19.2二次根式的乘法、除法、最简二次根式课件2025-2026学年人教版 数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“二次根式的乘法”，通过复习二次根式概念引入，以问题引导学生思考二次根式乘法运算，再结合具体计算实例让学生自主发现法则，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以探究式学习为主线，通过观察计算实例培养抽象能力（数学眼光），例题从基础到综合，结合符号语言与文字叙述发展推理意识（数学思维）和模型意识（数学语言）。如例2化简含字母二次根式，例3解决直角三角形面积问题，助力学生提升运算能力与应用意识，教师使用能高效落实教学目标。

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 19.2.2二次根式的除法 学习目标 学习重点 1．探索二次根式除法法则； 2．能根据二次根式除法法则进行二次根式的除法运算． 二次根式除法法则的探究和应用． 情景导入 我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？ 探究1 1.计算下列各式: 观察计算结果,你发现什么规律？(请用式子表示这一规律). （a≥0，b＞0） 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则： 文字叙述：算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 想一想：除式中被开方数b为什么不能等于0? 归纳总结 例题解析 例1 计算 解: 小提醒： 运算结果要最简. 小提醒：除式是分数（或分式的）先要转让化为乘法再进行运算. 探究2 形如 的除法 试回顾如何计算 ? 2.二次根式的乘法扩充法则： 如何计算 呢？ 解: 归纳总结 探究3 3.二次根式的商的算术平方根的性质： 类似的，把二次根式的除法法则反过来，就得到 我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质. 小提醒： 记住成立的条件！ 利用它可以进行二次根式的化简. 二次根式的商的算术平方根的性质 例题解析 例2 化简 解: 还有其他解法吗? 补充解法： 探究4 分母有理化 把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这个过程就叫做分母有理化. 化简: 解: 有理化因式确定方法:形如 的有理化因式是 ,形如 的有理化因式是 . 例3 化简 解: 化简的常用方法有： 积（或商）的算术平方根的性质及分母有理化.后者比较简单常用. 巩固练习 1.计算 的结果是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 A 2.把 分母有理化得( ) A. B. C. D. 3.若使等式 成立，则实数k取值范围是（ ）   D B 4. 在二次根式 中属于最简二次根式的是 . 5. 已知长方形的面积S=2cm2, 若一边长a= cm,则另一边长b= cm. 6.已知x>y>0，化简： 7.化简： 解： 二次根式除法 法则 性质 拓展法则： 相关概念 分母有理化 最简二次根式？ 归纳小结 数学关注万事万物的共同特质数与形，高度的抽象性使数学内涵丰富、寓意深刻、应用广泛，展示着抽象美； 数学把一句话缩为一个符号，其简洁性无与伦比，体现出符号美。 数学思考 课外作业 必做题：练习1 、2题 选做题：练习3题 $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 19.2.3最简二次根式 学习目标 学习重点 　1．理解最简二次根式的概念； 　2．能用最简二次根式的概念进行二次根式的化简． 把二次根式化简到最简二次根式． 探究1 最简二次根式 问题1　观察这些二次根式： （1）你觉得这些结果能否再化简，它们已经是最简二次根式吗？ （2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简？ 可以发现这些式子有如下两个特点：　　 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 　　 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 归纳总结 例题解析 　　例1　辨别下列二次根式是否是最简二次根式． （1） （2） （3） （4） 　 . 　　例2　把下列二次根式化成最简二次根式． （1） （2） （3） （4） 　 　　例3　计算. （1） （2） （3） 　 观察下列各式，把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 同理可得　　　　　　　　 ，…　　 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算下面式子的值． 数学应用 知识巩固 　（1）最简二次根式有何特征？　　　　 　　被开方数不含分母； 　　被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 　（2）如何化去分母中的根号，请举例说明． 　　可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号． 　（3）把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什 　　　 么？　 　　把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质． 归纳小结 课外作业 必做题：习题19.2 1 、2、3、4题 选做题：习题19.2 9 、10题 $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 19.2.1二次根式的乘法 学习目标 学习重点 　1．探索二次根式乘法法则； 2．能根据二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算． 二次根式乘法法则的探究和应用． 复习导入 问题1 当a 是正数或0 时，　是实数吗？取a 值分别为1，2，3，4，5试一试！ 　　 　　 加、减、乘、除四则运算 类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？ 复习导入 　问题2　两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？ 怎样运算？让我们从研究乘法开始． 　　　　 ？ 请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？ 特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！ 探究1 二次根式的乘法法则 　　1.计算下列式子， 　观察计算结果,你发现什么规律？(请用式子表示这一规律). （1） = ， = . （2） = ， = . （3） = ， = . 6 6 20 20 42 42 （a≥0，b≥0 ） 二次根式的除法法则： 符号语言： 文字叙述：二次根式与二次根式相乘，等于各被开方数相乘 的算术平方根． 归纳总结 　　 　 （a≥0，b≥0 ）． 例题解析 例1 计算 解: 小提醒： 运算结果要最简. （1）　　　　； （2）　　　　；　 （3）　　　　 探究2 二次根式乘法法则的逆运用 (a≥0，b≥0) 由 变形可得 例题解析 例2 化简 解: （1）　　　 　； （2） ．　　 （2） ． 　（1） ； 例题解析 例3 计算 （1）　　　 ；（2） ；（3） ．　　 （2） （3） ． 解:（1） 开得尽方的因式可以开方后移到根号外 化简时根号外的因数可先相乘： 巩固练习 3.若直角三角形两条直角边的边长分别为 cm和 cm，那么此直角三角形的面积是 . 4.下列各等式成立的是( ) D 巩固练习 5.化简或计算： (a≥0，b≥0) 二次根式的乘法计算： 拓展： 归纳小结 数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。 ——克莱因 数学思考 课外作业 必做题：练习1 、2题 选做题：练习3题 $