单元培优讲义：专题04 正比例与反比例（考点梳理+例题讲解+培优练习）-2025-2026学年六年级下册数学北师大版

2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 专题04 正比例与反比例 考点梳理 1 考点一、变化的量 1 考点二、正比例 1 考点三、画一画（正比例关系的图像） 2 考点四、反比例 2 例题讲解 3 题型一、变化的量 3 题型二、正比例的意义及辨识 4 题型三、正比例图象的认识 5 题型四、正比例的应用 7 题型五、反比例的意义及辨识 8 题型六、反比例的应用 10 培优练习 11 练习一、变化的量 11 练习二、正比例的意义及辨识 13 练习三、正比例图象的认识 17 练习四、正比例的应用 21 练习五、反比例的意义及辨识 23 练习六、反比例的应用 28 考点梳理 考点一、变化的量 1.定义：在日常生活和数学学习中，存在着许多相互关联的量，当其中一种量发生变化时，另一种量也可能随之发生变化，这样的量称为“变化的量”。 2.两种相关联的量：若两个量中，一个量的变化会引起另一个量的变化，则这两个量是相关联的量。例如：时间与路程（路程随时间变化）、单价与总价（总价随单价变化）、工作效率与工作总量（工作总量随工作效率变化）等。 3.判断两种量是否相关联的方法：观察一种量变化时，另一种量是否也随之变化；若存在“一个量变化，另一个量也变化”的关系，则为相关联的量。 考点二、正比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2.字母表达式：若用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值（一定），则正比例关系可表示为：（k 为常数，且 ）。 3.正比例关系的特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)一种量随另一种量的变化而变化，且变化方向相同（即一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）； (3)相对应的两个数的比值（商）始终保持不变。 4.判断两种量是否成正比例的方法： (1)首先判断两种量是否相关联； (2)再判断它们相对应的两个数的比值是否一定； (3)若同时满足以上两点，则成正比例关系。 考点三、画一画（正比例关系的图像） 1.正比例关系图像的特点：成正比例关系的两种量，在平面直角坐标系中描出相对应的点，这些点会形成一条经过原点的直线。 2.绘制正比例图像的步骤： (1)列表：根据正比例关系，列出几组 x 和 y 的对应值（通常包含 x=0 时 y=0 的情况）； (2)描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的对应值，描出各点（坐标为 (x, y)）； (3)连线：用直尺将描出的点连接起来，形成一条直线（注意直线需经过原点）。 3.图像的意义：正比例图像直观地反映了两种成正比例的量之间的变化关系，通过图像可以直接看出一种量随另一种量变化的趋势，也可根据其中一个量的值估计另一个量的值。 考点四、反比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.字母表达式：若用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积（一定），则反比例关系可表示为：（ k 为常数，且 ）。 3.反比例关系的特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)一种量随另一种量的变化而变化，且变化方向相反（即一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）； (3)相对应的两个数的乘积始终保持不变。 4.判断两种量是否成反比例的方法： (1)首先判断两种量是否相关联； (2)再判断它们相对应的两个数的乘积是否一定； (3)若同时满足以上两点，则成反比例关系。 5.正比例与反比例的区别： (1)变化方向：正比例同增同减，反比例一增一减； (2)数量关系：正比例比值一定（），反比例乘积一定（）； (3)图像：正比例图像是过原点的直线，反比例图像是曲线。 例题讲解 题型一、变化的量 【例题1】下列说法错误的是（    ）。 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 【答案】B 【分析】变量与常量的概念：变量是会发生变化的量，常量是固定不变的量，需判断各选项中量的性质。 【详解】A.《科技报》的单价固定，总钱数＝单价×数量，数量是变量，总钱数随数量变化，说法正确。 B.圆周率是固定的常数（约3.14159），不会变化；圆的面积随半径变化，而非圆周率，说法错误。 C.路程固定时，时间＝路程÷速度，速度是变量，时间随速度变化，说法正确。 D.汽车的单位路程耗油量固定，耗油量＝单位耗油量×行驶路程，路程是变量，耗油量随路程变化，说法正确。 故答案为：B 【练习1】下表是妙想6岁前的体重变化情况。 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。 分析与解答： (1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。 (2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。 【答案】(1) 年龄 体重 (2) 增长 增加 【分析】（1）观察表格，年龄在逐渐变大，体重在逐渐变重。 （2）根据表格中的数据，发现妙想6岁前的体重随年龄的增长而增大。 【详解】（1）出生时重是3.5千克，2岁时重是14.0千克，4岁时体重是18.0千克，6岁时，体重是21.0千克。 通过观察，我们发现妙想的年龄在发生变化，他的体重也在发生变化。 （2）年龄：出生时、2岁、4岁、6岁； 体重：3.5、14.0、18.0、21.0千克； 6岁前，妙想的年龄在增长，体重也随着增加。 【点睛】本题考查了看图获取数学信息的能力和根据信息解决问题的能力。 题型二、正比例的意义及辨识 【例题2】正方形的周长与它的边长成( )比例；圆的周长与它的直径成( )比例。 【答案】 正 正 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此分析。 【详解】正方形的周长÷边长＝4，正方形的周长与它的边长成正比例；圆的周长÷直径＝圆周率，圆的周长与它的直径成正比例。 【练习2】下表是底为9cm的三角形的面积与底边上的高相对应的数据。判断它们是否成正比例，并说明理由。 面积/ 4.5 9 18 27 高/cm 1 2 4 6 【答案】三角形的面积与底边上的高成正比例。因为三角形的面积随着高的增大而增大，且三角形的面积与底边上的高的比值一定，都是4.5。 【分析】根据正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断两个量是否成正比例，即判断两个量的比值是否一定。 【详解】观察表格数据，随着高的增大，三角形的面积也随之增大，计算面积与高的比值，；；；，比值均为4.5，是一定的。 答：三角形的面积与底边上的高成正比例。因为三角形的面积随着高的增大而增大，且三角形的面积与底边上的高的比值一定，都是4.5。 题型三、正比例图象的认识 【例题3】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成( )比例，照这样计算，6时行驶( )千米，要行驶720千米需要( )时。 【答案】 正 540 8 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，计算可知，行驶的路程和时间的比值是90，所以行驶的路程和时间成正比例关系，再根据“路程＝速度×时间”求出6时行驶的路程，最后根据“时间＝路程÷速度”求出行驶720千米需要的时间，据此解答。 【详解】由图可知，（一定），所以行驶的路程和时间成正比例。 90×6＝540（千米） 720÷90＝8（时） 所以，6时行驶540千米，要行驶720千米需要8时。 【练习3】一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 【答案】（1）见详解； （2）正； （3）在；购买7个咖啡杯需要693元 【分析】（1）由图可知，横轴表示数量，纵轴表示总价，根据表格中的数据找出每列数据对应的点，再依次连接各点，连线发现各点在同一条直线上； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，据此判断； （3）计算693÷7的商是否等于99，如果商等于99，那么点（7，693）在这条直线上，如果商不等于99，那么点（7，693）不在这条直线上，最后根据“7”和“693”表示的意义说出点（7，693）的含义，据此解答。 【详解】（1）作图如下： （2）分析可知，（一定），所以购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成正比例。 （3）693÷7＝99（元） 分析可知，点（7，693）在这条直线上，“7”表示购买咖啡杯的数量，“693”表示购买咖啡杯一共需要的钱数，点（7，693）表示购买7个咖啡杯需要693元。 题型四、正比例的应用 【例题4】某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？（用方程解） 【答案】18米 【分析】同一时间，同一地点，物体高度与影长成正比例关系，即竹竿高度∶影长＝水塔高度∶影长，据此列出比例式，解比例即可解答。 【详解】解：设这座水塔的高是x米。 3∶1.2＝x∶7.2 1.2x＝3×7.2 1.2x＝21.6 1.2x÷1.2＝21.6÷1.2 x＝18 答：这座水塔的高是18米。 【练习4】天宫是我国第一个空间站，是我国的太空实验基地。天宫在太空5秒运行39千米，照这样的速度，30秒可运行多少千米？（用比例解） 【答案】234千米 【分析】天宫在太空5秒运行39千米，照这样的速度，说明速度一定，即天宫运行的路程和时间成正比例关系，设30秒可运行x千米，列比例为39∶5＝x∶30，解比例即可解答。 【详解】解：设30秒可运行x千米。 39∶5＝x∶30 5x＝39×30 5x＝1170 5x÷5＝1170÷5 x＝234 答：30秒可运行234千米。 题型五、反比例的意义及辨识 【例题5】已知两种相关联的量a和b的关系如下表所示。 a 20 40 60 80 … b 24 12 8 6 … (1)a和b成( )比例关系（填“正”或“反”）。 (2)如果a＝10，那么b＝( )。 【答案】(1)反 (2)48 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就是看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】（1）因为20×24＝480，40×12＝480，60×8＝480，80×6＝480……即a和b的乘积一定，a和b成反比例关系。 （2）由题意得，ab＝480，当a＝10时，b＝480÷10＝48。 【练习5】某科学中心有4座科技影院，旅行社的李叔叔带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 （1）请把上表补充完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，门票张数随着（    ）的增加而（    ）。表中两种量相对应的两个数的乘积是（    ），这个乘积所表示的意义是（    ）。 （3）影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 【答案】（1） 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 （2）票价；门票张数；票价；减少；4200；李叔叔带的总钱数 （3）成反比例。因为影院票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且它们的乘积一定，所以影院票价和可购买的门票张数成反比例。 【分析】（1）根据总钱数不变，利用“总价＝单价×数量”的关系进行计算，先计算李叔叔带的总钱数：巨幕影院票价40元，数量105张，总钱数为4200元，再求4D影院的数量：总钱数4200元，票价30元，数量为140张，最后求动感影院的数量：总钱数4200元，票价25元，数量为168张； （2）表中票价和数量是两种相关联的量，数量随着票价的增加而减少，两种量相对应的两个数的乘积是固定的，表中两种量相对应的两个数的乘积是4200，表示李叔叔带的总钱数。 （3）因为影院票价和可购买的门票数量是两种相关联的量，且它们的乘积（总钱数）一定，所以成反比例。 【详解】（1）（元） （张） （张） 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 140 168 （2）表中票价和数量是两种相关联的量，门票张数随着票价的增加而减少，表中两种量相对应的两个数的乘积是4200，表示李叔叔带的总钱数。 （3）成反比例。因为影院票价和可购买的门票张数是两种相关联的量，且它们的乘积一定，所以影院票价和可购买的门票张数成反比例。 题型六、反比例的应用 【例题6】婷婷家的客厅地面是正方形的，用面积是0.25平方米的方砖铺地，正好需要72块。改用边长为0.6米的方砖铺地，需要多少块这种方砖？（列比例解答） 【答案】50块 【分析】客厅的总面积不变，方砖的面积与所需块数成反比例，设需要x块这种方砖，列出反比例方程解答即可。 【详解】解：设需要x块这种方砖。 0.6×0.6x＝0.25×72 0.36x＝18 x＝18÷0.36 x＝50 答：需要50块这种方砖。 【练习6】希望小学改建一幢教学楼，计划安装6米长的水管240根。后来改用8米长的水管，安装总长度不变，共需要多少根？（列比例解答） 【答案】180根 【分析】根据题意可知，水管的总长度不变，即每根水管的长度×水管根数＝水管的总长度（一定），乘积一定，那么水管长度与根数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设改用8米长的水管后需要根。 答：共需要180根。 培优练习 练习一、变化的量 1．下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 【答案】A 【分析】相关联的量必须满足一个量变化，另一个量也随之变化的关系。根据这样的定义判断。 【详解】A.正方形面积＝边长×边长，正方形的面积随着边长的变化而变化，所以正方形的面积与边长是两个相关联的量。 B.人的身高与长相没有固定的数学依赖关系，人的身高不会随着长相变化而变化，所以人的身高与长相不是两个相关联的量。 C.自行车的款式与行驶的路程没有固定的数学依赖关系，自行车的款式不会随着行驶的路程变化而变化，所以自行车的款式与行驶的路程不是两个相关联的量。 D.天气和时间没有固定的数学依赖关系，天气不会随着时间变化而变化，所以天气与时间不是两个相关联的量。 故答案为：A 2．在烧开水时，水达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的部分数据。 加热时间/分 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)水的温度随着时间的增加而( )，到( )℃恒定。 (2)水的初始温度为( )℃，烧水8分时，水的温度为( )℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加( )℃。 (3)根据表格，你认为时间为16分时水的温度是( )℃。 (4)为了节约能源，应在( )（填时间）后停止烧水。 【答案】(1) 增加 100 (2) 30 86 14 (3)100 (4)10分钟 【分析】（1）观察表格可知，随着时间从0分钟增加到10分钟，水的温度从30℃逐渐升高到100℃，10分钟后温度保持100℃不变，所以水的温度随着时间的增加而增加，到100℃恒定。 （2）从表格中可以直接看出，时间为0分钟时，水的初始温度为30℃；时间为8分钟时，水的温度为86℃；10分钟内，时间从0分钟到10分钟，共推移了10分钟，温度从30℃升高到100℃，升高了℃，10分钟里有（）个2分钟，所以时间每推移2分，水的温度就增加℃。 （3）因为10分钟后水的温度恒定在100℃，推测16分钟时水的温度。 （4）由于10分钟后水已经沸腾且温度恒定，为了节约能源，应在水达到沸腾状态后停止加热，据此解答。 【详解】（1）由分析可知，水的温度随着时间的增加而增加，到100℃恒定。 （2）由分析可知，水的初始温度为30℃，烧水8分时，水的温度为86℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加14℃。 （3）根据表格，你认为时间为16分时水的温度是100℃。 （4）由分析可知，为了节约能源，应在10分钟后停止烧水。 3．下表是不同年龄儿童每分呼吸次数统计表。 年龄 新生儿 1岁 3岁 7岁 14岁 呼吸次数/分 42 30 24 22 20 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说，儿童14岁前每分呼吸次数是如何随年龄的增长而变化的。 【答案】（1）年龄、每分呼吸次数； （2）每分呼吸次数随年龄的增长而减少。 【分析】（1）根据表中数据可知，年龄在增加，呼吸的次数在减少，由此可知，年龄、每分钟呼吸次数在发生变化，据此解答； （2）观察表中数据可知，随着年龄的增长，每分钟呼吸次数在减少，据此解答。 【详解】（1）根据分析可知，表中的年龄和每分钟呼吸次数是发生变化。 （2）根据分析可知，14岁儿童每分钟呼吸次数随着年龄的增长而减少。 【点睛】解答本题的关键是弄清楚哪个量是在变化，进而解答。 练习二、正比例的意义及辨识 1．下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 【答案】D 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且这两种量中相对应的两个数的比值（商）始终是一个固定不变的常数，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。据此分析各选项，进而确定正确答案。 【详解】A．根据“路程＝速度×时间”，当路程一定时，速度×时间＝路程（一定），是乘积一定，所以时间与速度不成正比例。 B．三角形的面积公式为S＝ah÷2（S表示面积，a表示底，h表示高），当面积一定时，ah＝2S（一定），是乘积一定，所以底和高不成正比例。 C．因为被减数＝减数＋差，当被减数一定时，减数与差是和一定，不是比值或乘积一定的关系，所以减数与差不成比例。 D．圆柱的体积公式为V＝Sh（V表示体积，S表示底面积，h表示高），当高一定时，V÷S＝h（一定），是比值一定，所以体积和底面积成正比例关系。 所以选项D中的两个量成正比例关系。 故答案为：D 2．已知x和y成正比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 2 3 12 y 6.4 16 2 【答案】 x 2 3 5 0.625 12 y 6.4 9.6 16 0.8 2 38.4 【分析】根据正比例关系的性质，先求出x与y的比值（即比例系数），即用6.4除以2得到3.2，再利用该比值计算表格中缺失的数。 【详解】因为x和y成正比例，所以，代入 ，，得； 当时，； 当时，； 当时，； 当时； 当时， 填表如下： x 2 3 5 0.625 12 y 6.4 9.6 16 0.8 2 38.4 3．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 【答案】(1)树高与影长的比值 (2)正 (3)147 【分析】（1）分别计算出树高与影长的比值，可以发现树高与影长的比值均为，没有变。据此解答。 （2）因为树高与影长的比值一定，根据正比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，所以树高和影长成正比例。 （3）由前面可知树高与影长的比值为，已知塔的影长是88.2米，设这座塔的高为x米，根据正比例关系可列比例为＝；根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”得3x＝5×88.2，先计算出5×88.2＝441，然后根据等式的性质，两边同时除以3求解出x，即为塔的高度。 【详解】（1）4÷2.4＝＝＝ 5÷3＝ 6÷3.6＝＝＝ 7÷4.2＝＝＝ 因此可以发现树高与影长的比值没有变。 （2）因为树高与影长的比值一定，所以树高和影长成正比例。 （3）解：设这座塔的高是xm。 ＝ 3x＝5×88.2 3x＝441 3x÷3＝441÷3 x＝147 因此，这座塔的高是147m。 4．甲乙（甲、乙两数均不为0），甲∶乙＝( )，甲与乙成( )比例。 【答案】 25∶18 正 【分析】根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积；把甲乙改写成甲∶乙＝∶，化成最简整数比，再根据比值是否恒定判断比例类型。 【详解】因为甲乙 所以甲∶乙＝∶＝（×45）∶（×45）＝25∶18 ∶＝25∶18＝（一定），比值一定，所以甲与乙成正比例。 即： 甲乙（甲、乙两数均不为0），甲∶乙＝（25∶18），甲与乙成（正）比例。 5．某文化用品商店优惠说明“买笔记本时，如果买20本以下，每本4元；如果买20本以上（包括20本），每本3元。”总价与笔记本的数量成正比例吗？请说明理由。 【答案】总价与笔记本的数量不成正比例。因为它们的比值不是定值。 【分析】两种相关联的量，一个量变化另一个量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；xy＝k（一定），x和y成反比例关系，据此根据总价÷数量，进行分析。 【详解】当购买本数在20本以下时：总价÷数量＝4 当购买本数在20本以上（包括20本）时：总价÷数量＝3 4≠3 则总价与笔记本的数量不成正比例。因为它们的比值不是定值。 6．下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 【答案】（1）；；；； 发现：比值都相等，都是0.8。 （2）成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 【分析】（1）根据表格数据，分别写出每组面粉的质量与小麦的质量的比，再求出比值，观察比值是否一致。 （2）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，据此解答。 【详解】（1）；；；； 答：发现：比值都相等，都是0.8。 （2）由（1）可知，磨出面粉的质量和小麦的质量的比值都是0.8。 答：能成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 练习三、正比例图象的认识 1．一辆新能源纯电车的行驶路程和耗电量的对应数值如下表。 行驶路程/km 0 9 18 27 36 45 耗电量/千瓦时 0 1 2 3 4 5 （1）在图中把该汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描出来，并连线。 （2）该新能源纯电车的耗电量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）图见详解（2）正比例关系；理由见详解 【分析】（1）根据表格里行驶路程和耗电量的对应数据，在给定的坐标图中，找到每个数据对应的位置（比如行驶路程9千米对应耗电量1千瓦时，就找到坐标9、坐标1的点 ），然后把这些点用直线连起来。据此完成操作。 （2）判断两种相关联的量是否成正比例关系，关键看它们的比值是否一定。即耗电量÷行驶路程是否一定，计算它们的比值，若比值始终不变，就成正比例关系。据此解答。 【详解】 （1） （2）计算比值：耗电量÷行驶路程 1÷9＝，2÷18＝，3÷27＝，4÷36＝，5÷45＝ 可以看到，耗电量与行驶路程的比值一直是，是固定不变的。所以，该新能源纯电车的耗电量与行驶路程成正比例关系。 2．笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 【答案】（1）成；行驶的路程和耗油量的比值一定； （2）6； （3）需要加油；见详解 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系； （2）行驶的路程和耗油量的比值表示1升油可以行驶多少千米，汽车的耗油量＝汽车行驶的总路程÷每升油可以行驶的路程； （3）由上可知，每升汽油可以行驶10千米，求出4升汽油可以行驶的路程，再和50千米比较大小，结果大于50千米时不用加油，结果小于50千米时需要加油，据此解答。 【详解】（1）由图可知，（一定），因为行驶的路程和耗油量的比值一定，所以行驶的路程和耗油量成正比例关系。 （2）60÷10＝6（升） 所以，汽车耗油6升。 （3）4×10＝40（千米） 因为40千米＜50千米，所以需要加油。 答：笑笑的爸爸需要加油。 3．趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 【答案】（1）成正比例关系；理由见详解 （2）见详解 （3）225；12.8 【分析】（1）正比例关系的定义：两种相关联的量，若相对应的比值（商）一定，则成正比例关系。 计算喷水量与喷涌天数的比值：15÷1＝15万立方米/天，30÷2＝15万立方米/天，45÷3＝15万立方米/天，60÷4＝15万立方米/天，75÷5＝15万立方米/天，90÷6＝15万立方米/天。由此可知，喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。因此，趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为二者比值一定。 （2）根据表格数据，对应坐标点为：（0，0）、（1，15）、（2，30）、（3，45）、（4，60）、（5，75）、（6，90）。在方格纸上，找到对应的位置描点，再用直尺顺次连接这些点，会得到一条从原点出发的直线（因成正比例关系，图像是过原点的直线）。 （3）已知喷水量与喷涌天数成正比例，关系为：喷水量＝15×喷涌天数。计算15天的喷水量，用15乘15即可。计算192万立方米水可喷涌的天数，用192除以15即可。 【详解】（1）15÷1＝15（万立方米/天） 30÷2＝15（万立方米/天） 45÷3＝15（万立方米/天） 60÷4＝15（万立方米/天） 75÷5＝15（万立方米/天） 90÷6＝15（万立方米/天） 喷水量÷喷涌天数＝15（定值），满足正比例关系的条件。 答：趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系，因为喷水量与喷涌天数比值一定。 （2）如图： （3）15×15＝225（万立方米） 192÷15＝12.8（天） 趵突泉15天的喷水量是225万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌12.8天。 练习四、正比例的应用 1．近年来，城市骑行风潮兴起，只需要一辆自行车，人们便可领略城市不一样的风景与浪漫。如图是张叔叔的一次骑行情况，如果一棵树每年可吸收9.2千克碳排量，那么张叔叔骑行多少千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量？（列比例解答） 【答案】80千米 【分析】由题意可知，张叔叔骑行每千米节约的碳排量不变，则节约的碳排量和骑行距离成正比例关系，一棵树一年吸收的碳排量∶所求的骑行距离＝骑行节约的碳排量∶骑行距离，据此列比例解答。 【详解】9.2千克＝9200克 解：设张叔叔骑行x千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量。 9200∶x＝460∶4 460x＝9200×4 460x＝36800 x＝36800÷460 x＝80 答：张叔叔骑行80千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量。 2．某口罩厂今年3月与4月销售的口罩的箱数比是6∶5，已知3月销售口罩3000箱，4月销售口罩多少箱？ 【答案】2500箱 【分析】根据题意可知，3月与4月销售的口罩的箱数比值是一定的，据此设4月销售口罩x箱，列比例为3000∶x＝6∶5，然后解出比例即可。 【详解】解：设4月销售口罩x箱。 3000∶x＝6∶5 6x＝3000×5 6x＝15000 x＝15000÷6 x＝2500 答：4月销售口罩2500箱。 【点睛】本题主要考查了用比例解决问题，掌握解比例的方法是解答本题的关键。 3．一根竹竿高2米，它的影长3.2米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长6米，这棵树高是多少米？（用比例解） 【答案】 3.75米 【分析】同一时间、同一地点，物体的高度与影长成正比例关系。根据竹竿的高度与影长的比等于树的高度与影长的比，建立比例方程求解。 【详解】 解：设这棵树高米。 答：这棵树高3.75米。 练习五、反比例的意义及辨识 1．生产摩托车的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数成( )比例。 【答案】反 【分析】判断每天生产的台数和所用的天数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】每天生产摩托车的台数×所用的天数=生产摩托车的总台数（一定）， 是乘积一定，符合反比例的意义。 故生产摩托车的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数成反比例。 2．已知x和y成反比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 4 12 y 9 18 3.6 72 【答案】2；10； 3；54 【分析】因为x和y成反比例关系，所以它们的乘积是定值。首先根据已知的、，求出乘积：，即。后续根据这个定值计算空格中的数。 【详解】根据，依次计算： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，（或​），（或​）。 3．已知5x＝6y（x，y均不为0），x和y成( )比例；已知（x，y均不为0），x和y成( )比例。 【答案】正；反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。根据定义进行判断解答。 【详解】，可知：（一定），x、y成正比例； ，可知：（一定），x、y成反比例。 已知5x＝6y（x，y均不为0），x和y成正比例；已知（x，y均不为0），x和y成反比例。 4．增城荔枝上市啦！果园的工人们准备把新摘的荔枝装箱后运往商店，每箱装的质量和需要的箱数如下表。 每箱装的质量/kg 15 25 30 50 60 箱数 200 120 （1）把表格填写完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两个相关联的量。 （3）这两个相关联的量中，相对应的两个数的积是（    ），表示的是（                 ）。 （4）由此可知，表中两个相关联的量成（    ）比例。 【答案】（1）100；60；50 （2）每箱装的质量；箱数 （3）3000；荔枝的总质量 （4）反 【分析】（1）根据表中前两项的数据可知，每箱装的质量和箱数的积一定据此填表； （2）根据表中数据可知，每箱装的质量和箱数是两个相关联的量； （3）用每箱装的质量乘对应的箱数求出积，表示的是荔枝的总质量； （4）根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答。 【详解】（1） 每箱装的质量/kg 15 25 30 50 60 箱数 200 120 100 60 50 （2）表中每箱装的质量和箱数是两个相关联的量。 （3） 这两个相关联的量中，相对应的两个数的积是3000，表示的是荔枝的总质量。 （4）由（3）可知每箱装的质量和箱数的积一定，所以表中两个相关联的量成反比例。 5．用一批纸装订练习本，每本的页数和可装订的本数如下表，填表并回答问题。 每本的页数 8 10 16 20 25 可装订的本数 500 （1）把表格填写完整。 （2）每本的页数和可装订的本数成什么关系？ （3）若每本的页数为50，则可以装订多少本？ （4）若需要装订125本，每本装订多少页？ 【答案】（1）400；250；200；160 （2）成反比例关系 （3）80本 （4）32页 【分析】先确定“纸的总页数”这一不变的定值，再利用反比例关系的性质解题：确定定值：根据“每本页数×可装订本数＝总页数”，由已知的“每本8页、可装订500本”，算出总页数为（页）总页数固定不变。 填表逻辑：每本页数变化时，可装订本数＝总页数÷每本页数，据此计算表格中缺失的数。 比例关系判断：每本页数与可装订本数的乘积（总页数）是定值，符合反比例关系的定义。 实际问题计算：无论是“每本50页时装订的本数”，还是“装订125本时的每本页数”，都通过“总页数÷已知量”的方式求解。 【详解】（1）总页数为（页） 根据“可装订本数＝总页数÷每本页数”计算： 当每本页数为10时：（本） 当每本页数为16时：（本） 当每本页数为20时：（本） 当每本页数为25时：（本） 每本的页数 8 10 16 20 25 可装订的本数 500 400 250 200 160 （2）每本的页数和可装订的本数的乘积总页数是定值，因此两者成反比例关系。 （3）每本页数为50时的装订本数：（本） 答：可以装订80本。 （4）装订125本时的每本页数：（页） 答：每本装订32页。 6．看一本故事书，每天看的页数相同，每天看的页数和需要的天数如下图。 （1）每天看的页数和需要的天数是否成比例？如果成比例，那么成什么比例？为什么？ （2）如果8天看完这本书，那么每天要看（    ）页。 【答案】【小题1】成比例，成反比例。 因为需要的天数随每天看的页数的增加而减少，且积一定。 【小题2】15 【分析】（1）根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系，所以每天看的页数和需要的天数成反比例。 （2）因为总页数为120页（由前面乘积得出），如果8天看完，根据每天看的页数＝总页数÷需要的天数。 【详解】（1）观察图像可知，每天看的页数和需要的天数的乘积为：，，，，，，即每天看的页数×需要的天数＝总页数（一定），所以每天看的页数和需要的天数成比例，成反比例。 （2）120÷8＝15（页） 如果8天看完这本书，那么每天要看15页。 7．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量如下表所示。 每个小正方形的面积/ 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成（    ）比例。 （2）如果用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？ 【答案】（1）反 （2）24个 【分析】（1）每个小正方形的面积×小正方形的数量＝长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积＝36×需要小正方形个数，由此解答即可。。 【详解】（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系； （2）解：设需要个小正方形。                                    答：需要24个小正方形。 练习六、反比例的应用 1．工人师傅给广告牌刷油漆，每时刷18个，5时能完成任务。如果每时多刷7个，那么完成任务要几时？（用比例知识解答） 【答案】3.6时 【分析】根据题意可知，每时刷的个数与完成的时间成反比例，设完成任务要x时，用18＋7＝25个，求出每时刷的个数，列比例：18×5＝（18＋7）x，解比例，即可解答。 【详解】解：设完成任务要x时。 18×5＝（18＋7）x 25x＝90 x＝90÷25 x＝3.6 答：完成任务要3.6时。 2．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【答案】（1）成反比例关系；理由见详解 （2）12天 【分析】（1）反比例关系的定义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积一定，那么它们就成反比例关系。根据表格中的数据计算每天装配数量和时间相对应的乘积，看是否相等。 （2）由于每天装配数量和时间成反比例关系，它们的乘积始终是这批童车的总数（3600辆）。已知每天装配300辆，根据“时间＝总数÷每天装配数量”来计算天数。 【详解】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 180×20＝3600（辆） 答：每天装配的数量与时间成反比例关系，原因是两种相关联的量乘积一定。 （2）3600÷300＝12（天） 答：如果该童车厂每天装配300辆，那么需要12天。 3．自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”。为做好2025年第30个全国中小学生安全教育日宣传活动，教育局提前印刷一批安全教育宣传手册。印刷厂原计划每天印刷1.5万册，12天完成，实际9天就完成了，实际每天印刷多少册？ 【答案】20000册 【分析】将1.5万去掉“万”字，小数点向右移动四位，改写成不带万字的数，设实际每天印刷x册，根据每天印刷的册数×天数＝总册数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】1.5万＝15000 解：设实际每天印刷x册。 9x＝15000×12 9x＝180000 9x÷9＝180000÷9 x＝20000 答：实际每天印刷20000册。 4．星星校服厂生产一批校服，原计划每天生产150套，30天可以完工，由于要加快进度，实际每天比原计划多生产20%，实际多少天完成任务？（用比例的知识解答） 【答案】 25天 【分析】由题意可知，这批服装的总数量不变，则每天生产服装的数量和需要的天数成反比例，实际每天生产服装的数量×实际需要的天数＝原计划每天生产服装的数量×原计划需要的天数，据此解答。 【详解】解：设实际x天完成任务。 150×（1＋20%）×x＝150×30 150×1.2×x＝150×30 180x＝4500 x＝4500÷180 x＝25 答：实际25天完成任务。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年六年级下册数学北师大版单元培优讲义 专题04 正比例与反比例 考点梳理 1 考点一、变化的量 1 考点二、正比例 1 考点三、画一画（正比例关系的图像） 2 考点四、反比例 2 例题讲解 3 题型一、变化的量 3 题型二、正比例的意义及辨识 3 题型三、正比例图象的认识 4 题型四、正比例的应用 5 题型五、反比例的意义及辨识 5 题型六、反比例的应用 6 培优练习 6 练习一、变化的量 6 练习二、正比例的意义及辨识 7 练习三、正比例图象的认识 8 练习四、正比例的应用 10 练习五、反比例的意义及辨识 11 练习六、反比例的应用 12 考点梳理 考点一、变化的量 1.定义：在日常生活和数学学习中，存在着许多相互关联的量，当其中一种量发生变化时，另一种量也可能随之发生变化，这样的量称为“变化的量”。 2.两种相关联的量：若两个量中，一个量的变化会引起另一个量的变化，则这两个量是相关联的量。例如：时间与路程（路程随时间变化）、单价与总价（总价随单价变化）、工作效率与工作总量（工作总量随工作效率变化）等。 3.判断两种量是否相关联的方法：观察一种量变化时，另一种量是否也随之变化；若存在“一个量变化，另一个量也变化”的关系，则为相关联的量。 考点二、正比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 2.字母表达式：若用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值（一定），则正比例关系可表示为：（k 为常数，且 ）。 3.正比例关系的特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)一种量随另一种量的变化而变化，且变化方向相同（即一种量扩大，另一种量也扩大；一种量缩小，另一种量也缩小）； (3)相对应的两个数的比值（商）始终保持不变。 4.判断两种量是否成正比例的方法： (1)首先判断两种量是否相关联； (2)再判断它们相对应的两个数的比值是否一定； (3)若同时满足以上两点，则成正比例关系。 考点三、画一画（正比例关系的图像） 1.正比例关系图像的特点：成正比例关系的两种量，在平面直角坐标系中描出相对应的点，这些点会形成一条经过原点的直线。 2.绘制正比例图像的步骤： (1)列表：根据正比例关系，列出几组 x 和 y 的对应值（通常包含 x=0 时 y=0 的情况）； (2)描点：在平面直角坐标系中，根据列表中的对应值，描出各点（坐标为 (x, y)）； (3)连线：用直尺将描出的点连接起来，形成一条直线（注意直线需经过原点）。 3.图像的意义：正比例图像直观地反映了两种成正比例的量之间的变化关系，通过图像可以直接看出一种量随另一种量变化的趋势，也可根据其中一个量的值估计另一个量的值。 考点四、反比例 1.定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 2.字母表达式：若用字母 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的乘积（一定），则反比例关系可表示为：（ k 为常数，且 ）。 3.反比例关系的特征： (1)两种量必须是相关联的量； (2)一种量随另一种量的变化而变化，且变化方向相反（即一种量扩大，另一种量缩小；一种量缩小，另一种量扩大）； (3)相对应的两个数的乘积始终保持不变。 4.判断两种量是否成反比例的方法： (1)首先判断两种量是否相关联； (2)再判断它们相对应的两个数的乘积是否一定； (3)若同时满足以上两点，则成反比例关系。 5.正比例与反比例的区别： (1)变化方向：正比例同增同减，反比例一增一减； (2)数量关系：正比例比值一定（），反比例乘积一定（）； (3)图像：正比例图像是过原点的直线，反比例图像是曲线。 例题讲解 题型一、变化的量 【例题1】下列说法错误的是（    ）。 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 【练习1】下表是妙想6岁前的体重变化情况。 年龄 出生时 2岁 4岁 6岁 体重/千克 3.5 14.0 18.0 21.0 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说妙想6岁前的体重是如何随年龄增长而变化的。 分析与解答： (1)通过观察，我们发现妙想的( )在发生变化，他的( )也在发生变化。 (2)6岁前，妙想的年龄在( )，体重也随着( )。 题型二、正比例的意义及辨识 【例题2】正方形的周长与它的边长成( )比例；圆的周长与它的直径成( )比例。 【练习2】下表是底为9cm的三角形的面积与底边上的高相对应的数据。判断它们是否成正比例，并说明理由。 面积/ 4.5 9 18 27 高/cm 1 2 4 6 题型三、正比例图象的认识 【例题3】一辆汽车行驶路程和时间的关系如图。 行驶的路程和时间成( )比例，照这样计算，6时行驶( )千米，要行驶720千米需要( )时。 【练习3】一款慧星战甲咖啡杯售价99元，购买数量与总价的关系如下表。 数量/个 0 1 2 3 4 5 6 … 总价/元 0 99 198 297 396 495 594 … （1）先根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）购买这款慧星战甲咖啡杯的总价与数量成（    ）比例。 （3）点（7，693）在这条直线上吗？若在，这一点表示什么含义？ 题型四、正比例的应用 【例题4】某测量小组把一根长3米的竹竿直立在地上，测得影长为1.2米，同时测得一水塔的影长为7.2米，这座水塔的高是多少米？（用方程解） 【练习4】天宫是我国第一个空间站，是我国的太空实验基地。天宫在太空5秒运行39千米，照这样的速度，30秒可运行多少千米？（用比例解） 题型五、反比例的意义及辨识 【例题5】已知两种相关联的量a和b的关系如下表所示。 a 20 40 60 80 … b 24 12 8 6 … (1)a和b成( )比例关系（填“正”或“反”）。 (2)如果a＝10，那么b＝( )。 【练习5】某科学中心有4座科技影院，旅行社的李叔叔带了一笔钱，他所能购买（钱正好花完）各影院的门票张数如下表。 巨幕影院 球幕影院 4D影院 动感影院 票价/元 40 35 30 25 门票张数 105 120 （1）请把上表补充完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两种相关联的量，门票张数随着（    ）的增加而（    ）。表中两种量相对应的两个数的乘积是（    ），这个乘积所表示的意义是（    ）。 （3）影院票价和可购买的门票张数成反比例吗？为什么？ 题型六、反比例的应用 【例题6】婷婷家的客厅地面是正方形的，用面积是0.25平方米的方砖铺地，正好需要72块。改用边长为0.6米的方砖铺地，需要多少块这种方砖？（列比例解答） 【练习6】希望小学改建一幢教学楼，计划安装6米长的水管240根。后来改用8米长的水管，安装总长度不变，共需要多少根？（列比例解答） 培优练习 练习一、变化的量 1．下面（    ）中的两个量是相关联的量。 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 2．在烧开水时，水达到100℃就会沸腾，下表是某同学做“观察水的沸腾”实验时记录的部分数据。 加热时间/分 0 2 4 6 8 10 12 14 … 水的温度/℃ 30 44 58 72 86 100 100 100 … (1)水的温度随着时间的增加而( )，到( )℃恒定。 (2)水的初始温度为( )℃，烧水8分时，水的温度为( )℃。在10分内，时间每推移2分，水的温度就增加( )℃。 (3)根据表格，你认为时间为16分时水的温度是( )℃。 (4)为了节约能源，应在( )（填时间）后停止烧水。 3．下表是不同年龄儿童每分呼吸次数统计表。 年龄 新生儿 1岁 3岁 7岁 14岁 呼吸次数/分 42 30 24 22 20 （1）上表中哪些量在发生变化？ （2）说一说，儿童14岁前每分呼吸次数是如何随年龄的增长而变化的。 练习二、正比例的意义及辨识 1．下面各选项中的两个量成正比例的是（    ）。 A．路程一定，时间与速度 B．三角形的面积一定，底和高 C．被减数一定，减数与差 D．圆柱的高一定，体积和底面积 2．已知x和y成正比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 2 3 12 y 6.4 16 2 3．在同一时间，同一地点，测得不同的树的高度与影长如下表所示。 树高/m 4 5 6 7 影长/m 2.4 3 3.6 4.2 (1)从表中的数据可以发现( )没有变。 (2)树高和影长成( )比例。 (3)如果在同一时间，同一地点，经过测量，一座塔的影长是88.2米，这座塔的高是( )m。 4．甲乙（甲、乙两数均不为0），甲∶乙＝( )，甲与乙成( )比例。 5．某文化用品商店优惠说明“买笔记本时，如果买20本以下，每本4元；如果买20本以上（包括20本），每本3元。”总价与笔记本的数量成正比例吗？请说明理由。 6．下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 练习三、正比例图象的认识 1．一辆新能源纯电车的行驶路程和耗电量的对应数值如下表。 行驶路程/km 0 9 18 27 36 45 耗电量/千瓦时 0 1 2 3 4 5 （1）在图中把该汽车的行驶路程与耗电量所对应的点描出来，并连线。 （2）该新能源纯电车的耗电量与行驶路程成正比例关系吗？为什么？ 2．笑笑的爸爸开车出行。下图表示的是开车从A地到B地行驶的路程与耗油量之间的关系。 （1）行驶的路程和耗油量成正比例吗？请说明理由。 （2）A地到B地有60千米，汽车耗油（    ）升。 （3）笑笑的爸爸在B地办完事后，想去离B地50千米的C地。此时油箱里大约剩下4升汽油，他需要加油吗？请说明理由。 3．趵突泉被誉为“天下第一泉”，是泉城济南的象征与标志，每天吸引着许多游客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和喷水量的统计表。 喷涌天数/天 0 1 2 3 4 5 6 … 喷水量/万立方米 0 15 30 45 60 75 90 … （1）趵突泉的喷水量与喷涌天数成正比例关系吗？为什么？ （2）把上表中趵突泉的喷水量与喷涌天数所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）趵突泉15天的喷水量是（    ）万立方米，192万立方米的水够趵突泉喷涌（    ）天。 练习四、正比例的应用 1．近年来，城市骑行风潮兴起，只需要一辆自行车，人们便可领略城市不一样的风景与浪漫。如图是张叔叔的一次骑行情况，如果一棵树每年可吸收9.2千克碳排量，那么张叔叔骑行多少千米节约的碳排量相当于一棵树一年吸收的碳排量？（列比例解答） 2．某口罩厂今年3月与4月销售的口罩的箱数比是6∶5，已知3月销售口罩3000箱，4月销售口罩多少箱？ 3．一根竹竿高2米，它的影长3.2米。如果同一时间、同一地点测得一棵树的影子长6米，这棵树高是多少米？（用比例解） 练习五、反比例的意义及辨识 1．生产摩托车的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数成( )比例。 2．已知x和y成反比例关系，在下表的空格中填上合适的数。 x 4 12 y 9 18 3.6 72 3．已知5x＝6y（x，y均不为0），x和y成( )比例；已知（x，y均不为0），x和y成( )比例。 4．增城荔枝上市啦！果园的工人们准备把新摘的荔枝装箱后运往商店，每箱装的质量和需要的箱数如下表。 每箱装的质量/kg 15 25 30 50 60 箱数 200 120 （1）把表格填写完整。 （2）表中（    ）和（    ）是两个相关联的量。 （3）这两个相关联的量中，相对应的两个数的积是（    ），表示的是（                 ）。 （4）由此可知，表中两个相关联的量成（    ）比例。 5．用一批纸装订练习本，每本的页数和可装订的本数如下表，填表并回答问题。 每本的页数 8 10 16 20 25 可装订的本数 500 （1）把表格填写完整。 （2）每本的页数和可装订的本数成什么关系？ （3）若每本的页数为50，则可以装订多少本？ （4）若需要装订125本，每本装订多少页？ 6．看一本故事书，每天看的页数相同，每天看的页数和需要的天数如下图。 （1）每天看的页数和需要的天数是否成比例？如果成比例，那么成什么比例？为什么？ （2）如果8天看完这本书，那么每天要看（    ）页。 7．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量如下表所示。 每个小正方形的面积/ 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成（    ）比例。 （2）如果用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？ 练习六、反比例的应用 1．工人师傅给广告牌刷油漆，每时刷18个，5时能完成任务。如果每时多刷7个，那么完成任务要几时？（用比例知识解答） 2．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如下表。 每天装配的数量／辆 60 90 120 180 时间／天 60 40 30 20 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 3．自1996年起，我国确定每年3月份最后一周的星期一为全国中小学生“安全教育日”。为做好2025年第30个全国中小学生安全教育日宣传活动，教育局提前印刷一批安全教育宣传手册。印刷厂原计划每天印刷1.5万册，12天完成，实际9天就完成了，实际每天印刷多少册？ 4．星星校服厂生产一批校服，原计划每天生产150套，30天可以完工，由于要加快进度，实际每天比原计划多生产20%，实际多少天完成任务？（用比例的知识解答） 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $