学易金卷：高二数学下学期第一次月考卷02（浙江专用，测试范围：人教A版选择性必修第二册数列+导数）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版（选择性必修二全部） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【详解】设，则成等比数列， 即． 2．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】因为为，的等差中项， 所以，即，显然， 所以，解得或. 故选：C 3．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 则切线方程为，整理得． 故选：D． 4．已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，又，则，在定义域上单调递增， 对于A，在时，函数的图像一直在图像的下方，故，又与的距离越来越大，此时单调递减，故A错误， 对于B，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故B正确， 对于C，函数的图像一直在图像的上方且与的距离越来越大，此时单调递增，故C正确， 对于D，随着x的增大，又与的距离在交点之后越来越大且函数的图像一直在图像的上方； 交点之前函数的图像一直在图像的下方且与的距离越来越小， 此时单调递增，故D正确， 故选：A. 5．定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 【答案】C 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值. 故ABD错误，C正确． 故选：C． 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】设塔的顶层灯数为， 由上至下每一层的灯数形成以为公比的等比数列， 由题可得，解得， 所以塔的顶层的灯数是. 故选：B. 7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，整理得. 对于A、B：由指数函数性质可知，因为，所以单调递减， 当时，，A、B错误； 对于C、D：因为当时，，所以， 所以， C错误，D正确； 故选：D. 8．已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，因为当时，， 所以，所以在单调递增， 定义域为，对， 且，所以是偶函数， 对于A、B：因为，即，所以，A、B错误； 对于C：因为，即，所以，C正确； 对于D：因为，即，所以，D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设等差数列的公差为，则等差数列的前项和公式为， 当时，是过原点的直线上的点，所以选项B正确， 当时，是关于的二次函数，且该二次函数的图象过原点， 则是过原点的抛物线上的点，所以选项A、D正确． 故选：ABD． 10．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 【答案】AB 【详解】因为，所以为常数， 又，故数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以选项B正确； 由等差中项的性质 故C错误； 又，所以，所以选项A正确； 对于选项D，因为，令，二次函数的对称轴为. 由二次函数的对称性知，当或时，取到最小值，所以选项D错误． 故选：AB. 11．设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，若为奇函数，则，则，或， 均与矛盾，故不可能为奇函数，故A错误； 对于B， 因为 ， 所以存在两个不等实根，不妨设， 则得或；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故在处取极大值，在处取极小值，故B正确； 对于C，由以及的单调性可知， 当或时；当或时； 因为，且恒成立，所以，即，故C正确； 对于D，因为是方程的两个不同实根， 所以， 令，则， 令，得， 则关于点对称，即关于点对称， 由以及在区间上单调递减、 可得，又，， 可得， 所以，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线与曲线相切，则实数______． 【答案】 【详解】设直线与曲线的切点为, 又易知,则曲线在切点处的斜率为， 可得，即切点为 则, 故答案为：. 13．已知数列满足，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 14．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由可得. 因为当时，恒成立，所以时，； 设，，所以为增函数， 又，所以，即. 当时，，， 所以， 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，即. 所以当时，恒成立， 的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 16．（15分）已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)最大值为，最小值为 【详解】（1），，， 则有，化简得， 即的图象在点处的切线方程为； （2），则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则有最大值， 又，， 故在区间上的最大值和最小值分别为、. 17．（15分）已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由于， 故解得 所以. （2）由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以. 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4. 18．（17分）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 19．（17分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项的和； (3)若，求满足条件的最大整数． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)2025 【详解】（1）由且，可得， ， 即，， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知，则 所以， 则， 两式相减， ， . （3）由（1）知， 则 ， 由，即， ，， 所以， 因为，所以， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件， 故满足条件的最大整数． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D A C B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AB BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）(1)证明见解析(2) 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列；（7分） （2）由（1）知，．（13分） 16．（15分）(1)(2)最大值为，最小值为 【详解】（1），，， 则有，化简得， 即的图象在点处的切线方程为；（6分） （2），则， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，（10分） 则有最大值， 又，， 故在区间上的最大值和最小值分别为、.（15分） 17．（15分）(1)(2) 【详解】（1）由于， 故解得 所以.（6分） （2）由（1）知，所以， 则数列是以4为首项，3为公差的等差数列； 所以.（10分） 由，得， 即， 则，或， 又因为，所以的最小值为4.（15分） 18．（17分）(1)(2)答案见解析(3) 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即.（4分） （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数.（12分） （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为.（17分） 19．（17分）(1)证明见解析(2)(3)2025 【详解】（1）由且，可得， ， 即，， 数列是首项为，公比为的等比数列．（5分） （2）由（1）知，则 所以， 则， 两式相减， ， .（10分） （3）由（1）知， 则 ， 由，即，（12分） ，， 所以， 因为，所以， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件， 故满足条件的最大整数．（17分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版（选择性必修二全部） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 2．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 5．定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 11．设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线与曲线相切，则实数______． 13．已知数列满足，则________． 14．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 16．（15分）已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 17．（15分）已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 18．（17分）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 19．（17分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项的和； (3)若，求满足条件的最大整数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版（选择性必修二全部） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知正项等比数列的前项和为，若，则（   ） A．8 B．12 C．14 D．16 2．记为等比数列的公比，若为，的等差中项，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．函数在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的导函数分别为，且，则的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 5．定义在上的函数，其导函数为，若的图象如图，则（   ）    A．函数的增区间是， B．函数的减区间是， C．是的极大值点 D．是的极大值点 6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知奇函数的定义域为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是等差数列的前项和，则下列选项中可能是所对应的图象的是（   ） A． B． C． D． 10．已知数列的通项公式为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列是等差数列，且公差 C．对于任意的正整数，均有成立 D．存在唯一的正整数，使数列的前项和取得最小值 11．设函数，其中.则下列说法正确的是（    ） A．可能为奇函数 B．既有极大值也有极小值 C．若恒成立，则 D．若是方程的两个不同实根，且，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若直线与曲线相切，则实数______． 13．已知数列满足，则________． 14．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 16．（15分）已知函数． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)若（为函数的导函数），求在区间上的最大值和最小值． 17．（15分）已知等差数列的公差为，前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设为数列的前项和，求使得的的最小值. 18．（17分）已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 19．（17分）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项的和； (3)若，求满足条件的最大整数． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学下学期第一次月考 答题卡 姓 名： 准考证号： ! 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.1 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 烘 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5. 正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) ■ 1[A][B][CD] 5[A][B][C]D] 2[A][B][CD] 6[A]B][C]D] 3 [A][B][C][D] 7[A]B][CD] 4A][B][CD] 8[A]B][C]D] 二 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分， 共18分) 9[A][B][CD] 10A][B][C]D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 豪 12 13 14 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ (近9并)近S患素谁 :※壬落易佣海☒兴的到狂毋盖吊爵‘易4年☒易嘲目瑶号#巢 (LI)8I i必￥業易州年☒兴的到项狂联身盖吊群·易海☒疆易明目醋号巢 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）