学易金卷：高一数学下学期第一次月考卷【苏教版，测试范围：苏教版必修第一册第七、八章～苏教版必修第二册第九、十章】

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C A B D C A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ABD ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由题设，，又∥，则，（3分） 而||＝，即，（5分） 所以，当时(舍)；（6分） 当时，（7分） 所以.（8分） （2）由题设知：，则，（10分） 所以，（12分） 故当时（13分） 16．（15分） 【解析】（1）∵，与的夹角为45°, ∴;（4分） （2）∵与的夹角是锐角, ∴，且与不能同向共线, （6分） 由得，即， 解得：；（9分） 若与同向共线，则存在实数，使得， 所以，解得：；（12分） 又与不能同向共线，所以，（13分） 因此，或.（15分） 17．（15分） 【解析】 （5分） （8分） （11分） （13分） .（15分） 18．（17分） 【解析】（1）解：由已知，解得；（2分） 不等式即为，（3分） 不等式化为，解得或． 不等式的解集为．（5分） （2）解：由（1）知，，，所以，（7分） 所以，（11分） 当且仅当，即，时等号成立，（13分） 所以的最小值是4，（15分） 因为恒成立，则，解得．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）因为函数最大值为2，所以.（1分） 因为函数两对称轴间的最小距离为， 所以函数的最小正周期为，（3分） 因为， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以令，即， 所以函数的解析式为；（5分） （2）， ，或， 解得，或，（8分） 因为， 且函数区间上有且仅有两个零点， 所以从左到右的零点为，，，且，（10分） 所以实数的取值范围（11分） （3）因为， 所以由 （14分） 即，其中，（13分） 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大，（15分） 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是.（17分） 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第七、八章~苏教版必修第二册第九、十章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 4．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为 5．已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 6．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．的值为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列命题正确的有（ ） A． B．若，则与共线 C．若，则 D．的最大值为3 10．在以下关于向量的命题中，正确的是（ ） A．若向量，向量，（），则 B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是 C．中，和的夹角等于角A D．点G是的重心，则 11．已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，斜率为的直线过点与轴交于点，与圆交于点、，若，，则的取值集合为 ． 13．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 14．函数，其中，若只有一个零点，则的最小值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量且A(1，0)，B(cos θ，t)． (1)若∥，且||＝，求向量的坐标； (2)若∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值． 16．（15分） 已知，与的夹角为45°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知，求的值 18．（17分） 已知函数，的解集为或． (1)求不等式的解集； (2)当，，时，有恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知函数最大值为2，两对称轴间的最小距离为. (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第七、八章~苏教版必修第二册第九、十章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 4．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为 5．已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 6．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．的值为（ ） A． B． C． D． 8．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列命题正确的有（ ） A． B．若，则与共线 C．若，则 D．的最大值为3 10．在以下关于向量的命题中，正确的是（ ） A．若向量，向量，（），则 B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是 C．中，和的夹角等于角A D．点G是的重心，则 11．已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，斜率为的直线过点与轴交于点，与圆交于点、，若，，则的取值集合为 ． 13．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 14．函数，其中，若只有一个零点，则的最小值 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量且A(1，0)，B(cos θ，t)． (1)若∥，且||＝，求向量的坐标； (2)若∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值． 16．（15分） 已知，与的夹角为45°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知，求的值 18．（17分） 已知函数，的解集为或． (1)求不等式的解集； (2)当，，时，有恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 已知函数最大值为2，两对称轴间的最小距离为. (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 口 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第一册第七、八章~苏教版必修第二册第九、十章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由给定数集的范围和交集的定义求解. 【详解】，又， 所以. 故选：． 2．“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数结合基本不等式计算即可. 【详解】由题意可得在时恒成立， 即 由基本不等式可知，所以. 故选：C 3．已知，，则（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】将左右两边平方可得，然后，解出即可. 【详解】将左右两边平方可得. 由，解得或. ∵，∴，∴. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是三角函数的同角基本关系，考查了学生的变换能力，属于基础题. 4．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为 【答案】B 【分析】由题意结合数量积定义直接计算得即可得解. 【详解】设已知两个向量的夹角为θ， 由题 ， ，所以共线. 故选：B. 5．已知向量，，，则实数m的值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】先求得的坐标，再由求解. 【详解】因为向量，， 所以， 又因为， 所以， 解得. 故选：D. 6．函数在的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据奇偶性排除A和B,再利用特殊值的正负可排除D,即得结果. 【详解】的定义域为R,关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 其图像关于y轴对称，排除选项A和B, 又当时，，故排除选项D, 故选：C 【点睛】方法点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式和三角函数的两角和的正弦公式求解. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：A 8．设函数，若函数的图象关于点对称，且在区间上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知及函数的对称中心得、，即可得解析式，再由余弦函数的区间值域，结合其图象得，即可得解. 【详解】由函数的图象关于点对称，则且， 所以，，则，即， 当，则，此时， 所以，结合余弦函数的图象知，可得. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则下列命题正确的有（ ） A． B．若，则与共线 C．若，则 D．的最大值为3 【答案】ABD 【分析】计算其模，即可判断A；求出，从而得到，即可判断B；求出，即可求出，从而判断C；表示出，再根据向量模的坐标表示，三角恒等变换公式及三角函数的性质判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，，所以，故A正确； 对于B：当时， ，则，所以与共线，故B正确； 对于C：当时，，则， 所以不成立，故C错误； 对于D：因为， 所以 ，所以当， 即时取得最大值，最大值为，故D正确. 故选：ABD 10．在以下关于向量的命题中，正确的是（ ） A．若向量，向量，（），则 B．平行四边形ABCD是菱形的充要条件是 C．中，和的夹角等于角A D．点G是的重心，则 【答案】ABD 【分析】A：利用向量数量积的坐标运算和计算判断；B：根据结合菱形的性质进行判定；C：根据向量夹角的定义要求是向量共起点时所构成的角进行理解判断；D：根据点G是的重心判断． 【详解】对于A，，则，故A正确； 对于B，平行四边形的对角线相互垂直平行四边形是菱形，B正确； 对于C，根据向量夹角的定义可知，和的夹角等于角A的补角，C不正确； 对于D，由点是的重心知是BC中点，所以, 所以，D正确. 故选：ABD． 11．已知，，是单位圆上的三点，满足，，且，其中为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】先利用条件，得，再对选项AB逐一取值判断，即可得出选项AB的正误；对于选项CD，利用两向量相等的坐标表示，得到和，再适当的构角变形化简即可判断选项CD的正误. 【详解】因为，，是单位圆上的三点， 所以，，， 由，可得，即， 选项A，当时，，所以，又，可得，选项A正确； 选项B，当时，，则，由，可得，选项B正确； 选项C，由， 可得， ， 由，可得，则， 则，，则，选项C正确； 选项D，，D显然错误； 故选：ABC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆，斜率为的直线过点与轴交于点，与圆交于点、，若，，则的取值集合为 ． 【答案】 【分析】联立方程组，消去y，得到关于x的二次方程，设，利用向量的坐标运算，求得p,q关于的表达式，求和并利用韦达定理进行化简可求得p+q=. 【详解】当k=0时，直线l与x轴不相交，不合题意； ∴k≠0， 直线的方程为,令y=0得,即, 由得, 设，则, 由,,得, ∴ ∴p+q的取值集合为, 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，涉及向量的坐标运算，关键是利用向量的坐标运算求得p,q关于的表达式，并利用韦达定理将进行化简求值. 13．已知函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则为 ． 【答案】 【分析】利用给定的图象变换求出的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得． 【详解】依题意，， 由是偶函数，得，， 而，则． 故答案为：． 14．函数，其中，若只有一个零点，则的最小值 ． 【答案】5 【分析】根据函数解析式以及零点个数可得，代入表达式并构造函数，求导得出函数单调性即可求得最小值. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，令，解得或； 因为只有一个零点，所以，即； 所以， 令，所以， 因为函数和分别为单调递增函数， 所以单调递增，又因为， 因此可知，当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增； 因此可得，， 所以的最小值为5. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数得出之间的关系式，代入表达式并通过构造函数，求导判断函数单调性即可求得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量且A(1，0)，B(cos θ，t)． (1)若∥，且||＝，求向量的坐标； (2)若∥，求y＝cos2θ－cos θ＋t2的最小值． 15．（13分） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题设可得且，即可求、，注意余弦函数的值域范围，即可得结果. （2）由题设，代入并整理得，根据余弦函数、二次函数的性质即可得最小值. 【详解】（1）由题设，，又∥，则， 而||＝，即， 所以，当时(舍)；当时， 所以. （2）由题设知：，则， 所以，故当时 16．（15分） 已知，与的夹角为45°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围. 16．（15分） 【答案】（1）（2）或 【分析】（1）根据向量模的计算公式，结合题中条件，直接计算，即可得出结果； （2）先由题意，得到，且与不能同向共线，分别求出的范围，即可得出结果. 【详解】（1）∵，与的夹角为45°, ∴; （2）∵与的夹角是锐角, ∴，且与不能同向共线, 由得，即， 解得：； 若与同向共线，则存在实数，使得， 所以，解得：； 又与不能同向共线，所以， 因此，或. 【点睛】本题主要考查求平面向量的模，以及由向量的夹角求参数的问题，熟记向量数量积的运算，以及向量共线定理即可，属于常考题型. 17．（15分） 已知，求的值 17．（15分） 【答案】 【分析】根据整体法三角恒等变换和诱导公式以及同角的三角函数基本关系式即可求解. 【详解】 . 18．（17分） 已知函数，的解集为或． (1)求不等式的解集； (2)当，，时，有恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据已知条件，利用二次不等式的解析求得的值，确定好待解不等式，再求解； （2）利用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值，然后根据不等式恒成立的意义求解. 【详解】（1）解：由已知，解得； 不等式即为， 不等式化为，解得或． 不等式的解集为． （2）解：由（1）知，，，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是4， 因为恒成立，则，解得． 19．（17分） 已知函数最大值为2，两对称轴间的最小距离为. (1)求函数的解析式； (2)函数在区间上有且仅有两个零点，求实数的取值范围； (3)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围. 19．（17分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦型函数的最值、周期性、特殊角的正弦值进行求解即可； （2）根据特殊角的正弦值，结合函数零点的定义进行求解即可； （3）由题意，令，则问题转化为方程在上有解，分离参数，构造函数，利用单调性求值域即可求解. 【详解】（1）因为函数最大值为2，所以. 因为函数两对称轴间的最小距离为， 所以函数的最小正周期为， 因为， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以令，即， 所以函数的解析式为； （2）， ，或， 解得，或， 因为， 且函数区间上有且仅有两个零点， 所以从左到右的零点为，，，且， 所以实数的取值范围 （3）因为， 所以由 即，其中， 因为，则，令， 则有，则关于t的方程在上有解， 由可得， 令，则， 因为，在上均为减函数， 所以函数在上为减函数，且当趋向于时，趋向于正无穷大， 则，所以，解得， 故实数a的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $