第二章二次函数《二次函数定值与取值范围问题》专练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

二次函数定值与取值范围问题专练 1．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围． 2．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c． （1）当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标； ②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围； （2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式． 3．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值； （2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 4．设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若m＝4， ①求二次函数的表达式； ②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小． （2）若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围． 5．已知二次函数y＝x2+bx﹣3（b为常数）． （1）该函数图象与x轴交于A、B两点，若点A坐标为（3，0）， ①b的值是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； ②当0＜y＜5时，借助图象，求自变量x的取值范围； （2）对于一切实数x，若函数值y＞t总成立，求t的取值范围（用含b的式子表示）； （3）当m＜y＜n时（其中m、n为实数，m＜n），自变量x的取值范围是1＜x＜2，求n与b的值及m的取值范围． 6．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）．抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F． （1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，作直线CE，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标； （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A（1，0），C（5，0），顶点坐标为E（m1，k）．抛物线L2交x轴于点B（2，0），D（10，0），顶点坐标为F（m2，k）． （1）连接EF，求线段EF的长； （2）点M（﹣7，d1）在抛物线L1上，点N（16，d2）在抛物线L2上．比较大小：d1　 　 d2； （3）若点P（n+3，f1），Q（2n﹣1，f2）在抛物线L1上，f1＜f2，求n的取值范围． 8．如图，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中B（1，0），C（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）在二次函数图象上是否存在点P，使得S△PAC＝S△ABC？点P与点B不重合．若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）点Q是对称轴l上一点，且点Q的纵坐标为a，当△QAC是锐角三角形时，求a的取值范围． 9．已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上． （1）当m＝﹣1时，求a和b的值； （2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围； （3）求证：b2+4a＝0． 10．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； （3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K（1，3）的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM•EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 11．规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． （1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是 　 　 （填写序号）； （2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标． ①求实数a的值； ②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是 　 　 、　 　 ； （3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围． 12．定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”． （1）函数y的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； （2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2； （3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围． 13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，且自变量x的部分取值与对应函数值y如下表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 4 ⋯ y ⋯ 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 ⋯ （1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式； （2）若将线段AB向下平移，得到的线段与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于P，Q两点（P在Q左边），R为二次函数y＝ax2+bx+c的图象上的一点，当点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m时，求tan∠RPQ的值； （3）若将线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数y（ax2+bx+c）的图象只有一个交点，其中t为常数，请直接写出t的取值范围． 