，4， ∴ ， 故选：B． 【解答题5道】 1．计算：． 【答案】 【分析】现将各部分由二次根式性质化简，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解： ． 2．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当时，． 3．已知，，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)16 (2) (3)32 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，二次根式的乘法，二次根式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先分别求出，，，再将待求式子变形后整体代入求值； （2）平方差公式分解因式，再整体代入求值； （3）将原式分组变形，用含，，的式子表示，再整体代入求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ． ∴ ． （2）解： ． （3）解： ． 4．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长． (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【详解】（1）解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． （2）解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 5．先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）解：设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $