1.3 二次根式的运算（第3课时 ）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

第3节 二次根式的运算 第三课时 第1章《二次根式》 学 习 目 标 1 2 3 体会二次根式混合运算与整式混合运算的联系与区别，感受类比思想在数学学习中的应用，经历从具体运算到归纳法则的过程，培养观察、分析、归纳和运算推理能力，体会数学运算的严谨性和逻辑性。 掌握二次根式混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内），能熟练进行二次根式的混合运算；能准确化简运算结果，确保结果为最简二次根式。 理解混合运算中每一步运算的依据，明确同类二次根式才能合并、乘除运算需先化为最简二次根式再计算的道理，建立二次根式运算的完整知识体系。 知识回顾 二次根式运算结果需化为最简二次根式 两个条件： ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 最简二次根式 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的最简二次根式为同类二次根式）。 二次根式加减 乘法 （） 除法 （）， 两个公式 整式混合运算（已知） 3a + 2a(a - 1) ÷ a 运算顺序规则： 1. 先算括号内的运算 2. 再算乘除，最后算加减 二次根式混合运算（未知） 3 + 2( - ) ÷ 如果将字母替换成根式，它的运算顺序和整式运算完全一样吗？ 新知导入 二次根式的混合运算与整式混合运算顺序一致 新知探究 探究点1 二次根式的混合运算 议一议 1、计算+，说一说计算顺序 解+ 66+3+3÷ 括号里不能直接运算，用分配律先去括号 运算顺序： 与实数运算顺序一致，先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的。 运算律： 整式的交换律、结合律、分配律，以及乘法公式在二次根式运算中仍然适用。 新知探究 探究点1 二次根式的混合运算 ① 先算乘方（二次根式的乘方： ，；，）； ② 再算乘除（遵循二次根式乘除法则，先将二次根式化为最简，再计算）； ③ 最后算加减（只有同类二次根式才能合并，非同类二次根式不能合并）； ④ 有括号的先算括号内的（先小括号，再中括号，最后大括号），括号内运算仍遵循上述顺序。 议一议 ① 运算过程中，所有二次根式都要化为最简二次根式，再进行后续运算； ② 合并同类二次根式时，只合并系数，被开方数不变； ③ 乘除运算中，符号判断与有理数运算一致（同号得正，异号得负）； ④ 运算结果必须是最简二次根式，若结果含分母，分母不能含二次根式。 二次根式混合运算顺序 注意事项： 典例分析 探究点1 二次根式的混合运算 例1.计算：（1） （2） （2）原式 = 解：（1）原式 参照多项式乘法 新知探究 探究点2 利用乘法公式进行二次根式的运算 1、整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 议一议 平方差公式 完全平方公式 (a + b)(a - b) = a2 - b2 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. 2、整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗? 整式的乘法公式就是多项式×多项式 前面我们已经知道二次根式运算可类比整式运算，所以适用哟！ 典例分析 探究点2 利用乘法公式进行二次根式的运算 例2 、计算 解： 3=17 （2） 48=-30 （3） 8 =11+ 新知探究 探究点3 化简分母中的二次根式 1、常见分母中含根号的形式 议一议 ① 类型1：分母为单个二次根式（如，）， 化简方法：分子分母同乘以分母中的二次根式 = ② 类型2：分母为二次根式与整式的和（或差） （如或，，为有理数）， 分子分母同乘：或（与分母构成平方差形式），分母化为或。 典例分析 探究点3 化简分母中的二次根式 例3、化简下列式子 （1）； （2） （3） （1） （2） （3） 分母含，分子分母乘 分子分母乘（），形成平方差 分子分母乘（），形成平方差 新知探究 探究点3 化简分母中的二次根式 议一议 化简分母中的二次根式注意事项 💡 ② 分母有理化后，需将分子、分母化为最简形式，若分子含二次根式，需检查是否能化简； 💡 ① 分母含二次根式化简时，分子、分母必须同时乘以同一个式子，保证分式的值不变； 💡 ③ 若分子、分母有公因式，需先约分，再进行化简，简化运算。 典例分析 例4 计算： （1） （2） （3） 解（1） 原式= = （2） 原式= （3）原式 典例分析 例5 、计算： 分析：符合平方差公式 。 1. 确定公式中a、b：，； 套用公式：； 3.分别计算平方：，； 4. 计算结果： 解： 新知巩固 （教材p18页） 3、计算： (1) (2) 解： (1) （2）套用完全平方公式，： 原式= ； 课内练习 (1)原式 多项式乘法 因式分解后利用平方差公式 1、化简 拓展提升 解：原式 （2） （1） 拓展提升 2、化简 解：（1）原式 =4×（2） =8 已知， 求 拓展提升 解： ∴ 解二次根式化简求值问题时，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 1.（2025·山东济南中考）计算： 解：原式 真题感知 2.（2025年江苏连云港中考真题）：计算 解：原式（化简，化简分母） （二次根式乘法法则） （去括号，化简） （合并同类二次根式，最终结果为最简） 3.（2025年浙江温州月考真题）：先化简，再求值： ，其中，。 真题感知 解：原式= ，时： 原式。 课堂小结 ① 二次根式混合运算： 遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的顺序，运算中需将二次根式化为最简，合并同类二次根式； ② 化简分母中的根式： 消除分母中的二次根式，核心是找到分母的有理化因式，分两种类型（分母为单个二次根式、分母为二次根式与整式的和差）， 依据：平方差公式或二次根式乘法法则进行运算。 1. 核心知识点： 2.易错点提醒： 课堂小结 ① 混合运算中，忽略运算顺序，先算加减再算乘除； ② 化简分母中二次根式时，分子、分母未同时乘以同一个有理化因式，导致分式值改变； ③ 合并同类二次根式时，误将非同类二次根式合并，或合并时只改变被开方数； ④ 运算结果未化为最简二次根式，或分母仍含二次根式。 课后练习 （教材p18页） 2.计算 (1) 解：原式 = 1² - ()² (2) 解：原式 = (2)² + 2×2×3 + (3)² (3) 解：原式 = + 2 - 6 - 4 作业题A组 = 1 – 5 = -4 = 30 + 12 = -4 - 3 课后练习 3.求当 时，代数式 的值。 （教材p18页） 作业题A组 解：原式 （1+） 把a=代入得 原式（1+）=-1 方法二：原式 = （1+） 把a=代入得 原式=-1 课后练习 5.已知 ，，求 的值。 6.不用计算器，比较 与 的大小，并说明理由。 解：∵， ∴a+b=2，ab=1， ∴原式 = (a+b)² - 3ab = 12 - 3 = 9 解： = - 2， ∵2＜2.1， ∴-2 ＞ -2.1 （教材p18页） 作业题A组 感谢聆听! $