14．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接BC． （1）抛物线的解析式为 　 　 ；（直接写出结果） （2）在图1中，连接AC并延长交BD的延长线于点E，求∠CEB的度数； （3）如图2，若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接CN，BM，直线CN与BM交于点P．当MN∥BC时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 15．已知抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4），与y轴交于点A． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接AB，BC，点D在线段AB上（与点A，B不重合），点F是OA的中点，连接FD，过点D作DE⊥FD交BC于点E，连接EF，当△DEF面积是△ADF面积的3倍时，求点D的坐标； （3）如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，H（m，0）是x轴正半轴上的动点，若线段OB上存在点G（与点O，B不重合），使得∠GBP＝∠HGP＝∠BOH，求m的取值范围． 16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A在y轴正半轴上． （1）如果四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上． ①a＝　 　 ； ②如图1，已知菱形ABCD的顶点B、C、D在该二次函数的图象上，且AD⊥y轴，求菱形的边长； ③如图2，已知正方形ABCD的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究n﹣m是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由． （2）已知正方形ABCD的顶点B、D在二次函数y＝ax2（a为常数，且a＞0）的图象上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式． 17．在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中． （1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？ （2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值； （3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围． 18．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°，求出点F的坐标； （3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OMON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 二次函数定值与取值范围问题专练答案 1．【解答】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5， ∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）； （2）如图： ∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2）， ∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1． 2．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3 时， ∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴顶点坐标为（2，7）． ②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7）， ∴当 x＝2 时，y有最大值7， ∵2﹣（﹣1）＞3﹣2， ∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2， ∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7． （2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2， ∴c＝2， 又∵， ∴b＝±2， ∵b＞0， ∴b＝2． ∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2． 3．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2， ∴a+b+c＝4a+2b+c， ∴3a+b＝0， ∴3． ∵对称轴为直线x， ∴t． （2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2， ∴，x1＜x2， ∵y1＜y2， ∵a＞0， ∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧， ∴t， 即t． 4．【解答】解：（1）①由题意得， 解得， ∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1； ②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x≤1时，y随x的增大而减小； （2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称， 若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0， ∵1， ∴b＝﹣2a， ∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1， ∴m＝a+2a+1≤0， ∴a． 5．【解答】解：（1）①由二次函数y＝x2+bx﹣3过点A（3，0）， ∴9+3b﹣3＝0， ∴b＝﹣2， ∴二次函数为：y＝x2﹣2x﹣3， 令y＝0， ∴x2﹣2x﹣3＝0， ∴解得，x＝﹣1或x＝3， ∴B（﹣1，0）； 故答案为：﹣2；（﹣1，0）； ②由题意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5， ∴x＝4或x＝﹣2． 又∵a＝1＞0， ∴二次函数图象开口向上． ∴当0＜y＜5时，满足题意的自变量有两部分， ∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4． （2）由题意，∵对于一切实数x，若函数值y＞t总成立， 即x2+bx﹣3＞t恒成立． 即x2+bx﹣3﹣t＞0． ∵y＝x2+bx﹣3﹣t开口向上， ∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0， ∴t． （3）由抛物线的对称性可知，抛物线与直线y＝n有两个交点， 若抛物线与直线y＝m也有两个交点，则x的解集有两部分， ∴抛物线与直线y＝m只有一个交点或没有， ∴直线y＝n与抛物线的交点为（1，n），（2，n），m小于等于抛物线的最小值， ∴对称轴为直线x， ∴b＝﹣3． ∴二次函数为y＝x2﹣3x﹣3＝（x）2， ∴当x＝1或x＝2时，y＝﹣5，即此时n＝﹣5， 由题意，∵m＜y＜﹣5时，自变量x的取值范围是1＜x＜2， ∴m． 6．【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（2，3），E（﹣2，0）， 得 ， 解得， ∴抛物线表达式为 ， 当 y＝0 时，， 解得 x1＝﹣2 （舍去），x2＝4， ∴F（4，0）； （2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b， ∵直线过点C（2，3），E（﹣2，0）， 得 ， 解得 ， ∴直线CE的表达式为 ， 设点 ，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点 ， 将 代入 ， 解得 t1＝﹣4，t2＝4 （舍去）， ∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）； （3）将 E（﹣2，0）代入 y＝ax2﹣2ax+c 得c＝﹣8a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a， ∴顶点坐标为 （1，﹣9a）， ①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ∴0＜﹣9a＜3， 解得 ， ②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得 综上所述，a的取值范围为 或 ． 7．【解答】解：（1）由题意可得：m1，m26， ∴EF＝6﹣3＝3； （2）由题意得：设抛物线L1：y1＝a1（x﹣1）（x﹣5），抛物线L2：y2＝a2（x﹣2）（x﹣10）， 由（1）得：E（3，k），F（6，k）， ∴a1（3﹣1）（3﹣5）＝a2（6﹣2）（6﹣10）， ∴a1＝4a2， ∴y1＝4a2（x﹣1）（x﹣5）， 把x＝﹣7代入抛物线L1得：d1＝4a2（x﹣1）（x﹣5）＝384a2， 把x＝16代入物线L2得：d2＝a2（x﹣2）（x﹣10）＝84a2， ∵a2＞0， ∴d1＞d2； 故答案为：＞； （3）∵f1＜f2， ∴点P离对称轴更近， ∴|n+3﹣3|＜|2n﹣1﹣3|， ∴（n+3﹣3）2﹣（2n﹣1﹣3）2＜0， ∴（n+2n﹣4）（n﹣2n+4）＜0； ∴或， ∴n或n＞4． 8．【解答】解：将点B（1，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c，则 ， 解得， ∴抛物线解析式为 y＝x2﹣4x+3； （2）在二次函数图象上存在点P，使得S△PAC＝S△ABC， ∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴顶点坐标为（2，﹣1）， 当 y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， ∴A（3，0），则 OA＝3， ∵C（0，3），则 OC＝3， ∴△AOC 是等腰直角三角形， ∵S△PAC＝S△ABC， ∴P到AC的距离等于B到AC的距离， ∵A（3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+3， ∴3k+3＝0， 解得k＝﹣1， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3， 过点B作AC的平行线，交抛物线于点P， 设BP的解析式为 y＝﹣x+d，将点B（1，0）代入得， ﹣1+d＝0， 解得：d＝1， ∴直线BP的解析式为 y＝﹣x+1， 解得：或， ∴P（2，﹣1）， ∵，，AB＝3﹣1＝2， ∴PA2+PB2＝AB2， ∴△ABP 是等腰直角三角形，且∠APB＝90°， 如图所示，延长PA至D，使得AD＝PA，过点D作AC的平行线DE，交x轴于点E，则DA＝DE，则符合题意的点P在直线DE 上， ∵△APB是等腰直角三角形，DE∥AC，AC⊥PD， ∴∠DAE＝∠BAP＝45°，PD⊥DE， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴， ∴E（5，0）设直线DE的解析式为y＝﹣x+e， ∴﹣5+e＝0， 解得：e＝5， ∴直线DE的解析式为y＝﹣x+5， 联立 ， 解得： 或， ∴ 或 ， 综上所述，P（2，﹣1） 或 ； （3）①当a＞0时，如图所示，过点C作 CG⊥AC 交 x＝2 于点G，当点Q与点G重合时，△ACQ是直角三角形，当∠AQC＝90°时，△ACQ是直角三角形， 设AC交x＝2于点H， ∵直线AC的解析式为 y＝﹣x+3， 则H（2，1）， ∴， ∴∠CHG＝∠OCH＝45°， ∴△CHG是等腰直角三角形， ∴， ∴G（2，5）， 设Q（2，q），则AQ2＝12+q2，CQ2＝22+（q﹣3）2＝q2﹣6q+13， ∵AC2＝32+32＝18， ∴18＝q2﹣6q+13+12+q2， 解得： （舍去）或 ， ∴， ∵△QAC是锐角三角形， ∴； ②当a＜0时，如图所示， 同理可得AQ2+QC2＝AC2， 即18＝q2﹣6q+13+12+q2， 解得： 或 （舍去）， 由（2）可得AM⊥AC时，M（2，﹣1） ∴﹣1＜a． 综上所述，当△QAC是锐角三角形时， a＜5或﹣1＜a． 9．【解答】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0）， ∴， ∴解得， ∴a的值是﹣1，b的值是﹣2； （2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， ∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上， ∴由图象的对称性得n＝2m， ∴m， ∵﹣2＜m＜﹣1， ∴﹣21， ∴﹣4＜n＜﹣2； （3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0）， ∴抛物线对称轴为直线xm， ∴m， ∴b＝﹣2am， 把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得： ， ①×3+②得：12am2+12＝0， ∴am2+1＝0， ∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0． 10．【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 即﹣3a＝3， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设点P的坐标为：（m，﹣m2+2m+3），点Q（x，0）， 当BC或BP为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3， 解得：m＝0（舍去）或2， 则点P（2，3）； 当BQ为对角线时，同理可得：0＝﹣m2+2m+3+3， 解得：m＝1±， 则点P的坐标为：（2，3），（1，﹣3）或（1，﹣3）； （3）是定值，理由： 直线GH过点（1，3），故设直线GH的表达式为：y＝k（x﹣1）+3， 设点G、H的坐标分别为：（m，﹣m2+2m+3），点N（n，﹣n2+2n+3）， 联立y＝k（x﹣1）+3和y＝﹣x2+2x+3并整理得：x2+（k﹣2）x﹣k＝0， 则m+n＝2﹣k，mn＝﹣k， 由点G、D的坐标得，直线GD的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x﹣1）+4， 令y＝0，则x＝1，即点M（1，0）， 则EM＝1﹣1， 同理可得，EN， 则EM•EN16． 11．【解答】解：（1）如图：由图可知，与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3有3个交点的是y， ∴与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是②， 故答案为：②； （2）①把x＝1代入得y＝﹣1，把x＝1，y＝﹣1代入函数得，a＝2； ②∵2x2﹣5x+2， ∴2x3﹣5x2+2x+1＝0， ∴2x3﹣2x2﹣2x2+2x﹣x2+1＝0， ∴（2x3﹣2x2）﹣（2x2﹣2x）﹣（x2﹣1）＝0， ∴2x2（x﹣1）﹣2x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝0， ∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣x﹣1）＝0， ∴2x2﹣3x﹣1＝0， ∴x或x． 故答案为：，． （3）x1满足方程﹣x+m，即mx1＝2， x2，x3满足方程x﹣m，即x2，x3是方程x2﹣mx+2＝0的两个根， ∴Δ＝m2﹣8＞0，即m2＞8，x2+x3＝m， ∴（m﹣2x1）2＝m2﹣4mx1+4m2+4（mx1）＝m2+8＞16． 12．【解答】（1）解：存在，理由： 由题意得，（1，2）的“k级变换点”为：（k，﹣2k）， 将（k，﹣2k）代入反比例函数表达式得：﹣4＝k（﹣2k）， 解得：k＝±； （2）证明：由题意得，点B的坐标为：（kt，kt+2k）， 由点A的坐标知，点A在直线yx﹣2上，同理可得，点B在直线yx+2k， 则y1m2﹣2，y2m2+2k， 则y1﹣y2m2﹣2m2﹣2k＝m2﹣2k﹣2， ∵k≤﹣2，则﹣2k﹣2+m2≥2， 即y1﹣y2≥2； （3）解：设在二次函数上的点为点A、B， 设点A（s，t），则其“1级变换点”坐标为：（s，﹣t）， 将（s，﹣t）代入y＝﹣x+5得：﹣t＝﹣s+5， 则t＝s﹣5， 即点A在直线y＝x﹣5上， 同理可得，点B在直线y＝x﹣5上， 即点A、B所在的直线为y＝x﹣5； 由抛物线的表达式知，其和x轴的交点为：（﹣1，0）、（5，0），其对称轴为x＝2， 当n＞0时， 抛物线和直线AB的大致图象如下： 直线和抛物线均过点（5，0），则点A、B必然有一个点为（5，0），设该点为点B，另外一个点为点A，如图， 联立直线AB和抛物线的表达式得：y＝nx2﹣4nx﹣5n＝x﹣5， 设点A的横坐标为x，则x+5， ∵x≥0， 则5≥0， 解得：n≤1， 此外，直线AB和抛物线在x≥0时有两个交点，故Δ＝（﹣4n﹣1）2﹣4n（5﹣5n）＝（6n﹣1）2＞0， 故n， 即0＜n≤1且n； 当n＜0时， 当x≥0时，直线AB不可能和抛物线在x≥0时有两个交点， 故该情况不存在， 综上，0＜n≤1且n≠1/6． 13．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3）三个点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3． （2）过R作RT⊥PQ，垂足为T， ∵点Q的横坐标为m，点R的横坐标为m， ∴QT， ∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1， ∴点P，Q关于直线x＝1对称， ∵Q到x＝1的距离是m﹣1， ∴PQ＝2（m﹣1）＝2m﹣2， ∴PT＝2m﹣2， ∵yR＝（m）2﹣2（m）﹣3，yT＝yQ＝m2﹣2m﹣3， ∴RT＝yR﹣yT＝2m﹣22， ∴在Rt△RPT中，tan∠RPQ． （3）线段AB先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段设为A'B'，则A'（0，3），B'（4，3）， 二次函数y（x2﹣2x﹣3）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，对称轴为直线x＝1，二次函数y（x2﹣2x﹣3）与二次函数y＝（x2﹣2x﹣3）只是开口大小和方向发生了变化，并且||越大，开口越小．若线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，分以下三种情况： ①当t＞0时，开口向上，如图，线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过B'（4，3）时开口最大，最小，t最大，把（4，3）代入y（x2﹣2x﹣3）得t， ∴0＜t． ②当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点（1，3），代入y（x2﹣2x﹣3）得t． ③当t＜0时，开口向下，如图，线段A'B'与二次函数y（x2﹣2x﹣3）的图象只有一个交点，当抛物线经过A'（0，3）时开口最大，||最小，t最小，把（0，3）代入y（x2﹣2x﹣3）得t＝﹣1， ∴﹣1＜t＜0． 综上，t的取值范围是：t或﹣1＜t＜0或0＜t． 14．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣6（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（6，0）， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为y． 故答案为：y． （2）∵A（﹣2，0），C（0，﹣6）， 设直线AC的解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣6， 同理，由点D（2，﹣8），B（6，0），可得直线BD的解析式为y＝2x﹣12， 令﹣3x﹣6＝2x﹣12， 解得x， ∴点E的坐标为（）， 由题意可得，OA＝2，OB＝OC＝6，AB＝8， ∴AC， 如图，过点E作EF⊥x轴于点F， ∴AE， ∴， ∴， ∵∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB， ∴∠ABC＝∠AEB， ∵OB＝OC，∠COB＝90°， ∴∠ABC＝45°， ∵∠AEB＝45°， ∴∠CEB＝45°， 答：∠CEB的度数为45°． （3）设点M的坐标为（m，），点N的坐标为（n，）， ∵直线MN与BC不重合， ∴m≠0且m≠6，n≠0且n≠6， 如图， 由点B（6，0），点C（0，﹣6），可得直线BC的解析式为y＝x﹣6， ∵MN∥BC， 设直线MN的解析式为y＝x+t， ∴x+t， ∴ ∴m+n＝6 ∴点N的坐标可以表示为（6﹣m，）， 设直线CN的解析式为y＝k2x+b2， ∴， 解得， ∴直线CN的解析式为y， 同上，可得直线BM的解析式为y， ∴， ∴mx＝3m， ∴x＝3， ∴点P的横坐标为定值3． 15．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+8过点B（4，8）和点C（8，4）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x+8； （2）∵抛物线yx2x+8与y轴交于点A， 当x＝0时，y＝8， ∴A（0，8），则OA＝8， ∵B（4，8）， ∴AB∥x轴，AB＝4， ∵点F是OA的中点， ∴F（0，4）， ∴AB＝AF＝4， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（4，8），C（8，4）， ∴， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+12， 设E（m，﹣m+12）（4＜m＜8）， 如图1，过点E作EG⊥AB交AB的延长线于G， 则∠G＝90°， ∴G（m，8）， ∴GE＝8﹣（﹣m+12）＝m﹣4，BG＝m﹣4， ∴BG＝GE， ∴△BGE是等腰直角三角形， 设D（t，8），则AD＝t，DG＝m﹣t， ∵DE⊥FD， ∴∠FDE＝90°， ∵∠FAD＝∠G＝∠FDE＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠ADF＝∠GDE， ∴△AFD∽△GDE， ∴，即， ∴t（m﹣t）＝4（m﹣4）， 即（t﹣4）m＝（t﹣4）（t+4）， ∵t≠4， ∴m＝t+4， 即m﹣t＝4， ∴DG＝AF， ∴△AFD≌△GDE（ASA）， ∴DF＝DE， 又∵DE⊥DF， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴S△DEFDF2， ∵S△ADFAD•AF， 当△DEF面积是△ADF面积的3倍时， 即DF2＝3AD•AF， ∴DF2＝12AD， 在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2＝t2+42， ∴AD2+AF2＝12AD， ∴t2+42＝12t， 解得：t＝6﹣2或t＝26（舍去）， ∴D（6﹣2，8）； （3）∵∠GBP＝∠HGP＝∠BOH， 又∠OGH+∠HGP＝∠GBP+∠BPG， ∴∠OGH＝∠BPG， ∴△OGH∽△BPG， ∴， 设BP交x轴于点S，过点B作BT⊥x轴于点T，如图2， ∵∠GBP＝∠BOH， ∴SB＝SO， ∵OT＝4，BT＝8， ∴OB4， 设BS＝k，则TS＝k﹣4， 在Rt△TBS中，SB2＝ST2+BT2， ∴k2＝（k﹣4）2+82， 解得：k＝10， ∴S（10，0）， 设直线BS的解析式为y＝ex+f，则， 解得：， ∴直线BS的解析式为yx， 联立， 解得：或， ∴P（，）， ∴PB， ∵， 设OG＝n，则BG＝OB﹣OG＝4n， ∴， 整理得：mn2n（n﹣2）2， ∵点G在线段OB上（与点O，B不重合）， ∴0＜OG＜4， ∴0＜n＜4， ∴当n＝2时，m取得的最大值为， ∴0＜m． 16．【解答】解：（1）①在y＝ax2中，令x＝0得y＝0， ∴（0，0）在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上，（0，2）不在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上， ∵四个点（0，0）、（0，2）、（1，1）、（﹣1，1）中恰有三个点在二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上， ∴二次函数y＝ax2（a为常数，且a≠0）的图象上的三个点是（0，0），（1，1），（﹣1，1）， 把（1，1）代入y＝ax2得：a＝1， 故答案为：1； ②设BC交y轴于E，如图： 设菱形的边长为2t，则AB＝BC＝CD＝AD＝2t， ∵B，C关于y轴对称， ∴BE＝CE＝t， ∴B（﹣t，t2）， ∴OE＝t2， ∵AEt， ∴OA＝OE+AE＝t2t， ∴D（2t，t2t）， 把D（2t，t2t）代入y＝x2得： t2t＝4t2， 解得t或t＝0（舍去）， ∴菱形的边长为； ③n﹣m是为定值，理由如下： 过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E，如图： ∵点B、D的横坐标分别为m、n， ∴B（m，m2），D（n，n2）， ∴BF＝m，OF＝m2，DE＝n，OE＝n2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AD＝AB， ∴∠FAB＝90°﹣∠EAD＝∠EDA， ∵∠AFB＝∠DEA＝90°， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝n2﹣AF﹣m2，AF＝n， ∴m＝n2﹣n﹣m2， ∴m+n＝（n﹣m）（n+m）， ∵点B、D在y轴的同侧， ∴m+n≠0， ∴n﹣m＝1； （2）过B作BF⊥y轴于F，过D作DE⊥y轴于E， ∵点B、D的横坐标分别为m、n， ∴B（m，am2），D（n，an2）， ①当B，D在y轴左侧时，如图： ∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝﹣n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴﹣m＝am2﹣AF﹣an2，AF＝﹣n， ∴﹣m＝am2+n﹣an2， ∴m+n＝a（n﹣m）（n+m）， ∵m+n≠0， ∴n﹣m； ②当B在y轴左侧，D在y轴右侧时，如图： ∴BF＝﹣m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴﹣m＝am2+AF﹣an2，AF＝n， ∴﹣m＝am2+n﹣an2， ∴m+n＝a（n+m）（n﹣m）， ∴m+n＝0或n﹣m； ③当B，D在y轴右侧时，如图： ∴BF＝m，OF＝am2，DE＝n，OE＝an2， 同理可得△ABF≌△DAE（AAS）， ∴BF＝AE，AF＝DE， ∴m＝an2﹣AF﹣am2，AF＝n， ∴m＝an2﹣n﹣am2， ∴m+n＝a（n+m）（n﹣m）， ∵m+n≠0 ∴n﹣m； 综上所述，m、n满足的等量关系式为m+n＝0或n﹣m． 17．【解答】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得： 1＝4﹣4t+3， 解得：t； （2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为 x＝t． 若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值， ∴t2﹣2t2+3＝﹣2， 解得t； 若t＞3，当x＝3时函数取最小值， ∴9﹣6t+3＝﹣2， 解得 （不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为； （3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线xm﹣1， ∴t＝m﹣1， ∵t＞0， ∴m﹣1＞0， 解得m＞1， ∵m﹣2＜m， ∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3， ∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3）， ∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3）， ∵b＜3， ∴4＜2m﹣2， 解得m＞3； ①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时， ∵y随x的增大而减小，且a＜b， ∴4＜m﹣2， 解得m＞6， 此时m满足的条件为m＞6； ②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时， ∵a＜b， ∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离， ∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2）， 解得：m＜4， 此时m满足的条件是3＜m＜4， 综上所述，3＜m＜4或m＞6． 18．【解答】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0），代入 y＝ax2+bx+4得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为yx2+x+4； （2）∵点A（﹣2，0），B（4，0）， ∴抛物线的对称轴为直线l：， 设直线l与x轴交于点G，过点E作 ED⊥l于点D， 当F在x轴上方时，如图： ∵以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°， ∴EF＝BF， ∵∠DFE＝90°﹣∠BFG＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF＝90°， ∴△DFE≌△GBF（AAS）， ∴GF＝DE，GB＝FD， 设F（1，m），则DE＝m，DG＝DF+FG＝GB+FG＝3+m， ∴E（1+m，3+m）， ∵E点在抛物线yx2+x+4上， ∴， 解得：m＝﹣3（舍去）或m＝1， ∴F（1，1）； 当F在x轴下方时，如图： 同理可得△DFE≌△GBF（AAS），GF＝DE，GB＝FD， 设F（1，n），则E（1﹣n，n﹣3）， 把E（1﹣n，n﹣3）代入yx2+x+4得： n﹣3（1﹣n）2+（1﹣n）+4， 解得n＝3（舍去）或n＝﹣5， ∴F（1，﹣5）； 当E点与A点重合时，如图所示， ∵AB＝6，△ABF是等腰直角三角形，且∠BFE＝90°， ∴， 此时 F（1，﹣3）， 由对称性可得，点F'（1，3）也满足条件， 综上所述，F（1，1）或（1，﹣5）或（1，﹣3）或（1，3）； （3）OMON为定值6，理由如下： 设P（s，t），直线AP的解析式为 y＝dx+f，BP的解析式为 y＝gx+h， ∵点A（﹣2，0），B（4，0），P（s，t）， ∴，， 解得：，， ∴直线AP的解析式为 ，BP的解析式为yx， 在中，令 x＝0 得， ∴， 在中，令x＝0得， ∴N（0，）， ∵P（s，t） 在抛物线上， ∴ts2+s+4（s﹣4）（s+2）， ∴OMON6， ∴OMON为定值6． 学科网（北京）股份有限公司 $