专题19 排列组合与二项式定理5种常见考法归类（全国通用）-【好题汇编】五年（2021-2025）高考数学真题分类汇编

专题19 排列组合与二项式定理 5种常见考法归类 知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势 知识1 排列与组合 （5年5考） 考点01有限制条件的排列问题 2025·上海2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅱ卷2024·上海2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷 2021·全国甲卷 1.有限制条件的排列是高频热点 近 5 年多次考查 “有限制条件的排列问题”，题目常通过 “相邻 / 不相邻”“特殊元素优先”“位置限制” 等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用。 2,.组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对 “无序性” 本质的理解。 3.二项式定理特定项与系数计算是绝对重点,近 5 年 “求二项式展开式的特定项”（如常数项、指定次数项）考查频率最高，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别。 4.“系数和” 问题（如赋值法求各项系数和、奇数项 / 偶数项系数和）也频繁出现，侧重对赋值法的灵活应用。 5.系数最值问题偶有出现，注重逻辑分析,虽然考查次数较少，但系数最值问题常涉及不等式求解或单调性分析，需结合二项式系数的增减性规律（中间项最大），体现对知识深度的要求。 考点02组合问题 2024·天津2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国甲卷2023·全国乙卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·上海2022·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国乙卷 2021·上海 知识2 二项式定理 （5年5考） 考点03求二项式展开式的特定项 2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京 2023·天津2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天津 2022·上海2021·北京 2021·天津 考点04二项式展开式项的系数和 2025·北京2024·上海2022·北京 2022·浙江 2021·浙江 考点05项的系数最值问题 2024·全国甲卷 2021·上海 考点01有限制条件的排列问题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 4．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 5．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 考点02组合问题 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 14．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 15．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 16．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ； 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 18．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 19．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 20．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合 A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点8点 8点9点 9点10点 10点11点 11点12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 考点03求二项式展开式的特定项 21．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 22．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 23．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 24．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 25．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ． 26．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 27．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 28．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 30．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ； 31．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 考点04二项式展开式项的系数和 32．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 33．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 34．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ． 35．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， . 36．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 考点05项的系数最值问题 37．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 38．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为 . / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题19 排列组合与二项式定理 5种常见考法归类 知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势 知识1 排列与组合 （5年5考） 考点01有限制条件的排列问题 2025·上海2024·全国甲卷 2024·新课标Ⅱ卷2024·上海2023·全国甲卷2022·新高考全国Ⅱ卷 2021·全国甲卷 1.有限制条件的排列是高频热点 近 5 年多次考查 “有限制条件的排列问题”，题目常通过 “相邻 / 不相邻”“特殊元素优先”“位置限制” 等经典模型设置，侧重逻辑推理和分类讨论思想的应用。 2,.组合问题则多与实际场景结合（如分配问题、选组问题），强调对 “无序性” 本质的理解。 3.二项式定理特定项与系数计算是绝对重点,近 5 年 “求二项式展开式的特定项”（如常数项、指定次数项）考查频率最高，核心是利用通项公式求解，需注意符号、系数与二项式系数的区别。 4.“系数和” 问题（如赋值法求各项系数和、奇数项 / 偶数项系数和）也频繁出现，侧重对赋值法的灵活应用。 5.系数最值问题偶有出现，注重逻辑分析,虽然考查次数较少，但系数最值问题常涉及不等式求解或单调性分析，需结合二项式系数的增减性规律（中间项最大），体现对知识深度的要求。 考点02组合问题 2024·天津2023·新课标Ⅰ卷2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国甲卷2023·全国乙卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·上海2022·全国甲卷2022·全国乙卷2021·全国乙卷 2021·上海 知识2 二项式定理 （5年5考） 考点03求二项式展开式的特定项 2025·上海2025·天津2024·天津2024·北京 2023·天津2023·上海 2022·新高考全国Ⅰ卷2022·天津 2022·上海2021·北京 2021·天津 考点04二项式展开式项的系数和 2025·北京2024·上海2022·北京 2022·浙江 2021·浙江 考点05项的系数最值问题 2024·全国甲卷 2021·上海 考点01有限制条件的排列问题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 2．（2025·上海·高考真题）4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有 种． 【答案】288 【分析】先选家长作队尾和队首，再排中间四人即可. 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 故答案为：288 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解 【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式， 故选：B 4．（2021·全国甲卷·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率公式可求概率. 【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个0不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个0不相邻的概率为， 故选：C. 5．（2021·全国甲卷·高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空， 若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法， 所以2个0不相邻的概率为. 故选：C. 6．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 ． 【答案】329 【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数． 首先讨论三位数中的偶数， ①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选， 根据分步乘法这样的偶数共有， 最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：329． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 【答案】B 【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解. 【详解】不妨记五名志愿者为， 假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法， 同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种. 故选：B. 8．（2024·全国甲卷·高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选， 所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列举法写出所有的可能结果. 考点02组合问题 10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 11．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解. 【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法， 若两数不互质，不同的取法有：，共7种， 故所求概率. 故选：D. 12．（2023·全国甲卷·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解. 【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件， 其中这2名学生来自不同年级的基本事件有， 所以这2名学生来自不同年级的概率为. 故选：D. 13．（2021·全国乙卷·高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（    ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解. 14．（2023·全国乙卷·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 【答案】C 【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案. 【详解】首先确定相同得读物，共有种情况， 然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种， 根据分步乘法公式则共有种， 故选：C. 15．（2024·天津·高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 ． 【答案】 【分析】结合列举法或组合公式和概率公式可求解第一空；采用列举法或者条件概率公式可求第二空. 【详解】解法一：列举法 给这5个项目分别编号为,从五个活动中选三个的情况有： ,共10种情况， 其中甲选到有6种可能性：， 则甲参加“整地做畦”的概率为：； 乙选活动有6种可能性：， 其中再选择有3种可能性：， 故乙参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为. 解法二： 设甲、乙选到为事件，乙选到为事件， 则甲选到的概率为； 乙选了活动，他再选择活动的概率为 故答案为：； 16．（2022·上海·高考真题）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检则，则每一类都被抽到的概率为 ； 【答案】 【分析】 由题意，利用古典概型的计算公式，计算求得结果． 【详解】 解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有种， 而所有的抽取方法共有种， 故每一类都被抽到的概率为＝＝， 故答案为：． 17．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【答案】64 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 18．（2022·全国甲卷·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ． 【答案】. 【分析】根据古典概型的概率公式即可求出． 【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率． 故答案为：． 19．（2022·全国乙卷·高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ． 【答案】/0.3 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率. 故答案为：. 解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 20．（2021·上海·高考真题）某人某天需要运动总时长大于等于60分钟，现有五项运动可以选择，如下表所示，问有几种运动方式组合 A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点8点 8点9点 9点10点 10点11点 11点12点 30分钟 20分钟 40分钟 30分钟 30分钟 【答案】 【分析】根据题意，可以判定选择任意3种及其以上否是符合要求的，只是在选择两种的情况下，有些是达不到要求的，利用组合求得总数，减去不合要求的种数即可. 【详解】由题意，至少要选2种运动，并且选2种运动的情况中，的组 合是不符题意的，∴, 故答案为：23. 考点03求二项式展开式的特定项 21．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 22．（2025·上海·高考真题）在二项式的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】利用通项公式求解可得. 【详解】由通项公式， 令，得， 可得项的系数为. 故答案为：. 23．（2025·天津·高考真题）在的展开式中，项的系数为 ． 【答案】 【分析】根据二项式定理相关知识直接计算即可. 【详解】展开式的通项公式为， 当时，， 即展开式中的系数为. 故答案为： 24．（2024·天津·高考真题）在的展开式中，常数项为 ． 【答案】20 【分析】根据题意结合二项展开式的通项分析求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 令，可得， 所以常数项为. 故答案为：20. 25．（2023·天津·高考真题）在的展开式中，的系数为 ． 【答案】 【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可. 【详解】展开式的通项公式， 令可得，， 则项的系数为. 故答案为：60. 26．（2022·天津·高考真题）在的展开式中，常数项是 . 【答案】15 【分析】利用二项式展开式的通项特征，即可求解. 【详解】由题意的展开式的通项为， 令即，则，所以的展开式中的常数项为. 故答案为：. 27．（2021·北京·高考真题）在的展开式中，常数项为 . 【答案】 【分析】利用二项展开通项公式即可得解. 【详解】的展开式的通项， 令，解得，故常数项为. 故答案为：. 28．（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是 ． 【答案】160 【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数是. 故答案为：160. 29．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【答案】-28 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 30．（2022·上海·高考真题）二项式的展开式中，项的系数是常数项的5倍，则 ； 【答案】10 【分析】先写出二项展开式的通项公式，令 得的系数，令得常数项，再由已知列出等式，解出即可. 【详解】由题知 ，当 时，的系数为 ；当 时，常数项为 ； 又的系数是常数项的5倍，所以，解得 . 故答案为：10 31．（2023·上海·高考真题）已知，若存在{0，1，2，…，100}使得，则k的最大值为 . 【答案】49 【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案. 【详解】二项式的通项为， 二项式的通项为， ， ，若，则为奇数， 此时， ，又为奇数，的最大值为49. 故答案为：49. 考点04二项式展开式项的系数和 32．（2022·北京·高考真题）若，则（    ） A．40 B．41 C． D． 【答案】B 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 33．（2025·北京·高考真题）已知，则 ； ． 【答案】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 34．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， ． 【答案】 【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令即可得出答案． 【详解】含的项为：，故； 令，即， 令，即， ∴， 故答案为：；． 35．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则 ， . 【答案】 ; . 【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论. 【详解】， ， 所以， ， 所以. 故答案为：. 36．（2024·上海·高考真题）在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为 ． 【答案】10 【分析】根据给定条件，求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数. 【详解】则二项式的展开式各项系数和为32，得，解得， 所以的展开式项的系数为. 故答案为：10 考点05项的系数最值问题 37．（2024·全国甲卷·高考真题）的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 38．（2021·上海·高考真题）的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则的系数为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求出的值，利用二项式定理可求得的系数. 【详解】因为的二项展开式中有且仅有的系数为最大值，则， 故的二项展开式的通项为， 由可得，故的系数为. 故答案为：. / 学科网（北京）股份有限公司 $$