7.2.3 平行线的性质（课时分层检测）-2025-2026学年七年级下册数学同步讲练+课时分层检测（人教版）

7.2.3 平行线的性质 A 基础训练 1．如图1，三根木条a、b、c相交成，固定木条b，c，将木条a绕点A转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则木条a与木条c相交成的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 5．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 8．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 9．在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 10．李老师布置了一道数学题：“如图，已知，求证”． 下面是嘉嘉和淇淇的做法： 嘉嘉：证明：过点作，则 ∴ ∴ 淇淇：证明：过点作，则 ∴ ∵ ∴ 关于两位同学的证明，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都错误 D．两人都正确 11．如图，已知直线，，则______． 12．如图，点在上，，平分交于点，若，则的度数为______度． 13．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，由图可知，科技馆位于小明家的南偏西方向，则科技馆位于小亮家的________． 14．如图，，若，，则的度数为____________． 15．如图， ，，则_______． 16．我们常用的折叠式小刀抽象成如图所示几何图形，刀柄外形左侧是一个长方形的一角，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与．若，则_______． 17．完成下面的证明过程并在括号内填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为，，． 求证：． 证明：，（已知）， （_______________）． （_______________）． _____（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， _____（_______________）． （_______________）． （_______________）． 18．如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 19．已知：如图，．请说明的理由． 20．已知：，．直线与平行吗？为什么？ B 巩固提升 21．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 22．如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 24．如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是_______． 25．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，下面是某学习小组出给的四个结论：①与是内错角；②；③若，则；④．其中正确的结论是______．（填序号即可） 26．如图，，思考解决下列问题：试探究______． 27．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 29．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 30．（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． C 拓展探究 31．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 32．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则_______° 33．问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 34．如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2.3 平行线的性质 A 基础训练 1．如图1，三根木条a、b、c相交成，固定木条b，c，将木条a绕点A转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则木条a与木条c相交成的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可． 【详解】解：， 旋转后的． 2．如图，已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据可得，无法判断，，． 【详解】解：∵， ∴，故选项B正确， 无法判断，，．故选项A，C，D不正确， 故选：B． 3．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与角平分线的定义是解题的关键． 由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，代入求出即可． 【详解】解：∵两力所在直线互相平行， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 5．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 6．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是利用平行线的性质找到角之间的等量关系，再结合三角形外角定理进行计算． 先根据平行线的性质得到内错角相等，再利用三角形外角等于不相邻两内角之和，计算出的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 7．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 9．在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 10．李老师布置了一道数学题：“如图，已知，求证”． 下面是嘉嘉和淇淇的做法： 嘉嘉：证明：过点作，则 ∴ ∴ 淇淇：证明：过点作，则 ∴ ∵ ∴ 关于两位同学的证明，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都错误 D．两人都正确 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质判断即可． 【详解】解：关于两位同学的证明，他们都是正确的． 故选：D 11．如图，已知直线，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．首先根据两直线平行，同位角相等，可得的度数，从而求得的度数． 【详解】解：如图所示， ，， ， ． 故答案为：． 12．如图，点在上，，平分交于点，若，则的度数为______度． 【答案】 【分析】先利用平行线的内错角相等求出的度数，再通过角平分线的定义得到的度数，最后根据平行线的同位角相等求出的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， 又， ． 13．小明与小亮要到科技馆参观．小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，由图可知，科技馆位于小明家的南偏西方向，则科技馆位于小亮家的________． 【答案】南偏东的方向 【分析】本题考查方位角的概念及平行线的性质，关键是利用南北方向直线互相平行的性质，结合已知角度推导目标方位角． 【详解】解：如图，射线为正北方向， 根据题意，，， ∵， ∴， ∴科技馆位于小亮家的南偏东方向． 故答案为：南偏东方向． 14．如图，，若，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及平行线性质、平角定义等知识，先由两直线平行同旁内角互补求得，再由平角为列式求解即可得到答案．熟记平行线的性质求角度是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 15．如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 16．我们常用的折叠式小刀抽象成如图所示几何图形，刀柄外形左侧是一个长方形的一角，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成与．若，则_______． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 由题意可知，，，过点作，根据“两直线平行，内错角相等”可得，进而可得，再证明，然后由“两直线平行，内错角相等”即可获得答案． 【详解】解：如下图，由题意可知，，， 过点作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．完成下面的证明过程并在括号内填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为，，． 求证：． 证明：，（已知）， （_______________）． （_______________）． _____（两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， _____（_______________）． （_______________）． （_______________）． 【答案】垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；；补角的性质；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定与性质，垂线的定义即可得出答案． 【详解】证明：，（已知）， （垂线的定义）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （补角的性质）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 18．如图，，被直线所截，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】（1）方法不唯一，证明即可判定． （2）先证明，根据平角定义计算的度数． 【详解】（1）解：与平行．理由如下： ，， ， ． （2）解：， ； 平分， ， ， ． 19．已知：如图，．请说明的理由． 【答案】见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 先有证，再得即可． 【详解】证明：∵， ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 20．已知：，．直线与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质得到，再证明，即可证明． 【详解】解；，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． B 巩固提升 21．如图，，点E是上一点，平分，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，设，先根据角平分线求得，，进而求得，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B 22．如图，已知，于点A，，则下列结论：；；；；．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补，结合已知条件证明正确；内错角相等，两直线平行，证明正确；由两直线平行，同位角相等，证明正确；不能证明，可得答案． 【详解】解： ， ． ， ，故正确； ， ，故正确； ， ． ， ，故正确； 不能证明， 故答案为：B 23．如图，若，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线平行的性质，过点作，利用直线平行的性质即可得到答案． 【详解】过点作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：C． 24．如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是_______． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，正确利用平行线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质、三角形外角性质、三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵平分平分， ，， 又∵， ，, ∴，故①正确； ， ∴，故②错误； 由现有条件无法证明，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，即④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为①④． 25．将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，下面是某学习小组出给的四个结论：①与是内错角；②；③若，则；④．其中正确的结论是______．（填序号即可） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 根据内错角的定义，平行线的性质与判定逐项求解判断即可． 【详解】解：由图形可知，与不是内错角，故①错误； 由图可知， ，故②正确； 如图，过点G作， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ，故④正确． 故答案为：②③④． 26．如图，，思考解决下列问题：试探究______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质以及学生归纳总结找规律的能力，分别过、…作直线平行于，利用平行线的性质即可求出各组的值；再根据规律，归纳总结得到． 【详解】解：当有个角时，根据两直线平行同旁内角互补， 得出， 当有个角时，过点作直线平行于，同理可得， 当有个角时，分别过点、作直线平行于，同理可得， 根据规律，可得当有个角时， ， 故答案为：． 27．如图，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到，即可证明； （2）由平行线的性质得到，求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 28．如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质等知识， （1）根据题意易得，根据“同位角相等，两直线平行”可得，进而可得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 29．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 30．（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 C 拓展探究 31．如图，已知，A、D为上的两点，M、B为上的两点，延长至点C，平分，点N在直线上，且平分，若．则下列结论： ①；   ②；  ③； ④设，则； ⑤ 其中，正确的有（    ） A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④⑤ 【答案】C 【分析】平分，得到，平行线的性质得到，进而得到，平分，结合平行线的性质，得到，三角形内角和求出，平行线的性质，得到的度数，角平分线求出的度数，设，根据角的和差关系求出． 【详解】解：∵平分， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴；故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴；故④错误； 设，则：， 由④可知：， ∴， ∴， ∴， ∴；故⑤正确． 综上，正确的有①②③⑤． 32．如图，在三角形中，，垂足为点D，直线过点C，且，点G为线段上一点，连接，与的角平分线、分别交于点M、N，若，则_______° 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定以及角平分线的定义的综合运用，解题时注意平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．依据，，可得，进而判定，即可得到，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵与的角平分线、分别交于点M、N， ∴，， ∴， 故答案为：． 33．问题情境：如图1，，求的度数，并指出与之间的数量关系． 小明的思路是：过点作，利用平行线的性质可求出的度数，得出与之间的数量关系． (1)问题初探：根据小明的思路，图1中的度数为___________度，与之间的数量关系为___________；（直接写出答案） (2)问题拓展：如图2，，若，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由； (3)问题延伸：如图3，，和的平分线相交于点，分别作和的平分线相交于点，再分别作和的平分线相交于点．设，则与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1)100， (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （2）过点作，证明，利用平行线的性质求解即可； （3）由（1）知，得到，由角平分线的定义求得，，由（2）知，同理，根据规律得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：由（1）知， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴，， 由（2）知， 同理， ， ， ，即， ∴． 34．如图，．现将一块含的三角板按如图放置，，，点E、F分别在直线、上．设，的角平分线所在的直线交直线于点H． (1)如图1，若，则的度数为________； (2)如图2，当时，请问与的位置关系是什么？说明必要的理由； (3)在（2）的条件下，若点P是射线上的一点，将三角板绕着点E以每秒的速度进行顺时针旋转，同时射线绕着点P以每秒的速度进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．请直接写出当射线与三角板的一边平行时的度数．（本题涉及的角均大于且小于） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或或 【分析】（1）根据平行线的性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求解即可； （2）根据平行线性质求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，则可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可判断； （3）动点问题，先把图形画出来，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 是的角平分线， ； （2）解： 理由： ，， ， ， ， 是的角平分线， ， ； （3）解：，， ， 设转动时间为， 当时，延长至点Q，如图， ， ， ， ， 由题意知，， 由①得， ， 解得：， ， 是的角平分线， ， ； 当时，如图 ， 由题意知得， ∴， 解得， ， 是的角平分线， ， ； 如图，当时，延长交于点T，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 是的角平分线， ， ； 如图，当（第二次）时， 则， ∴， 解得：， ， 是的角平分线， ， ， ， 综上，当与的一边平行时，的度数为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $