19.3二次根式的加法、减法、混合运算 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 同学们，同类项才能合并，那二次根式的加减有何规则？只有同类二次根式才能相加相减吗？今天我们解锁二次根式的加法与减法，探索 “同类合并” 的运算逻辑！ 19.3.1 二次根式的加法与减法 学习目标 学习重点 1．探索二次根式加减运算的方法和步骤； 2．会进行二次根式的加减运算． 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算． 情境引入 问题1　现有一块长9 dm、宽6 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是12 dm2和27 dm2的正方形木板？ 　　能截出两块正方形木板的条件是什么？能用数学式子表示吗？ 6 dm 9 dm 　　能进一步计算，这 种计算是两个二次根式 的加法运算． 能否进一步计算？这是一种什么运算？ 6 dm 9 dm 新知探究 　　 　　如果看不出能否化简，我们不妨把问题简化，先看算式 能否化简． 　　这里的两个二次根式有什么特征？　　 被开方数相同，即为同类二次根式． 用分配 律合并 整式 加减 问题2　怎样计算？ 　　 　　如果看不出能否化简，我们不妨把问题简化，先看算式 能否化简． 用分配 律合并 整式 加减 问题2　怎样计算？ 　　你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？ 将同类二次根式用分配律合并．　 数学思考 　　算式与算式有什么相同点与不同点？ 请化简算式，并说出每一步化简的理由. 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 解:= 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 现在能解决本课开始时提出的问题了吗？ 问题1　现有一块长9 dm、宽6 dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是12 dm2和27 dm2的正方形木板？ 解：大正方形木板的边长为dm. ∵＜6 ∴这块木板够宽. 两个正方形木板的边长和为 = ＜9 即两个正方形木板边长的和小于木板的长，这块木板够长. 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是12 dm2和27 dm2的正方形木板. 6 dm 9 dm 知识归纳 步骤： 　　一化简、二判断、三合并； 依据： 　　二次根式的性质、分配律和整式加减法则； 基本思想： 　　把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．　　 巩固练习 √ √ × × 练习1　判断下列计算是否正确？为什么？ （1） （2） （4） （3） 例题解析 例1 计算： （1）； （2）； （3）. 例2　计算： （1） ； （2）． 巩固练习 练习2　计算： （1） （3） （2） （4） ． 练习3　如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3. 求圆环的宽度d（π取3.14） 拓展延伸 　化简： ． 解：原式 归纳小结 （1）二次根式的加减运算分哪几步进行？每一个步骤 　　 的依据是什么？ （2）在二次根式的加减中，主要的想法是怎样的？ （3）在二次根式加减中，有哪些地方容易出现错误？ 课外作业 必做题：教科书第16页 习题19.3第1，2题； 选做题：教科书第16页 习题19.3第4题． 大美数学 二次根式的加减，核心是先化简再合并同类项——不同类的根式无法直接相融，正如人生中，不努力沉淀的人只会被轻易“合并”，随波逐流。而那些主动打磨自己、锤炼本领的人，会成为像“公因式”般独特且核心的存在，在成长中彰显不可替代的价值。就像化简后的二次根式更简洁有力，我们穿过学习与生活的“暴风雨”，在一次次挑战中褪去软弱，终将凝聚成更强大的自己。不妨问问自己：你愿意做被轻易合并的“普通项”，还是成为无可替代的“公因式”？愿我们都能在沉淀中成长，在磨砺中蜕变！ $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 二次根式的加减、乘除运算我们已烂熟于心，当它们交织成混合运算时，该如何坚守法则、理清顺序？今天就让我们解锁二次根式混合运算的密码，破解复杂运算的奥秘！ 19.3.2 二次根式的混合运算 学习目标 学习重点 能根据运算律和相关法则进行二次根式的四则运算； 2．会说出二次根式四则运算的依据并用这些依据评估运算的正确性． 综合运用运算法则和运算律进行二次根式的运算． 情境引入 　　计算下列各题，并注明每个步骤的依据： 化成最简 二次根式 合并被开方 数相同的二 次根式 （1） （2） ． 解： 　　计算下列各题，并注明每个步骤的依据： （1） （2） ． 解： 化成最简 二次根式 合并被开方 数相同的二 次根式 　　思考：二次根式加减，分为几个步骤？　 　　二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 　　第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 　　第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．　　 例题解析 　　例1　计算： （1） （2） 　　思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后 的目标是什么？（2）呢？ 　　与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减； 　　对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式； 　　对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式． 　　例1　计算： （1） （2） 解： （1） 　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 　　第二步的依据是：二次根式乘法法则； 　　第三步的依据是：二次根式化简． 　　例1　计算： （1） （2） 解： （2） 　　思考：（2）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：多项式除以单项式法则； 　　第二步的依据是：二次根式除法法则． 　　例2　计算： 解： （1） 　　思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 　　第一步的依据是：多项式乘多项式法则； 　　第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式（依据是：分配律）； 　　第三步的依据是：合并同类项． （1） （2） 　　例2　计算： （1） （2） 解： （2） 　　思考1：（2）中，每一步的依据是什么？ 　 每一步的依据是：平方差公式． 　　思考2：为什么二次根式运算中可以用运算律？ 　　乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式 的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次 根式的运算也是实数的运算． 巩固练习 1. 计算： 2. 计算： 拓展提升 　　例3　已知 　 ，求下面式子的值. 综合应用 解：原式= 3. 计算： = = = 归纳小结 （1）本节课二次根式的加减与上节课二次根式的加减有什么不同？ （2）通过本节的学习，你认为二次根式运算时应关注哪些方面？通常用到哪些知识？ 课外作业 必做题：教科书第16页 习题19.3第3，5题； 选做题：教科书第16页 习题19.3第6，7，8题． 大美数学 Lavf58.12.100 $