学易金卷：高二数学下学期第一次月考卷【苏教版，测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章～苏教版选择性必修第二册第六、七章】

2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章~苏教版选择性必修第二册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列0，，，…的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（ ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x 3．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ） A．18 B．36 C．54 D．72 4．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ） A．2 B． C． D．4 6．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 10．设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 11．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A．若平面，则 B．存在点与直线，使 C．存在点与直线，使平面 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 13．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ． 14．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列中，，且． （1）设,证明是等比数列； （2）求数列的通项公式． 16．（15分） 已知，与的夹角为45°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） 双曲线：经过点，且渐近线方程为． (1)求的值； (2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点． 18．（17分） 如图，三棱锥中，棱垂直于平面，． （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（17分） 已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B B C A C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13. 14．①② 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（（1）证明：因为 ，（2分） 又因为在数列中，，所以，（4分） 所以是以为首项，公比为3的等比数列．（5分） （2）由（1）得 所以①，（7分） 又因为． 所以，（9分） 又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列．（11分） 所以②，（12分） 因此由①②得：=（13分） 16．（15分） 【解析】如图， 设则，. 因为，（3分） ，（4分） 所以，（6分） ，则，（7分） ，则，（8分） 所以，所以所成角的余弦值为.（9分） （2）因为，（10分） 所以， 即FH的长为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由双曲线过点，有，由渐近线方程为，有，可解得.（4分） （2）由题意，抛物线与双曲线联立，，（6分） 因为抛物线与双曲线的右支相交，因此要满足.（7分） 设，即，且， 所以有，可得.（9分） 而直线的斜率为，（11分） 所以直线的方程为，即，（13分） 又因为， 所以直线的方程化简为，所以其过定点.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）因为，所以，（1分） 因为平面，平面， 所以， （3分） 又因为，，平面， 所以平面， 所以.（6分） （2）如图所示， 过A作于H，（7分） 因为平面，平面， 所以，（9分） 又，，平面， 所以平面，（11分） 所以是直线与平面所成的角. 因为平面， 所以是与平面所成的角， 因为， 又，所以， 所以在中，（15分） 又，所以在中，．（16分） 即直线与平面所成角的正弦值为（17分） 19．（17分） 【解析】（Ⅰ）.（1分） ①当时，，在上单调递增，无极值. （3分） ②当时，令，得. 令，则；令，则. ∴在上单调递增，在上单调递减， 此时，无极小值. （5分） 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 极大值为，无极小值. （6分） （Ⅱ）对任意，总存在，使得成立， 等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1，（7分） ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （9分） 又，，. 由（Ⅰ）知： ①当时，， 由得，所以.（12分） ②当时，在上单调递增，在上单调递减. ，又， ∴当时，， 由得，所以； 当时，， 由，得，所以. 综上所述，的取值范围是.（17分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章~苏教版选择性必修第二册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列0，，，…的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（ ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x 3．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ） A．18 B．36 C．54 D．72 4．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ） A．2 B． C． D．4 6．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 7．若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 10．设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 11．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A．若平面，则 B．存在点与直线，使 C．存在点与直线，使平面 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 13．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ． 14．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列中，，且． （1）设,证明是等比数列； （2）求数列的通项公式． 16．（15分） 已知，与的夹角为45°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） 双曲线：经过点，且渐近线方程为． (1)求的值； (2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点． 18．（17分） 如图，三棱锥中，棱垂直于平面，． （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值． 19．（17分） 已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版选择性必修第一册第三、四、五章~苏教版选择性必修第二册第六、七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列0，，，…的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式． 【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项， 2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式． 故选A． 【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，属于基础题． 2．已知曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020，则曲线C关于（ ）对称 A．x轴 B．y轴 C．原点 D．y＝x 【答案】B 【分析】将x换为﹣x，y不变，将y换为﹣y，x不变，将x换为﹣x，y换为﹣y，将x换为y，y换为x，判断变化后的方程与原方程的关系，从而得到结论. 【详解】曲线C方程为x2+y2+|x|y＝2020， 将x换为﹣x，y不变，原方程化为x2+y2+|x|y＝2020，所以曲线C关于y轴对称； 将y换为﹣y，x不变，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于x轴对称； 将x换为﹣x，y换为﹣y，原方程化为x2+y2﹣|x|y＝2020，所以曲线C不关于原点对称； 将x换为y，y换为x，原方程化为x2+y2+|y|x＝2020，所以曲线C不关于直线y＝x对称． 故选：B． 3．由数字0，1，2，3，4可组成多少个无重复数字的四位数奇数（ ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【分析】分步计数：先确定末位数字，再确定首位数字，最后确定中间两位数字，由乘法原理可得． 【详解】末位可挑1和3两个数字，共两种情况，然后首位排除0后可挑3个数，中间 两位共种排法，因此共种情况． 故选：B． 4．已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合两函数的单调性及恒过的定点检验各选项即可判断． 【详解】结合与可知，两函数单调性一定相反，排除选项A； 因为恒过定点，恒过定点，排除选项B，D． 故选：C． 5．已知抛物线C：（）的焦点为F，M是y轴上一点，线段的延长线交C于点N，若，则（ ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】作于D点，交y轴于A点，分析之间的关系，结合抛物线定义即可求解． 【详解】记抛物线的准线为， 如图，作于D点，交y轴于A点，则， 因为，所以为的中点， 所以， ，解得． 故选：A． 6．已知正方体的棱长为2，则四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建系，求出平面的法向量，再求出点到平面的距离，最后求出四棱锥的体积即可. 【详解】    以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，取，得， 点到平面的距离， ， 四棱锥的体积为 故选：C. 7．若数列满足则“”是“为等比数列”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】,不妨设，则可证充分性； 为等比数列且时得不到，可知必要性不成立 【详解】不妨设，则 为等比数列；故充分性成立 反之若为等比数列，不妨设公比为， ， 当时，所以必要性不成立 故选：A． 【点睛】(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可． (2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证． 8．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案. 【详解】当时，单调递减，， 当时，单调递减，， 故在上单调递减， 由，得的对称轴为， 若对任意的，不等式恒成立， 即对，不等式恒成立， ， 即， 即， 故实数的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，，，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A．的取值范围是 B．四边形面积的最小值为 C．满足的点有两个 D．的面积最大值为 【答案】AC 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】    圆心到直线的距离， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得， 当时取得等号，所以长的取值范围为，故A正确； 因为，所以四边形的面积等于， 四边形的最小值为，故B错误； 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 设，因为， 整理得， 则有△，所以满足条件的点有两个，故C正确； 因为， 所以当，即，面积有最大值为， 此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误． 故选：AC 10．设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A． B．中最小值为 C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为15 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，因为，且，所以且，所以B正确； 对于C，在等差数列中，由且， 则当时，可得；当时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，所以D错误. 故选：ABC. 11．如图，点是正四面体底面的中心，过点且平行于平面的直线分别交，于点，，是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点，则（ ） A．若平面，则 B．存在点与直线，使 C．存在点与直线，使平面 D． 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的性质定理，可判断A；由空间向量数量积可判断B；当直线平行于直线，时，通过线面垂直的判定定理可判断C，由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，平面，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交于点， 平面平面， 又平面，平面，， 点在面上，过点的直线交，于点，，平面， 又平面，平面平面，， ，故A正确； 对于B，设正四面体的棱长为， ，故B错误； 对于C，当直线平行于直线，为线段上靠近的三等分点，即，此时平面， 以下给出证明：在正四面体中，设各棱长为， ，，，均为正三角形， 点为的中心，， 由正三角形中的性质，易得， 在中，，，， 由余弦定理得，， ，则， 同理，，又，平面，平面， 平面，存在点S与直线MN，使平面，故C正确； 对于D，设为的中点，则， 又∵，，三点共线，∴， ∵，，三点共线，∴， ∵，，三点共线，∴， 设，，，则， ∵，，，四点共面，∴， 又∵，∴，∴， 即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了空间向量数量积和共面向量定理，解题的关键是熟悉利用空间向量的共面定理，考查了转化能力与探究能力，属于难题. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线在点A处的切线方程为，则切点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】令求出，分别代入、再令其相等可得答案. 【详解】由，得，因为，所以， 则切点A的横坐标为－1，所以， 解得，所以A的坐标为． 故答案为：. 13．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆心坐标，根据题意列关于的方程，求出它们的值，进而求得半径，即可得答案. 【详解】设圆心坐标为， 由于所求圆与直线和直线都相切， 故，化简为，而，则， 又圆心到原点的距离为，即， 解得，即圆心坐标为，则半径为， 故圆的方程为， 故答案为： 14．“S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数. 给出下列四个结论： ①对任意，存在，使得； ②对任意，存在，使得； ③对任意，存在，使得； ④对任意，存在，使得. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项. 【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示）， 设导数在取最大值，结合的图象可知， 且当时，为增函数，在上为减函数， 对于①，任意，取，则有，故①成立. 对于②，设，由图象的性质可平移直线至处， 此时平移后的直线与图象相切，且，取， 故，故②正确. 对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线， 交的图象于，由函数的图象特征可得， 取，则，故③不成立. 对于④，取（为①中最大值点）， 则过的切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线， 否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误. 故答案为：①②. 【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知数列中，，且． （1）设,证明是等比数列； （2）求数列的通项公式． 15．（13分） 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【分析】（1）由等比数列的定义证明是等比数列； （2）先求出等比数列的通项公式，即,再结合可得，即可证明是以为首项，公比为的等比数列，即可求出的通项公式． 【详解】（1）证明：因为 ， 又因为在数列中，，所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列． （2）由（1）得 所以①，又因为． 所以， 又因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列． 所以②， 因此由①②得：= ． 16．（15分） 在棱长为1的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为的中点． （1）求EF，所成角的余弦值； （2）求FH的长． 16．（15分） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设于是可得，，根据，，最后结合空间向量的夹角公式和数量积运算即可求得； （2）根据，再由空间向量模的运算和数量积的运算即可得到答案. 【详解】如图， 设则，. 因为， ， 所以， ，则， ，则， 所以，所以所成角的余弦值为. （2）因为， 所以，即FH的长为. 17．（15分） 双曲线：经过点，且渐近线方程为． (1)求的值； (2)若抛物线与C的右支交于点，证明：直线过定点． 17．（15分） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由双曲线过点，且渐近线方程可求得答案； （2）抛物线与双曲线联立，并设出,求出线的方程即可证明. 【详解】（1）由双曲线过点，有，由渐近线方程为，有，可解得. （2）由题意，抛物线与双曲线联立，， 因为抛物线与双曲线的右支相交，因此要满足. 设，即，且， 所以有，可得. 而直线的斜率为， 所以直线的方程为，即，又因为， 所以直线的方程化简为，所以其过定点. 18．（17分） 如图，三棱锥中，棱垂直于平面，． （1）求证：； （2）若，直线与平面所成的角的正切值为，求直线与平面所成的角的正弦值． 18．（17分） 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据，所以，再由平面，得到，然后利用线面垂直的判定定理求解. （2）过A作于H，由平面，得到，从而平面，则是直线与平面所成的角，然后在中，求得AH，在中，由求解． 【详解】（1）因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以. （2）如图所示， 过A作于H， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成的角. 因为平面， 所以是与平面所成的角， 因为， 又，所以， 所以在中，   又，所以在中，． 即直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】本题主要考查线线垂直，线面垂直以及线面角的求法及应用，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 19．（17分） 已知函数，. （Ⅰ）讨论函数的单调区间与极值； （Ⅱ）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数的取值范围. 19．（17分） 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）. 【解析】（Ⅰ）求出的导数，讨论和两种情况利用导数正负判断单调性，求出极值； （Ⅱ）题目等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1，分别利用导数求出和的最小值即可. 【详解】（Ⅰ）. ①当时，，在上单调递增，无极值. ②当时，令，得. 令，则；令，则. ∴在上单调递增，在上单调递减， 此时，无极小值. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 极大值为，无极小值. （Ⅱ）对任意，总存在，使得成立， 等价于在上的最小值与在上的最小值的差恒小于1， ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 又，，. 由（Ⅰ）知： ①当时，， 由得，所以. ②当时，在上单调递增，在上单调递减. ，又， ∴当时，， 由得，所以； 当时，， 由，得，所以. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 12 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $