精品解析：北京市十一学校2026年九年级春季数学开学收心自测

北京市十一学校2026届初三年级下数学活动 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 北京大兴国际机场于2019年6月30日完美竣工，下图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场成体俯视图的示意图．下列说法正确的是（ ） A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 2. “天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒33900000000000000次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 3. 实数、在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的解的情况是（ ） A. 方程有且只有一个实根 B. 方程有两个相等实根 C. 方程有两个不等实根 D. 方程无实根 5. 某校安排甲、乙、丙三位教师端午节三天假期在校值班，每人一天，则甲、乙两位教师值班日期不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 7. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 8. 如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 10. 分解因式：=_________________________． 11. 分式方程的解为__________． 12. 如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 13. 若正比例函数与反比例函数的图象一个交点为，则另一个交点坐标为_________． 14. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为_____． 15. 如图，正方形的边长为，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为_____． 16. 汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一、如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上． 每次只能移动一个金属片；在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则①___________，②___________． 三、解答题（第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分，共68分） 17. 计算：． 18. 解不等式组 ． 19. 先化简,再求值:,其中,. 20. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 21. 厦门属于亚热带季风气候，盛产龙眼．新鲜的龙眼保质期短，若加工成龙眼干（又叫桂圆干），有利于较长时间的保存．现有的新鲜龙眼，已知的新鲜龙眼可以加工成的龙眼干，新鲜龙眼和龙眼干的成本和售价均不相同，它们的成本和售价（元/）如下表所示： 成本（元/） 售价（元/） 新鲜龙眼 5.5 12 龙眼干 32 50 （1）若将的新鲜龙眼中的一部分加工为龙眼干售卖，新鲜龙眼和龙眼干全部售完果农净赚6400元．请问其中有多少千克新鲜龙眼加工为龙眼干？ （2）为了促销，果农决定对新鲜龙眼每千克让利m元，在实际加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有5%的损耗．无论销售的新鲜龙眼为多少，在龙眼和龙眼干全部售完后，最终销售利润都不变，求m的值． 22. 在平面直角坐标系中，直线经过点，． （1）求b和m的值； （2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与线段为图形G．若双曲线与图形G恰有两个公共点，直接写出k的取值范围． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为、（其中）．若y是关于m的函数，且，求这个函数的解析式； （3）作出（2）中函数的图象，结合图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，？ 24. 如图，在中，，点为边的中点，以为直径作⊙，分别与交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 25. 如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：/、滑行距离单位：的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/cm 0 19 36 m 64 75 … （1）表格中__________． （2）结合表格数据，补充下列内容： ①画出关于的函数图像； ②已知是的二次函数，则黑球最大的滑行距离为_______． （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以/的速度匀速向右直线运动，利用（）中图像分析，黑球能否与小车相撞？若相撞，在（）中坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”． 已知点，点． （1）中，是线段的“二倍点”的是__________； （2）直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； （3）的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2026届初三年级下数学活动 试卷满分：100分 时间：120分钟 一、选择题：（每小题2分，共16分） 1. 北京大兴国际机场于2019年6月30日完美竣工，下图是世界著名建筑设计大师扎哈设计的机场成体俯视图的示意图．下列说法正确的是（ ） A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形 B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形 C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图形可得：这个图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选项B、C、D说法错误，不符合题意，选项A说法正确，符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解定义，找准对称轴和对称中心是解答的关键． 2. “天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒33900000000000000次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】B 【解析】 【分析】将时间单位分钟换算为秒，计算总计算次数后，把结果改写为标准科学记数法即可． 【详解】解：∵ 5分钟秒，， ∴连续运行5分钟，总计算次数为． 3. 实数、在数轴上的位置如下图所示，则下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由点n，m在数轴上的位置确定n，m的取值范围，取符合条件的特殊值进行计算再比较即可． 【详解】解：根据数轴可以知道，令，可知， A. ，即，故此选项错误； B.，即，故此选项错误； C.，即，故此选项错误； D. ，两边同时乘以得，即，故此选项正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系及大小比较问题， 熟练掌握实数大小比较方法是解题的关键． 4. 一元二次方程的解的情况是（ ） A. 方程有且只有一个实根 B. 方程有两个相等实根 C. 方程有两个不等实根 D. 方程无实根 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的值，再比较出其与的大小即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴一元二次方程有两个相等实根，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查根的判别式．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．理解和掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5. 某校安排甲、乙、丙三位教师端午节三天假期在校值班，每人一天，则甲、乙两位教师值班日期不相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法能求出3个人值班的顺序所有可能的情况的种数． 【详解】甲、乙、丙三位教师端午节三天假期在校值班的顺序所有可能的情况有： 甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲共6种情况 所有甲、乙两位教师值班日期不相邻的情况有2种 甲、乙两位教师值班日期不相邻的概率是 故选A． 【点睛】本题考查了概率的求法，是基础题，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据万亿用科学记数法表示为． 故选：B． 7. 用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　） A. SAS B. SSS C. ASA D. HL 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决． 根据直角三角形全等的判定定理，可证． 【详解】在和中， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】①由绕顶点A逆时针旋转至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可证明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，进一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，结论得证；③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，证明△BHC、△DMH和△BHM是等边三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，点H为CD的中点，再证明△CKH∽△AKB，进一步得到AD＝3HK；④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，分别用AD表示出△ACF和的面积，即可得到结论． 【详解】解：①∵将绕顶点A逆时针旋转至， ∴△AEF≌△ABC， ∴∠EAF＝∠BAC， ∵∠BAD＝60°， ∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°， 故①正确； ②∵ABCD， ∴∠EDH＝∠DAB＝60°， ∵ADBC， ∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°， ∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°， ∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°， ∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°， ∴△DEH是等边三角形， 故②正确； ③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，如图1， ∵△EDH是等边三角形， ∴∠BHC＝∠EHD＝60°， ∵ADBCHM， ∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°， ∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°， ∴△BHC是等边三角形， ∵HMADBC， ∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°， ∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°， ∴△DMH和△BHM都是等边三角形， ∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD， ∴点H为CD的中点， ∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK， ∴△CKH∽△AKB， ∴， ∴， ∴AD＝3HK， ∴2AD＝3HK错误， 故③错误； ④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，如图2，则∠BNC＝90°， ∵ABCD， ∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠BCN＝30°， ∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD， ∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD， ∴AC＝＝AD， 由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF， ∴△ACF是等边三角形， ∴等边三角形△ACF的高为AC＝AD， ∴ , ∵的边AB上的高＝CN＝AD， ∴， ∴， 故④正确， 综上，①②④正确， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、图形的旋转、平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】x≥-1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】由题意可知x+1≥0， ∴x≥-1． 故答案为：x≥-1． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键． 10. 分解因式：=_________________________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：原式==，故答案为． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 11. 分式方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用通分，移项、去分母、求出后，再检验即可． 【详解】解： 通分得：， 移项得：， ， 解得：， 经检验，时，， 是分式方程的解， 故答案是：． 【点睛】本题考查了对分式分式方程的求解，解题的关键是：熟悉通分，移项、去分母等运算步骤，易错点，容易忽略对根进行检验． 12. 如果点、点都在函数的图像上，且，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象和性质，根据题意可得在每个象限内随增大而增大，据此可得，则． 【详解】解：∵点、点都在函数的图象上，且， ∴在每个象限内随增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若正比例函数与反比例函数的图象一个交点为，则另一个交点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数与反比例函数图象均关于原点对称，交点也关于原点对称即可． 【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， 两函数的交点关于原点对称， 一个交点的坐标是， 另一个交点的坐标是． 14. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为_____． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，再根据圆周角定理∠ADB=50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：在优弧AB上取一点D，连接AD、DB ∵OA=OB，∠ABO=40°， ∴∠OAB=40° ∴∠AOB=100°， ∴∠ADB=50° ∴∠ACB=180°﹣50°=130°， 故答案为130°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形，熟练掌握等弧所对的圆周角等于其所对圆心角的二分之一是解答本题的关键. 15. 如图，正方形的边长为，为对角线的中点，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点，连接，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，设和交于点，证明，对应边成比例可得 ，，然后证明可得，再根据等面积法求出各边的长，过点作于点，由，对应边成比例，和勾股定理即可求出的长，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】如图，设和交于点， ∵正方形的边长为， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一、如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上． 每次只能移动一个金属片；在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则①___________，②___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据移动方法与规律发现，随着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号，然后把最大的金属片移动到3号，再用同样的次数从2号移动到3号，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可． 【详解】解：设是把个盘子从1号移到3号过程中移动盘子之最少次数， 当时，； 当时，小金属片→2号，大金属片→3号，小金属片从2号→3号，完成，即； 当时，小金属片→3号，中金属片→2号，小金属片从3号→2号，（用种方法把中、小两金属片移到2号，大金属片3号；再用种方法把中、小两金属片从2号→3号），完成，即； 同理：； … 以此类推：． 【点睛】本题考查、图形变化的规律问题，根据题目信息，有特殊到一般归纳推理，得出移动次数分成两段计数是解题的关键． 三、解答题（第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，再根据实数的混合计算法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，化简二次根式，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 18. 解不等式组 ． 【答案】-2<x≤1 【解析】 【分析】根据不等式的性质，分别解出两个不等式，再判断其公共解集，即为所求. 【详解】解不等式组 ． 解不等式①得， 解不等式②得x， ∴原不等式组的解集为-2<x≤1 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解题的关键. 19. 先化简,再求值:,其中,. 【答案】原式=;1 【解析】 【详解】试题分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可． 试题解析：原式= = =， 当，时， 原式=． 考点：分式的化简求值． 20. 如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG = 2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？ 【答案】（1）y=+4x+16；（2）2米 【解析】 【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵BE边长为x米， ∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x 苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x) 则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=+4x+16 （2）依题意，令y=16 即+4x+16=16 解得：x1=0(舍）x2=2 答：此时BE的长为2米． 【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键． 21. 厦门属于亚热带季风气候，盛产龙眼．新鲜的龙眼保质期短，若加工成龙眼干（又叫桂圆干），有利于较长时间的保存．现有的新鲜龙眼，已知的新鲜龙眼可以加工成的龙眼干，新鲜龙眼和龙眼干的成本和售价均不相同，它们的成本和售价（元/）如下表所示： 成本（元/） 售价（元/） 新鲜龙眼 5.5 12 龙眼干 32 50 （1）若将的新鲜龙眼中的一部分加工为龙眼干售卖，新鲜龙眼和龙眼干全部售完果农净赚6400元．请问其中有多少千克新鲜龙眼加工为龙眼干？ （2）为了促销，果农决定对新鲜龙眼每千克让利m元，在实际加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有5%的损耗．无论销售的新鲜龙眼为多少，在龙眼和龙眼干全部售完后，最终销售利润都不变，求m的值． 【答案】（1）其中有千克新鲜龙眼加工为龙眼干． （2）m的值是． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题和列代数式，读懂题意，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）根据实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设该食品公司需将千克的新鲜龙眼加工成龙眼干，则千克的新鲜龙眼直接销售，由销售金额列出方程求解即可得到答案； （2）设卖新鲜龙眼y千克，根据题意列出表示利润的式子，令与y相乘的式子等于零即可求出m． 【小问1详解】 解：设其中有千克新鲜龙眼加工为龙眼干，依题意得： 去括号得 化简得 解得 答：其中有千克新鲜龙眼加工为龙眼干． 【小问2详解】 解∶ 设卖新鲜龙眼y千克，根据题意 无论销售的新鲜龙眼为多少，在龙眼和龙眼干全部售完后，最终销售利润都不变， 解得 答：m的值是． 22. 在平面直角坐标系中，直线经过点，． （1）求b和m的值； （2）将点B向右平移到y轴上，得到点C，设点B关于原点的对称点为D，记线段与线段为图形G．若双曲线与图形G恰有两个公共点，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）把B的坐标代入直线即可求得b，然后代入，即可求得m，得出； （2）根据平移的性质、轴对称以及中心对称的性质即可求得C、D的坐标；要使双曲线与图形G恰有两个公共点，需双曲线同时与线段和线段相交，分别求解两种情况的的范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线经过点， ∴， ， 直线的解析式为， 又直线经过点， ； 【小问2详解】 解：由（1）得：点， ，将点B向右平移到y轴上，得到点C， ，点B关于原点的对称点为； 当反比例函数的图象与相交时， 需满足，且对于反比例函数，时，，且时，， 即 ， 即； 当反比例函数的图象与相交时， 需满足，且对于反比例函数，时，， 即 ， 即； ∵双曲线要恰有两个公共点， ∴双曲线需同时与两条线段各有一个交点， ∴． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为、（其中）．若y是关于m的函数，且，求这个函数的解析式； （3）作出（2）中函数的图象，结合图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，？ 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）利用因式分解法求出，，再根据进行求解即可； （3）根据（2）所求，先画出对应的函数图象，再求出函数与的交点坐标，再结合函数图象求解即可． 【小问1详解】 证明： ∵， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 【小问3详解】 解：函数的图象如右下图所示： 建立方程组． 解得或 ． ∵， ∴，即P点坐标是． ∴结合图象，当自变量时，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，反比例函数与一次函数综合，灵活运用所学知识是解题的关键． 24. 如图，在中，，点为边的中点，以为直径作⊙，分别与交于点，过点作于． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为5，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可； （2）连接，根据是直径，可得，从而得到，进而得到，由勾股定理可得，再由，可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， 是中点，， ， ， ∴， 又， ， 即是的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是直径， ， ， 的半径为5， ， ， 由勾股定理得，， ， ， 又， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一半，勾股定理，正弦的定义，综合运用以上知识是解本题的关键． 25. 如图所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间单位：、运动速度单位：/、滑行距离单位：的数据． 记录的数据如下： 运动时间x/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v（cm/s） 10 9 8 7 6 5 … 滑行距离y/cm 0 19 36 m 64 75 … （1）表格中__________． （2）结合表格数据，补充下列内容： ①画出关于的函数图像； ②已知是的二次函数，则黑球最大的滑行距离为_______． （3）若黑球到达木板点处的同时，在点的前方处有一辆电动小车，以/的速度匀速向右直线运动，利用（）中图像分析，黑球能否与小车相撞？若相撞，在（）中坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离． 【答案】（1）； （2）； （3）黑球能会与小车相撞，在坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离见解析． 【解析】 【分析】（1）根据表格总结规律即可得解； ①利用描点法解答即可；②利用待定系数法求得与之间的函数以及与之间的函数关系，令，求得小球停下来的时间，再将代入与的函数关系式解答即可； （3）假定经过秒黑球会与小车相撞，列方程，求解即可得解． 【小问1详解】 解：由表格可得，滑行距离某一时刻的速度秒前的速度秒前的滑行距离， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①描点，作图如下， ②由表格可知：与的函数关系为一次函数关系， 设，代入，得： ， 解得：， 与的函数关系为， 当时，解得， ∴， 设代入，得： ， 所得：， 与的函数关系式为， 因为 当时代入得： ． 黑球最大的滑行距离为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由题意可得小车的行驶距离与时间之间的关系为，在同一坐标系中作图如下： 由图可知，黑球会与小车相撞， 假定经过秒黑球会与小车相撞， ， ，或（舍去） ∴， 在坐标系纵轴上标出相撞点与点的距离如下图， 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． （1）当时，求的值； （2）点是该抛物线上两个点，当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）的取值范围是或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）当时，抛物线，然后根据二次函数的性质即可解答； （2）由二次函数的性质可得抛物线的对称轴为，且．然后分和两种情况，分别根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线． 所以该抛物线的对称轴为，即． 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为，且． 当时，对于的每一个值，总存在，使得，，且成立； ①若，此时， 则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． （ⅰ）当时，，成立． （ⅱ）当时， 点关于对称轴的对称点为． ． ． 当时，成立． （ⅲ）当时，不合题意，舍去． ②若，此时，则当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 满足题意． 综上所述，的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，点在边上（不与点重合），作点关于直线的对称点，连接，交边于点，连接，取线段的中点，在边上取点，使得，连接． （1）求证：； （2）直接写出的大小，并证明． 【答案】（1） 解：如图，连接， ∵点关于直线的对称点为，连接， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴． （2），证明： 解：如图，取中点，连接、，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∵， ∴点在直线上，即点共线，， ∴， ∵作点关于直线的对称点， ∴， ∵取线段的中点， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，即可得出，根据即可得； （2）取中点，连接、，，根据三角形中位线的性质得出，即可证明垂直平分，可证明点在直线上，根据中位线性质得出，根据平行线的性质结合等腰直角三角形的性质得出是等腰直角三角形，得出，利用证明，可得，利用角的和差关系即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 28. 在平面直角坐标系中，存在一个图形W，P为图形W上任意一点，线段（点P与O不重合）绕点P逆时针旋转得到线段，延长至点Q，使得．若点M在线段上（点M可与线段端点重合），则称点M为图形W的“二倍点”． 已知点，点． （1）中，是线段的“二倍点”的是__________； （2）直线存在线段AB的“二倍点”，求k的取值范围； （3）的半径为1，M是的“二倍点”，直线，与x轴，y轴分别交于C，D两点，点N在线段上（N可与线段端点重合），当点N在线段上运动时，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】（1），； （2）或； （3）线段的最小值为，线段的最大值为． 【解析】 【分析】（1）由、，画出线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，即可得到答案； （2）由线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部，直线过定点，当直线过时，可得，当过时，，观察图形即得或； （3）设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，证明，可得，故的运动轨迹是以为圆心，为半径的，的“二倍点”是及其内部和及其内部，过作于，交于，最小，由是等腰直角三角形，即可得，故线段的最小值为；连接并延长交于，此时若与重合，则最大，求出，即得线段的最大值为． 【小问1详解】 如图： 、， 线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部， 在，，，中，，是线段的“二倍点”， 故答案为：，； 【小问2详解】 如图： 、， 线段的“二倍点”是以、，，为顶点的四边形及内部， 直线过定点， 当直线过时， ， 解得， 当过时， ， ， 观察图形可知，直线存在线段的“二倍点”，则或； 【小问3详解】 设为上一点，连接，将绕逆时针旋转，并延长到，使，取，连接，，，，过作轴于，如图： ，， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的，则的“二倍点”是及其内部和及其内部， 过作于，交于，如图： 此时最小， 由得，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 线段的最小值为； 连接并延长交于，此时若与重合，则最大，如图： 在中， ， ； 线段的最大值为． 综上所述，线段的最小值为，线段的最大值为． 【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及新定义“二倍点”，解题的关键是读懂题意，画出图形，用数形结合的思想解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $