精品解析：辽宁鞍山市华育外国语实验学校2025-2026学年八年级下学期数学收心自测试题

2025-2026学年八年级下学期数学开学收心自测数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，进行判断即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案，掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 3. 下列每组三条线段长度，能用它们组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”即可解答． 【详解】解：A、∵，∴不能组成三角形，故A不符合题意； B、∵，∴能组成三角形，故B符合题意； C、∵，∴不能组成三角形，故C不符合题意； D、∵，∴不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. ； B. ； C. ； D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的几何验证，解题的关键是通过计算两个图形中阴影部分的面积，利用面积相等验证等式． 【详解】解：计算图1中拼成的平行四边形面积，其长为，高为，面积为； 计算图2中阴影部分面积，为大正方形面积减去小正方形面积，即， 由于阴影部分面积不变，故可验证等式． 故选：D． 6. 若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（ ） A. 8 B. 8或 C. 4 D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方式．完全平方式的特点：首平方，尾平方，首尾的两倍放中央．根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴； 故选：D． 7. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据图中两把刻度尺A刻度尺上长度为24与B刻度尺上长度32相等，A刻度尺长度为9对应B刻度尺上长度为，列出方程即可． 【详解】解：根据图可知：， 即， 故选：A． 8. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质． 连接，过点作于点，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得，，根据证明，可得，再根据证明，可得，继而可求得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作并交延长线于点， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故选：B． 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，根据式子的特点将公因数提取出来即可得到结果，用适当的方法分解因式是解题的关键． 【详解】解：式子中含有公因数， ∴， 故答案为：． 10. 如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 【答案】3 【解析】 【详解】解：依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，故工人师傅至少需要加固根木条． 11. 已知，的周长为，如果，，_______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形对应边相等，可得，再根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：13． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法，正确掌握相关运算法则是解题关键，提取公因式即可． 【详解】解：原式 故答案： 13. 如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点，得到是等腰直角三角形，垂直平分，利用可证明，得到，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是边的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合，合理作出辅助线，构造全等三角形及直角三角形是解题关键． 14. 如图，在五边形中，，是五边形内部一点，连结，，若，则的度数为______°． 【答案】107 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形内角和定理，三角形的内角和定理．根据，可设，，，，则，，再根据多边形内角和定理得，即，从而得，然后再根据三角形的内角和定理可得出的度数． 【详解】解：， 可设，，，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：107． 15. 计算： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，逆向运用积的乘方运算法则计算即可．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 为常数，如果，那么_____， 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查分式的通分与恒等式的系数匹配，解题的关键是通过通分将左边化为同分母分式，再比较分子系数建立方程组求解． 先对左边分式通分，将其化为与右边同分母的形式，再通过分子多项式的系数对应关系，列方程组求出的值，即可求解代数式的值． 【详解】解：， ∴。 ∴， ， 解得 故， 故答案为：． 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据积的乘方、幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据多项式乘多项式及单项式乘多项式可进行求解． 【小问1详解】 解：原式= = =； 【小问2详解】 解：原式= =． 【点睛】本题主要考查积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘多项式及多项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 【答案】（1），1 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）先根据完全平方公式化简，再代入求值即可； （2）先计算括号内的，再除法化乘法约分化简，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： ， 当，时， 原式； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 19. 如图，在中，，，点D在边上（点D不与点A重合）． （1）如图1，若点D在边时，延长至点G，，过点D作，交于点E，过G作交延长线于点H．求证：． （2）如图2，过点A作，垂足为F，射线交于点N，点Q在射线上，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明即可得结论； （2）过C作交延长线于点E，先利用证明，可得，再证明，可得，进而根据线段的和差即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，过C作交延长线于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 【阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是利用“配方法”分解因式． （1）加16再减16，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可； （2）加再减，可以组成完全平方式，再用平方差公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将方程化为整式方程，然后解整式方程，再进行检验即可．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． 【详解】解：在方程两边同乘以，得： ， 解得：， 检验：把代入，得：， ∴是原方程的根， ∴原方程的解为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）将向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到，请画出； （2）以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出，并标出点的坐标； （3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析； （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转变换的性质作图即可． （3）分三种情况讨论：以为一组邻边；以为一组邻边；为一组邻边，根据平行四边形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 点的坐标的坐标为； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， 若以为一组邻边，有 ，解得：， 此时点P的坐标为； 若以为一组邻边，有 ，解得：， 此时点P的坐标为； 若以为一组邻边，有 ，解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查作图——平移变换、旋转变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移、旋转变换的性质以及平行四边形的性质是解答本题的关键， 23. 五一黄金周即将到来，某商店计划从经销商购进礼盒、为黄金周做准备．若礼盒每盒的进价比礼盒每盒的进价多5元，且用6000元购进礼盒A的数量是用2500元购进礼盒B的数量的2倍． （1）求礼盒每盒的进价是多少元？ （2）该商店准备将礼盒每盒的售价定为45元，礼盒每盒的售价定为36元．根据市场需求，商店决定向经销商再购一批，且购进礼盒的数量比购进礼盒的数量的2倍还多100盒，若本次购进的两种礼盒全部售出后，总获利不少于12200元，求该商店本次购进礼盒至少有多少盒？ 【答案】（1）礼盒每盒的进价是元 （2）该商店本次购进礼盒至少有盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设礼盒每盒的进价是元，则礼盒每盒的进价是元，根据6000元购进礼盒A的数量是用2500元购进礼盒B的数量的2倍列出方程即可； （2）利用的整体利润的整体利润总利润列式计算即可． 【小问1详解】 解：设礼盒每盒进价是元，则礼盒每盒的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：礼盒每盒进价是元； 【小问2详解】 由（1）知，礼盒每盒的进价是（元）； 设该商店本次购进礼盒有盒，则购进礼盒有盒， 由题意得：， 解得：； 答：该商店本次购进礼盒至少有盒． 24. 如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据含角的直角三角形的性质可知． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ，， 在和中，， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ，， ，， ， 又， ， ， ． 25. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，． （1）观察猜想：线段和的数量关系为_______；和的位置关系为_______． （2）探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． （3）拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度． 【答案】（1）， （2）成立，见解析 （3）长为或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，可得，根据等边对等角可知是等腰直角三角形，可知，所以可知，可得； （2）在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点，可证，即可证明是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证结论仍然成立； （3），，三点共线可分为两种情况，一种情况是当点在直线上方，且，，三点共线；另一种情况是当点在直线下方，且，，三点共线．分两种情况求出线段的长度即可． 【小问1详解】 证明：在中，，，点为的中点， ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：成立， 证明：如下图所示，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点， ，，， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， 又点是的中点， ，； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①如下图所示，当点在直线上方，且，，三点共线时， ， ， ， ， ， ； ②如下图所示，当点在直线下方，且，，三点共线时， ， ， ， ， ， ； 综上所述，长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学开学收心自测数学试题 一．选择题（每小题3分，满分24分） 1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为Mate60，遥遥领先，其中手机采用的麒麟芯片，芯片内集成了基带，用的是5纳米集成芯片，5纳米就是米，数据用科学记数法可表示为（   ） A. B. C. D. 3. 下列每组三条线段的长度，能用它们组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一个平行四边形纸板，分割成四个大小和形状完全相同的四边形，如图1；拼成一个边长为的大正方形，其正中央正好是一个边长为的小正方形空缺，如图2．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ） A. ； B ； C. ； D 6. 若关于x的多项式是一个完全平方式，则m的值为（ ） A. 8 B. 8或 C. 4 D. 4或 7. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ） A B. C. D. 8. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，若，则的长度为（ ） A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 二．填空题（每小题3分，满分24分） 9. 分解因式：_______． 10. 如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固________根木条． 11. 已知，的周长为，如果，，_______． 12. 因式分解：_____． 13. 如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________． 14. 如图，在五边形中，，是五边形内部一点，连结，，若，则的度数为______°． 15. 计算： ______． 16. 为常数，如果，那么_____， 三．解答题（共9小题，满分72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值： （1），其中，； （2），其中． 19. 如图，在中，，，点D在边上（点D不与点A重合）． （1）如图1，若点D在边时，延长至点G，，过点D作，交于点E，过G作交延长线于点H．求证：． （2）如图2，过点A作，垂足F，射线交于点N，点Q在射线上，且，求证：． 20. 阅读理解】 对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：．像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． 【问题解决】将下面的式子分解因式： （1）； （2）． 21. 解方程： 22. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． （1）将向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到，请画出； （2）以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出，并标出点的坐标； （3）点P为平面内一点，若以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有满足条件的点P坐标． 23. 五一黄金周即将到来，某商店计划从经销商购进礼盒、为黄金周做准备．若礼盒每盒的进价比礼盒每盒的进价多5元，且用6000元购进礼盒A的数量是用2500元购进礼盒B的数量的2倍． （1）求礼盒每盒的进价是多少元？ （2）该商店准备将礼盒每盒的售价定为45元，礼盒每盒的售价定为36元．根据市场需求，商店决定向经销商再购一批，且购进礼盒的数量比购进礼盒的数量的2倍还多100盒，若本次购进的两种礼盒全部售出后，总获利不少于12200元，求该商店本次购进礼盒至少有多少盒？ 24. 如图，在等边的，上各取一点、，使．，相交于点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求证：； （2）若，，求线段的长度． 25. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，点为的中点，连接，． （1）观察猜想：线段和的数量关系为_______；和的位置关系为_______． （2）探究证明：把绕点逆时针旋转到如图所示位置，试判断（1）中的关系是否仍然成立．如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由． （3）拓展应用；若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当，，三点共线时的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $