精品解析：北京市西城区德胜中学2025--2026学年第二学期九年级数学学科活动试卷

北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期学科活动初三年级数学学科 考试时间：120分钟 一、选择题 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子正负，绝对值和相反数．有理数的乘法和加法，掌握相关知识点是解题关键．由数轴可知，，，再逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，，，， ， A、B、C选项错误， 故选：D． 3. 下列算式中正确的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：（1），故原计算错误； （2），故原计算错误； （3），故原计算正确； （4），故原计算错误， 故选：B． 4. 在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，以及有理数的乘法运算，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得，“比邻星”距离太阳系约为（千米）， 故选：D． 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 【答案】B 【解析】 【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程． 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键． 6. 不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果，找出两次记录的图案都是甲的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有4种等可能的结果，其中两次记录的图案都是甲的结果数为1， 所以两次记录的图案都是甲的概率＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率． 7. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与尺规作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 根据平行线的判定及尺规作一个角等于已知角的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．图1的作图是作，故原理是同位角相等，两直线平行，故本选项不符合题意； B．以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意； C．图2的作图是作，原理是内错角相等，两直线平行，故本选项符合题意； D．以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧，故本选项不符合题意， 故选：C． 8. 如图，点是边长为10的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，作直线，首先证明，得，，再证明点在的平分线上，通过延长至点使得，构造点关于直线的对称点，当三点共线时，取最小值，设，由图1知，，则，由，得到对应边成比例即可求出的值，即可解决问题． 【详解】如图，过点作交的延长线于点，作直线， 四边形是正方形， ，，， ， ， 由旋转知，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即点在的平分线上， 如图2，延长至点，使得，连接，， 在与中， ， ， ， ， 当三点共线时，取最小值， ，， 四边形为平行四边形， ， 设，由图1知，， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 在中，， ∴线段的长为． 二、填空题 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可． 【详解】解： ． 10. 如图所示的网格是正方形网格，则______（点，，，是网格线交点）． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的外角的定义及性质可知，然后利用网格的性质可推出，即可得到答案 【详解】解：如图所示，点是网格线交点，连接， 根据题意可知，， ， 根据网格的性质可知，，， ， ， 故答案为：45． 11. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线平移规律的“上加下减，左加右减”法则代入计算即可得到答案． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度， 抛物线解析式为：， 再向下平移1个单位长度， 抛物线解析式为：， 化简得，展开得． 12. 若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】 且 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根的判别式， 即：， 解得：， 实数的取值范围是且． 14. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为C．若，且的面积为15，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了根据图形面积求反比例函数的比例系数，熟练掌握根据图形面积求反比例函数的比例系数是解题的关键．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， ，， ，，， 由题意得， 则， ， 解得， ， ． 故答案为：8． 15. 如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ． 16. 某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与的对应关系如下： 投入n（万元） 渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向______渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为______千人． 【答案】 ①. 甲 ②. 180 【解析】 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量，比较即可解答； （2）列举出所有分配方案，比较即可解答． 【详解】解：（1）若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； ∵， ∴为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元． （2）将6万元广告预算进行分配，方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 3 3 0 0 4 2 0 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 4 0 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 3 1 0 2 4 0 0 因此，总新增用户量的最大值为180千人． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，和化简绝对值，掌握知识点，正确计算是解题的关键． 先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，和计算负整数指数幂，再进行实数的混合运算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3． 【解析】 【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解． 【详解】解： 由不等式①得：x≥－2， 由不等式②得：，， ∴不等式组的解集为：， ∴x的非负整数解为：0，1，2，3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 19. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值． 【答案】，（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 已知四边形为平行四边形，将的边延长到E，使得，连接，连接交于点O，且满足． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，点F为中点，连接，，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：在中，，，，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线、平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握三角形中位线、平行四边形的性质与判定、矩形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，，，，则有，然后可得，则可证明四边形为平行四边形，进而根据矩形的判定可进行求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，则有为等边三角形，，进而根据等边三角形的性质及勾股定理可得，最后问题可求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵O为中点， ∴， ∵，O为中点， ∴， ∵点F为中点，B为中点， ∴， ∵， ∴． ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴的面积为． 21. 自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． （1）根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ （2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 【答案】（1）， （2）共有两种截取方案：方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道；方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道 【解析】 【分析】（1）设按截法一的标准管道为x根，则标准管道截法二为根，结合图形可得B型管道（根）； （2）根据需要A型160根，B型管道178根，列出不等式，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：根据题意得： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） （根） A型管道（根） x B型管道（根） 【小问2详解】解：由题意，得， 由①得： 由②得：． ∴ ∵x取整数， ∴，40 答：共有两种截取方案： 方案一：按截法一截39根标准管道，按截法二截61根标准管道； 方案二：按截法一截40根标准管道，按截法二截60根标准管道； 【点睛】此题主要考查了不等式组的实际应用，解题的关键是根据题意列出不等式组求解即可． 22. 在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）且． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可； （2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可． 【小问1详解】 解：将函数向上平移2个单位，得到新函数， 当时，， 即函数与函数的图象交于点， 将点代入函数， 则， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得：， 根据题意得：当时，且， ， 当时，，最大值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； ， 当时，，最小值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； 综上可得：且． 23. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； （3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 【答案】（1）<，> （2）①八；②4 （3）78 【解析】 【分析】（1）根据统计图，列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表，求出各自中位数、方差，再比较大小； （2）①分别求出两个年级的综合得分，列出统计表，再根据表中的频数对照频数直方图作出判断； ②先找出该年级知识测评得分最高的学生的知识测评得分，再找出它的综合得分，然后找出他所在的组别； （3）根据（2）分别得出被抽取的学生中可获得“北京小使者”奖章的人数，再估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数。 【小问1详解】 解：根据统计图，可列出“七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长”的统计表如下： 时长 1 2 3 大于3 七年级 5 1 1 3 八年级 2 3 3 2 七年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为 八年级10名学生每周志愿服务时长的中位数为, 记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，∴, 七年级10名学生的知识测评得分分别为52，62，65，65，75，79，81，82，82，92， 七年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分）， 七年级10名学生的知识测评得分的方差为 八年级10名学生的知识测评得分分别为61，63，69，73，73，78，78，81，82，87， 八年级10名学生的知识测评得分的平均数为 （分)， 八年级10名学生的知识测评得分的方差为 记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为， ， 故答案为：<， >; 【小问2详解】 解：七年级10名学生的知识测评综合得分分别为112，122，125，135，165，139，171，142，172，172， 组别 学生数 1 2 2 1 0 1 3 八年级10名学生的知识测评综合得分分别为121，133，129，153，163，148，158，171，162，157， 组别 学生数 2 1 1 3 2 1 表格数据与八年级学生的知识测评综合得分符合， ∴该频数分布直方图反映的是八年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其得分是87分，综合得分是157分，位于第4组； 故答案为：①八，②4； 【小问3详解】 解：综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章，该校七年级有120名学生，八年级有100名学生，被抽取的学生中七年级可获得“北京小使者”奖章的有4人，八年级有3人， ∴估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为 （人）。 故答案为：78. 【点睛】将统计图转化为统计表，计算中位数，判断频数分布直方图是哪个年级的. 24. 如图，，分别切于点和．连接，交于点．点为中点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在优弧上任意取一点，连接，根据切线长定理以及半径相等，可得，进而可得垂直平分，结合圆周角定理可得，根据圆内接四边形可得，即可得证； （2）过点作于点，证明，解直角三角形求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，在优弧上任意取一点，连接， ∵，分别切于点和， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ，点为中点， ∴ ， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ 25. 咖啡的冲泡温度对咖啡的口感和风味有显著影响，不同的咖啡豆和冲泡方法需要不同的水温，咖啡的最佳饮用温度为．咖啡文化社团探究刚泡好的咖啡达到最佳饮用口感的时间．实验条件如下：实验在同一社团活动室进行，室温为．某种意式浓缩咖啡用的水冲泡，某种美式咖啡用的水冲泡．记放置时间为（单位：），意式浓缩咖啡的温度为（单位：），美式咖啡的温度为（单位：）． 记录的部分数据如下： 对以上数据进行分析，完成以下内容． （1）用函数图象更直观的呈现与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）探究活动中，美式咖啡放置时间约为______时，开始达到饮用最佳口感（结果保留小数点后一位） （3）如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前_____冲泡意式浓缩咖啡．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】根据表格数据画出与的函数图象，利用表格数据解答即可． 【小问1详解】 解：与的函数图象如下： 【小问2详解】 解：由表格可知，当美式咖啡放置时间约为时，美式咖啡的温度为，开始达到饮用最佳口感； 【小问3详解】 解：由表格可知， 当美式咖啡放置时间约为时，意式浓缩咖啡放置时间约为或时，处于最佳饮用温度， 那么如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前冲泡意式浓缩咖啡． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式计算即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，结合折叠的性质得出翻折后的抛物线的解析式，从而得出图形，表示出，再结合二次函数的性质计算即可 【小问1详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵过点作轴的垂线， ∴垂线的方程为， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴图形为， ∵点和点是图形上的点，且， ∴，， ∴， ∵过点作轴的垂线交轴于点， ∴， ∵随着的增大而增大， ∴随着的增大而增大， ∵，且， ∴当时，随着的增大而增大． 【点睛】某点关于水平线对称后的新点为． 27. 如图，中，，，以点C为中心，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点B关于直线的对称点为点E，过点E作的平行线交射线于点F． （1）依题意补全图1，比较与的大小，并说明理由； （2）连接，，用等式表示线段，与的数量关系，并证明． 【答案】（1）作图见详解，，理由见详解 （2），证明见详解 【解析】 【分析】（1）先根据题意补全图形，再利用等腰三角形的性质得出，由已知条件求得，通过三角形外角的性质得到，再利用平行线的性质得到，从而得出结论； （2）作出相应的辅助线，先设角并利用对称的性质得到，求得，从而证得点A，E，D，C四点共圆，由平行线的性质和三角形外角的性质得到，证得点A，E，F，C四点共圆，即可得到点A，E，F，D，C五点共圆，利用同弧所对的圆周角相等，证得，，由全等三角形的性质和线段的和差关系即可证得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，由题意补全图形为所求： ， 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 证明：如图，连接，，， 设， ∵B，E关于对称， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点A，E，D，C四点共圆， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A，E，F，C四点共圆， 即点A，E，F，D，C五点共圆， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和，若存在点使得点绕点逆时针旋转后得到的点在上或内，则称点为点关于的“—旋转点”． 已知点． （1）若的半径为2． ①在点，，，中，点 是点关于的“—旋转点”； ②若直线上存在点关于的“—旋转点”，则的取值范围是 ； （2）已知点，是轴上一动点，点满足，的半径为2．若线段上存在点既是点关于的“—旋转点”，也是点关于的“—旋转点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①和；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用格点作出点分别绕点、、、逆时针旋转得到的点，结合图形进行判断即可； ②设点关于的“—旋转点”为点，先分析点的轨迹．以为边向右作等边，连接、、、，作于点，容易证明，则，因此点在以点为圆心，为半径的圆上或圆内，当直线与圆相切时，取得最值，利用直角三角形的性质和平行线的性质进行计算即可； （2）设点绕点逆时针旋转所得的点为点，绕点逆时针旋转所得的点为点，连接、交于点，容易求得，，由题意可知、需满足，解得．分类讨论，当点在左侧或者上，即时，，该不等式与有公共部分，从而解出的取值范围；当点在右侧，作于，容易判断出，同样方法解出的取值范围后，取公共部分即可． 【小问1详解】 解：如图，将点分别绕点、、、逆时针旋转得到点、、、， 由图可知，点在圆内，点在圆上， ∴点和点是点关于的“—旋转点”； ②设点关于的“—旋转点”为点，旋转后得到的点为点， 如图，以为边向右作等边，连接、、、，作于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理可得， ∴点的坐标为， ∵点由点绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上或圆内， ∴若直线上存在点关于的“—旋转点”，则直线与圆有交点， 当直线过点时，如图， 将代入，得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴直线过点， 设直线与轴交于点， 将代入，解得， ∴， 在直角中，， ∴， ①当直线与圆相切，且切点在直线上方时，如图，设切点为点，直线交轴于点，作于点， ∵直线的斜率不变， ∴， ∴， ∵直线与圆相切于点， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∴， ∴点的坐标为，此时； ②当直线与圆相切，且切点在直线下方时，如图，设切点为点，直线与轴交于点， 由对称性可得， ∴点的坐标为，此时； 综上所述，的取值范围为． 【小问2详解】 解：如图，设点绕点逆时针旋转所得的点为点，绕点逆时针旋转所得的点为点，连接、交于点， 由旋转的性质可得，，，， ∴是等边三角形， 同理，也是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， 在直角中，， ∴， ∴， 设点为上一点， ∴，的半径为， ∴，即， 由题意可知，点、在上或内， ∴，即， 解得， ∴当线段上存在一点满足时，即满足“—旋转点”和“—旋转点”的要求； ①当点在左侧或者上，即时，如图， 此时， ∵，，， ∴，，， 由勾股定理可得， ∴， ∵存在点满足， ∴区间与有公共部分， ∴， 解得， ∴； ②当点在右侧，即时，如图，作于点，作的垂直平分线交于点，交轴于点， ∵，，， ∴，，，， 由勾股定理可得， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即， 解得， 由勾股定理可得， 当点在点右侧或者与点重合时， ∴，即，这与矛盾，不符题意， ∴点在点左侧，此时最小为，最大为，即， ∵存在点满足， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题在新定义的基础上，考查点与圆的位置关系，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，一次函数的性质，掌握好动点的运动轨迹是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区德胜中学2025-2026学年第二学期学科活动初三年级数学学科 考试时间：120分钟 一、选择题 1. 随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中正确的有（ ） （1）；（2）；（3）；（4） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 在广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9500000000000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 5. 某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　） A. 180（1﹣x）2=461 B. 180（1+x）2=461 C. 368（1﹣x）2=442 D. 368（1+x）2=442 6. 不透明的盒子中有两张卡片，上面分别印有北京2022年冬奥会相关图案（如图所示），除图案外两张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是甲的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，图2，点C是上一点，利用尺规过点C作，下列说法错误的是（ ） A. 图1的原理是同位角相等，两直线平行 B. 以点E为圆心，以为半径作弧，得到弧 C. 图2的原理是两直线平行，内错角相等 D. 以点C为圆心，以为半径作弧，得到弧 8. 如图，点是边长为10的正方形的边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为（ ） A. B. C. 9 D. 二、填空题 9. 因式分解：______． 10. 如图所示的网格是正方形网格，则______（点，，，是网格线交点）． 11. 把抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 12. 若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 14. 如图，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为C．若，且的面积为15，则______． 15. 如图，正方形的边长为8，点，分别为，上一点，，与交于点，点为的中点，点为线段靠近的四等分点，则______． 16. 某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与的对应关系如下： 投入n（万元） 渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向______渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为______千人． 三、解答题 17. 计算： 18. 解不等式组：，并写出它的所有非负整数解． 19. 先化简，再选择一个合适的的值代入求值． 20. 已知四边形为平行四边形，将的边延长到E，使得，连接，连接交于点O，且满足． （1）如图1，求证：四边形为矩形； （2）如图2，点F为中点，连接，，若，，求的面积． 21. 自来水公司有种长度为的标准管道，根据施工要求，需按如图所示的两种截法，截得长度分别为和的A型管道和B型管道． 截法一： 截法二： 某小区铺设自来水管道，需要A型160根，B型管道178根．现有标准管道100根．设按截法一的标准管道为x根． （1）根据题意，完成以下表格： 标准管道截法一 标准管道截法二 x（根） _________（根） A型管道（根） x B型管道（根） _________ （2）若把100根标准管道按以上两种截法来分，共有哪几种截取方案？ 22. 在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务．该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长．下面给出了该活动的部分信息． a．七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图： b．学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表： 每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3 志愿服务得分/分 60 70 80 90 c．每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章． 根据以上信息，回答下列问题： （1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为，，则_____，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则_____（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组： ①该频数分布直方图反映的是_____（填“七”或“八”）年级的学生得分情况； ②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第_____组； （3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生．若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为_____． 24. 如图，，分别切于点和．连接，交于点．点为中点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 25. 咖啡的冲泡温度对咖啡的口感和风味有显著影响，不同的咖啡豆和冲泡方法需要不同的水温，咖啡的最佳饮用温度为．咖啡文化社团探究刚泡好的咖啡达到最佳饮用口感的时间．实验条件如下：实验在同一社团活动室进行，室温为．某种意式浓缩咖啡用的水冲泡，某种美式咖啡用的水冲泡．记放置时间为（单位：），意式浓缩咖啡的温度为（单位：），美式咖啡的温度为（单位：）． 记录的部分数据如下： 对以上数据进行分析，完成以下内容． （1）用函数图象更直观的呈现与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； （2）探究活动中，美式咖啡放置时间约为______时，开始达到饮用最佳口感（结果保留小数点后一位） （3）如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前_____冲泡意式浓缩咖啡．（结果保留小数点后一位） 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； （2）过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 27. 如图，中，，，以点C为中心，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，点B关于直线的对称点为点E，过点E作的平行线交射线于点F． （1）依题意补全图1，比较与的大小，并说明理由； （2）连接，，用等式表示线段，与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点和，若存在点使得点绕点逆时针旋转后得到的点在上或内，则称点为点关于的“—旋转点”． 已知点． （1）若的半径为2． ①在点，，，中，点 是点关于的“—旋转点”； ②若直线上存在点关于的“—旋转点”，则的取值范围是 ； （2）已知点，是轴上一动点，点满足，的半径为2．若线段上存在点既是点关于的“—旋转点”，也是点关于的“—旋转点”，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $