精品解析：北京清华大学附属中学2025--2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试卷

2025－2026学年第二学期开学阶段性反馈 数学 （清华附中初23级） 2026.03 一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“榫”的主视图为： 故选：D． 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数与数轴，有理数的运算，由数轴可知，进而由可得异号，即得，，再根据有理数的运算法则逐项判断即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，故错误； ∵， ∴异号， ∴，， ∵与的绝对值大小无法确定， ∴的符号无法确定，与的大小无法判断，故错误； ∵， ∴， ∴，故正确； 故选：． 4. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 且， ∵， ∴，解得：， 综上，且， 只有C选项符合题意． 故选：C 6. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以 开头或以 结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过列表法列出所有两位字母不同的密码组合，总共有种等可能的结果；再依据“系统自动排除以 开头或以 结尾的密码”的排除规则，从所有组合中筛选出符合条件的有效密码，统计其数量；最后根据概率公式，计算出密码不被系统排除的概率． 【详解】解：列举出所有等可能的结果如下： - - - - 由表格可知，所有两位字母不同的密码共种，其中满足“第一位不是 ”且“第二位不是 ”共有7种有效密码， ∴他设置的密码不会被系统排除的概率是． 7. 如图，在 中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ， ，作直线分别交 ， 于点 ，．以为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练利用等腰三角形的性质是解题的关键． 由作图可得是 的垂直平分线，，利用等腰三角形的性质计算角度，逐一判断解答即可． 【详解】解：由作图可得是 的垂直平分线， ，故A正确，不符合题意； ，， ，， ， ，故C正确，不符合题意； 由作图可得， ， ， ，故B正确，不符合题意； 根据题意不可以得到，故D错误，符合题意， 故选：D 8. 在平面直角坐标系中，，点 为平面内的动点，若点 满足，则点 为线段的“好点”，则下列说法正确的有（ ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据圆周角定理确定“好点”的轨迹是两段圆弧，再分别验证三个结论即可．用到圆周角定理、两点坐标距离公式、直线与圆的位置关系、一元二次方程、扇形面积公式等初中知识点，根据相关知识进行求解即可． 【详解】解：已知，则，， 根据圆周角定理，满足的点 的轨迹是两段圆弧，如图： ①圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故是“好点”，①正确； ②圆心为，半径，点C在弦所对劣弧上，所对圆周角，则该弧所对圆心角为， 故也是“好点”，又， ∴满足的点 的轨迹是两段圆弧（实线部分），所有“好点”围成的区域是两个弓形的面积和， 对任意一个弓形，对应扇形圆心角为，扇形面积为， 面积为， 总面积为，故②正确； ③设点C坐标为，则，则， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切； 由得， 联立方程组，整理得， 由得，此时直线与圆相切， 如图，当和时，直线与满足的点 的两段圆弧相切， 由图知，当时，直线上不存在“好点”， 故当且时，直线上不一定有两个“好点”，故③错误． 综上，①②正确，答案选A． 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 要使代数式有意义，则 的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代数式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故答案为：且． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 分式方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定分式方程的最简公分母．将分式方程转化为整式方程求解，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：， 两边同乘最简公分母，得： ， ， 整理得：， 解得：， 检验：当时，． 因此原分式方程的解是． 12. 如图，点 ，， ， ， 在上，，则所对的圆周角度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形，合理作图是关键． 根据题意，由圆内接四边形得到，结合图形即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴四边形是圆内接四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴所对的圆周角度数为， 故答案为：． 13. 如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B，与交于点 ．若的面积为2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数 值的几何意义，根据反比例函数 值的几何意义及其基本模型计算即可． 【详解】∵反比例函数和， ∴，， ∴， ， 反比例函数图象位于第二象限， ， ， 故答案为：． 14. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中 （ 为整数）的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为 得， 因为 为整数， 所以 的最小值为． 15. 如图，点 是边长为2的正方形 内一点，且，将线段以点 为中心逆时针旋转得到线段，点是 的中点，连接 ，则 的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本知识、三角形全等判定和性质，连接 ，证明，则，当G、H、F共线时，最大，即可求解． 【详解】解：连接 ，取 的中点H， 由旋转的性质知，， ∵， ∴， ∴， 则点F在以 为直径的圆H上，连接、， 当G、H、F共线时，最大， 则，， 则的到最大值为， 故答案为：． 16. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍_____盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么 _____． 【答案】 ①. 2 ②. 10 【解析】 【分析】（1）先根据总亮灯数得到第二组初始亮灯数，设拍灯中原有亮灯的数量，推导拍完后第一组亮灯数的表达式，根据两组亮灯数相等列方程，求解得到最小拍灯数； （2）设选出的盏灯中原有亮灯数，根据拍灯规则得到拍完后两组的亮灯数，根据相等条件列等式，消去变量得到的值． 【详解】解：（1）盏灯平均分为两组，每组盏，已知第一组有 盏亮灯，总亮灯数为，因此第二组亮灯数为； 只拍第一组灯，第二组亮灯数不变，设拍第一组共 盏灯，其中 盏为原有亮灯，盏为原有暗灯，拍完后第一组亮灯数为： ， 要使两组亮灯数相等，可得，整理得，其中 为非负整数，当时， 取得最小值 ； （2）设选出的盏灯中原有 盏亮灯，则剩余一组的原有亮灯数为， 将选出的盏灯全部拍一遍后，原有 盏亮灯变为暗，原有盏暗灯变为亮，因此拍完后选出组的亮灯数为， 要使两组亮灯数相等，可得： 等式两边消去 ，得，对任意 都成立． 三．解答题（本题共68分，其中17－22题每小题5分，23－26题每小题6分，27、28题每小题7分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零次幂、负整数次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值等知识化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的值，再把所求式子的分子和分母都分解因式后约分得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，在四边形 中， ，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是 的中点，，，求的长． 【答案】（1） 证明：，于点E， ． ． ， ∴四边形是平行四边形． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、直角三角形的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键。 （1）先说明，再结合 即可证明结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即；再结合平行四边形的性质可得，再根据可设，则，即，然后求出k的即可。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，，点F是 的中点， ． , ． ∵在中， ∴． ∵在中，，， ∴设，则，． ． 21. 为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 【答案】该车能挑战成功 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设本次测试道路高速道路长度为 百公里，市区道路长度为百公里，根据题意，列出方程，可得本次测试的总道路长度为2百公里，即可求解． 【详解】解：设本次测试道路高速道路长度为 百公里，市区道路长度为百公里． 依题意，得． 解得． ． 即本次测试的总道路长度为2百公里． 本次测试的总能耗为． 本次测试的百公里平均能耗为． 本次测试的百公里平均能耗不高于． 该车能挑战成功． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． （1）求该函数的表达式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数与不等式之间的关系： （1）先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出当时，，即可求出点C的坐标； （2）解不等式组得到，再根据不等式组有解，以及当时，不等式组一定成立可得，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3， ∴， ∴． 23. 在二次函数中， 与 的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）； 画出函数图象，如图， （3）或 【解析】 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为； 【小问3详解】 解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在  ，差为： 当时，，当 时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当 时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在  ，差为： 当时，，当 时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 24. 如图，是的直径，点 为一点，过点 作的切线交 的延长线于点D．连接，过点 作的垂线，交于点，交于另一点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由 是切线得到，因此，根据得到，进而得到，因此，从而得证； （2）证明得到，因此，可得，，证明，得到，因此，，，根据勾股定理在求得，进而，由得到，即可求得，从而． 【小问1详解】 证明：∵ 是切线，是直径， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 【答案】（1）描点并连线为： （2）①；②18 （3）①60；②20；80 【解析】 【分析】（1）根据题意描点并连线即可； （2）①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，根据损失大于成本列出不等式，求解即可； ②即当添加剂A浓度为时，保质期为8天，根据总成本等于添加剂成本与损失之和列出式子求解即可； （3）①分别求出保质期至少为8天时，添加剂A和添加剂B的浓度，求差即可解答； ②结合表格中添加剂A的浓度，求出相应保质期下添加剂B的浓度，找出符合题意要求的浓度范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设增加添加剂能使保质期延长x天，增加浓度是有利的，则 ， 解得， 即增加添加剂能使保质期延长超过天，增加浓度是有利的． ②由题意可得，当时，， 即当添加剂A浓度为时，保质期为8天， 此时总成本为：（元）． 【小问3详解】 解：①由表格可知，若选择添加剂A，当时，， 即当保质期至少为8天时，添加剂A至少需要； 若选择添加剂B，当时，，解得， 即当保质期至少为8天时，添加剂B至少需要， 所以选择添加剂A比选择添加剂B可以节省添加剂为； ②当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 由上可知，当时，， ∴当浓度在范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 （1）用含 的式子表示； （2）点在抛物线上，且，过点作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线于点的长随着的增大而增大，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵ 的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 27. 如图，在 中， ，点 为边 上一点，； （1）如图1，若，，，求点到直线 的距离； （2）如图2，点 为线段中点，点 为线段上一点，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，若点 恰好在线段 上，连接 ，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点作延长线于点 ，利用勾股定理求得 ，再利用，即可求解； （2）连接 ，交 于点，通过导角得出，可知，证明，可得，即可证明，得，再利用直角三角形证明，得，最后利用中位线证明即可． 【小问1详解】 解：过点作延长线于点 ， ∵ ，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到直线 的距离为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，连接 ，交 于点， 设， ∵ ，点 为线段中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴，即， ∴， ∴， ∵点 为线段中点， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于封闭图形 ，若存在两条平行直线和使得图形 被分为面积相等的三个部分，则称直线和为图形 的一组“三分平行线”，且称直线和间的距离为图形 的一个“三分距离”，记为． 如图，点； （1）若图形 为正方形 ，其中点 在第四象限， ①已知直线和是正方形 的一组“三分平行线”，则 ， ，此时对应的“三分距离”（正方形为） ； ②直接写出正方形 的“三分距离”的取值范围： ； （2）若图形 为菱形（在上方），点 为其边上的一点，若直线和直线为菱形的一组“三分平行线”，且其对应的“三分距离”（菱形），直接写出点 纵坐标取值范围． 【答案】（1） ，， （2）． 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，可得正方形 的面积，可得直线和将正方形分成三个面积为的区域，设直线与 交于，由面积可得，即可得 ，设直线与 交于，由面积可得，即可得，根据三角形的面积公式，结合勾股定理，即可得“三分距离”；根据题意可知，当、平行于正方形的对角线时，正方形 的“三分距离”最小，由正方形的性质，结合三角形的面积，即可得的最小值，当、平行于正方形的边时，正方形 的“三分距离”最大，根据正方形的边长即可得的最大值； （2）由菱形的性质，结合“三分平行线”的定义，可得点 在或 上，进行分类讨论，由解直角三角形的相关计算，结合平行四边形的性质，可得点 的运动轨迹，数形结合，即可得取值范围． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形，，，点 在第四象限， ∴，， ∴，，， ∵直线和是正方形 的一组“三分平行线”， ∴直线和将正方形分成三个面积为的区域， ， 设直线与 交于，则， 解得， ∴直线过点， ∴， ∴把代入得，， ∴， 设直线与 交于，则， 解得， ∴直线过点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 根据题意可知，当、平行于正方形的对角线时，正方形 的“三分距离”最小， ∵四边形是正方形， ∴， 设，交 于点，交于点，交 于点 ，交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点 到的距离， 同理可得，点 到的距离为， ∴正方形 的“三分距离”的最小值为， 当、平行于正方形的边时，正方形 的“三分距离”最大， ∴正方形 的“三分距离”的最大值为， ∴． 【小问2详解】 解：∵图形 为菱形（在上方），， ∴，， ∵直线和直线为菱形的一组“三分平行线”， ∴点 在或 上， 设到 的距离为， 若点 在上，， ∴， ∴， ∴， 过点 作，交 于点，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴直线为所在直线， 作于点 ， ∵（菱形）， ∴， 当时，， ∴平行四边形的最小内角的最小值为 ， 在线段 上取，则四边形为平行四边形， ∴， ∴点 在 上方，以为圆心， 为半径的圆弧上运动， ∴当时，点 的纵坐标取最大值，的最大值为， 当点 在点 左侧时，过点 作， 若，，则， ∴， 此时点 的纵坐标取最小值， 作于点 ，作于点 ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴； 设到 的距离为， 若点 在 上，， ∴， ∴， ∴， ∴点 在 上方，以为圆心， 为半径的圆弧上运动， ∴当时，点 的纵坐标取最大值，的最大值为， 过点 作，交于点，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴直线为所在直线， 作于点 ， ∵（菱形）， ∴， 当时，， ∴平行四边形的最小内角的最小值为 ， 当点 在点左侧时，，过点 作， 设，则， 在中，， 解得，（舍去）， 作于点 ， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴， 综上所述，点 的纵坐标的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期开学阶段性反馈 数学 （清华附中初23级） 2026.03 一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（　　） A. B. C. D. 2. “白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，数轴上的点表示的数分别是．如果，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2 6. 奇奇的智能门锁有一个两位密码，每位密码从四个字母中选取，且两位字母不能相同．为了提高安全性，系统自动排除以 开头或以 结尾的密码．奇奇随机设置一个密码，那么他设置的密码不会被系统排除的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线分别交 ， 于点 ，．以为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ，连接、．则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，，点 为平面内的动点，若点 满足，则点 为线段 的“好点”，则下列说法正确的有（ ） ①是“好点” ②所有“好点”围成的区域面积为 ③当且时，直线上有两个“好点”． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 要使代数式有意义，则 的取值范围是_________． 10. 分解因式：______． 11. 分式方程的解为________． 12. 如图，点 ，， ， ，在上，，则所对的圆周角度数为______． 13. 如图，已知反比例函数和的图象分别为，，A是上一点，过点A作轴，垂足为B， 与交于点 ．若的面积为2，则k的值为______． 14. 学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中 （ 为整数）的最小值为_____． 15. 如图，点是边长为2的正方形 内一点，且，将线段以点 为中心逆时针旋转得到线段，点是 的中点，连接 ，则 的最大值为______． 16. 小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有30盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次．现30盏小灯中，已知有10盏灯亮，其余都是暗的．要求玩家蒙上双眼，将30盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功． （1）将灯平均分成两组，经检查第一组里有4盏灯亮．如果只拍第一组的灯，则最少需要拍_____盏，挑战成功． （2）小云的做法是：从30盏灯中任意选出盏作为一组，然后将这盏灯逐一拍一下．他挑战成功了，那么 _____． 三．解答题（本题共68分，其中17－22题每小题5分，23－26题每小题6分，27、28题每小题7分） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形 中， ，对角线，过点A作于点E，交BC于点F． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若点F是 的中点，，，求的长． 21. 为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． （1）求该函数的表达式及点C的坐标； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 23. 在二次函数中， 与 的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 24. 如图， 是的直径，点 为一点，过点 作的切线交 的延长线于点D．连接，过点 作的垂线，交于点，交于另一点 ． （1）求证：； （2）若，求 的长． 25. 某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：． 在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4 （1）以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接． （2）①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）． ②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元． （3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）． ②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线过点和点 （1）用含的式子表示； （2）点在抛物线上，且，过点作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 27. 如图，在 中， ，点 为边 上一点，； （1）如图1，若，，，求点到直线 的距离； （2）如图2，点为线段 中点，点 为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点 恰好在线段 上，连接 ，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于封闭图形 ，若存在两条平行直线和使得图形 被分为面积相等的三个部分，则称直线和为图形 的一组“三分平行线”，且称直线和间的距离为图形 的一个“三分距离”，记为． 如图，点； （1）若图形 为正方形 ，其中点 在第四象限， ①已知直线和是正方形 的一组“三分平行线”，则 ， ，此时对应的“三分距离”（正方形为） ； ②直接写出正方形 的“三分距离”的取值范围： ； （2）若图形 为菱形（在 上方），点 为其边上的一点，若直线和直线为菱形的一组“三分平行线”，且其对应的“三分距离”（菱形），直接写出点 纵坐标取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $