精品解析：吉林省白城市第一中学G35+联合体2026届高三下学期第一次模拟考试数学试题

高三年级第一次模拟考试试题 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. C. D. 4. 函数的图象的一个对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（ ） A. B. 直线PA与AQ的斜率之和为4 C. 与面积之比为 D. 过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中常数项为_____. 13. 在中，，，其面积为，则______. 14. 若函数的最大值为则的最小值为___________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，、分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，，分别是圆上在同侧的两点，且是线段上一点（不含端点）. （1）求证：平面； （2）已知圆柱的高为6，表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级第一次模拟考试试题 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【详解】已知全集，，则. 故选：B 2. 设，则在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】，则， 则其在复平面所对应的点坐标为， 则对应的点位于第一象限. 3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以该双曲线的焦点在轴上，由渐近线方程为得，解得 4. 函数的图象的一个对称中心可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出的对称中心，再逐一验证即可. 【详解】令，则， 则的对称中心为， 当时，对称中心为，故A符合题意， 不存在，使得取到，故BCD不符合题意. 故选：A 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，即可根据充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 由可得，故或，解得或， 因此由推不出，由也推不出， 故“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D 6. 已知平面向量，，若，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则，则，解得， 则，， 则与的夹角的余弦值为. 7. 定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知4是的一个周期，赋值求相应的函数值，可得，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，则， 可得，可知4是的一个周期， 又因为当时，，则，， 对，令，可得， 令，可得； 令，可得； 则，，， 可得，所以. 故选：D. 8. 在一个水平平面上放一个半径为2的球，球面上两点满足，是球心，且点到平面的距离为3，则点到平面距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一，过作与平面平行的截面，转化为点到截面距离的最大值，根据球的截面性质求解即可；法二，建立空间直角坐标系，写出球的方程，设出点的坐标，利用向量法求点竖坐标的取值范围即可得解. 【详解】法一：过作与平面平行的截面，截面直径为，如图， ，取中点，过作平行线交球与， 则点在以为直径的小圆上，当在点时，过作与垂直的直径交球于， 则点在以为直径的大圆运动，当位于点时，到平面距离最大， 设，则，， 所以到距离最大值为， 故选：D 法二：过点作平面的垂线为轴，在平面内作两条互相垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则球的方程为， 因为点到的距离为3，所以设的坐标为，所以， 设的坐标为，则，， 因为，所以，所以， 又由平面向量知识可得， 所以，又因为， 所以，所以， 两边平方得，解得， 所以点到平面距离的最大值为， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式可求出的值，可判断A选项；利用两角差的正弦公式可判断B选项；利用切化弦可判断C选项；利用二倍角的正弦公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 10. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由排序确定中位数不变，通过分析极差可以为4，最后运用方差的公式寻求前后数据的方差关系进而得到结论. 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确. 对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确. 对于D，由上述计算，故D正确. 11. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线与抛物线C交于P，Q两点，异于P，Q两点的点在抛物线C上，则（ ） A. B. 直线PA与AQ的斜率之和为4 C. 与面积之比为 D. 过点P，Q作抛物线C的切线分别交直线AB于M，N两点，则点M，N的横坐标之积为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】常规方法设点与设直线，联立利用韦达定理得到相关定值，计算即可. 【详解】对于A，因为点在抛物线上，代入抛物线方程得. 对于B，设直线，，则直线PA与AQ的斜率之和为 联立得到，所以代入上式得到直线PA与AQ的斜率之和为2，故B错误. 对于C，首先证明，等价于证明直线与的斜率之和为0，即 所以，所以，故C正确 对于D，直线，设过点P作抛物线C的切线为，与抛物线联立，得到，因为相切，所以，即，所以，所以过点P作抛物线C的切线为，联立直线，得到，同理，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中常数项为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，再令通项中次数为0，求出对应的值，进而得到常数项. 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，得，所以常数项为. 因此二项式的展开式中常数项为. 故答案为： 13. 在中，，，其面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得，利用平方公式求解的值，从而得，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，则， 又，则，即， 因为，所以，所以， 由余弦定理得到， 所以. 故答案为：. 14. 若函数的最大值为则的最小值为___________________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数的符号确定函数单调性，得到最大值，再设，继续求导，分析函数单调性得到最值即可． 【详解】函数的定义域为，， 设，则， 所以在上单调递减， 因为，， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为， 由，得， 所以， 设，则， 令，得（舍）或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有最小值， 即的最小值为3． 故答案为：3． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，根据等比数列通项公式和求和公式求解即可； （2）利用裂项相消即可求解. 【小问1详解】 设的公比为，由，得， 由，得，解得 所以． 【小问2详解】 由，得 所以． 16. 为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取2000名得到如下列联表： 效果明显 效果不明显 合计 甲方案 1000 200 1200 乙方案 600 200 800 合计 1600 400 2000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联； （2）在800名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8名患者中随机抽取4人，设表示4名患者中效果不明显的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）治疗效果与选择甲、乙方案有关联． （2） 的分布列为 0 1 2 1 【解析】 【分析】（1）根据题意，由列联表代入的计算公式计算，再根据独立性检验内容即可得到结果； （2）根据题意，由分层抽样的公式可得效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名，再由超几何分布的概率公式代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：治疗效果与选择甲、乙方案无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，故治疗效果与选择甲、乙方案有关联． 【小问2详解】 根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取名，从效果不明显的患者中抽取名， 的取值分别为0，1，2， 则， 所以的分布列为 0 1 2 ． 17. 如图，、分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且，，分别是圆上在同侧的两点，且是线段上一点（不含端点）. （1）求证：平面； （2）已知圆柱的高为6，表面积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证法一：因为分别是圆上在同侧的两点， 且, 所以是等边三角形，，所以， 又平面平面，所以平面， 因为分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且， 所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面平面平面， 所以平面平面，又平面，所以平面， 证法二：如图，在线段上取一点，使得， 因为分别是圆上在同侧的两点，且， 所以是等边三角形，，所以， 又，所以四边形是平行四边形，， 因为分别是圆柱的上底面，下底面的直径，且， 所以， 所以，四边形是平行四边形，所以. 又平面平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：通过证明平面平面，进而根据面面平行的性质得到平面；证法二：在线段上取一点，使得，先证四边形是平行四边形，得到，由平行传递性得到，即四边形是平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明； （2）先由表面积可计算出圆柱底面半径，而后建系求解平面与平面的法向量，再根据面面夹角与法向量夹角的关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在圆中过点作，又平面平面， 所以，以为原点所在直线分别为轴， 轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设圆柱的底面半径为， 因为圆柱的高为，表面积为， 所以，即， 解得（舍）或， 因为， 所以， ， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 即为平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得， 即为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，． （1）求E的方程； （2）过点A作的垂线，垂足为M． （ⅰ）证明：直线过定点N； （ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明如下： 不妨设，， 设，联立， 有，可得，， 即， 易知，直线MB的斜率为， 故直线MB的方程可表示为， 当时，显然， 故 ， 所以直线过定点． 而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点． 综上，直线MB过定点． （ⅱ）证明如下： 由（ⅰ）可得，所以， 则， 所以有，即是定值． 【解析】 【分析】（1）利用椭圆参数的几何意义即可求解椭圆方程； （2）（ⅰ）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，利用假设的坐标来表示直线方程，根据椭圆的对称性可知定点在轴上，所以令，借助韦达定理去求为定值即可；（ⅱ）利用坐标法去计算斜率，通过韦达定理的应用即可证明定值. 【小问1详解】 记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而， 故，于是E的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 已知函数，． （1）若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点； （2）若时，，求a的取值范围； （3）对的定义域内的任意，，证明：． 【答案】（1），是的极大值点． （2） （3）证明：因为， 所以要证成立， 只要证成立， 因为，所以只要证成立， 因为，， 所以只要证成立. 记， 则，对成立， 所以在上单调递减， 当时，，所以， 取，由知，从而， 所以成立，故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据极值点的性质得，求出，判断函数的单调性结合极值的定义判断； （2）求导，讨论函数的单调性，最值，求解的范围； （3）利用分析法将要证不等式转化为，令，记，利用导数判断单调性证明. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 因为，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. 【小问2详解】 ， 当时，，， 时，；时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以时，，不合题意. 当时，由得， 当，即时，对成立， 所以在上单调递减，所以时，合题意； 当，即时，对成立， 所以在上单调递增， 所以当时，，不合题意. 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $