19.1二次根式的概念、性质课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“二次根式”概念及被开方数非负性，课堂导入通过正方形面积问题（面积25边长5，面积7边长多少），从算术平方根自然过渡到新知识，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于结合电视塔传播半径、长方形围栏等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过例题变式训练培养推理意识，“大美数学”环节融入《九章算术》开方术，用数学语言表达历史。小结结构化归纳定义、条件及与算术平方根关系，帮助学生系统掌握，教师可借助丰富实例提升教学效率。

课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 同学们，正方形面积是 25 时边长是 5，那面积是 7 时边长是多少？这就要用到今天的新知识 —— 二次根式。 19.1.1 二次根式 学习目标 学习重点 根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系． 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念. 情境引入 　　电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是．你能化简这个式子吗？ 式子表示什么？ 公式中的表示什么意义？ 知识探究 问题与思考： 　　（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2,则它的宽为_______m． 　　（1）中得到的式子有什么意义？ 　　（2）中得到的式子有什么意义？ 问题与思考： 　　（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为______． 　　（3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得 　　　到的结果分别是什么？ 表示的数怎样变化？　　　 　　t = 问题与思考： 　　（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的 时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满 足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么 _____． 探究新知 新知形成 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 　　这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负 数）的算术平方根． 分别表示65，， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ． 　（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．　 被开方数a≥0； 根指数为2． 二次根式 　　二次根式： 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号． 数学应用 √ √ √ 　　练习1　指出下列哪些是二次根式？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 　　　 ． ≥ ＜ 　　二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的 算术平方根是二次根式． 　　练习2　二次根式和算术平方根有什么关系？ 例题解析 ∴　当x≥-2时， 在实数范围内有意义． 　　解：要使 在实数范围有意义，　 　　 必须　x+2≥0， ∴　x≥-2． 　　例1　当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有 意义？ 　　例2　当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意 义？ 　 呢？ （1） ；（2） ；（3）　 ．　　 解：（1）由a+1≥0，得　a≥-1； （2）由1-2a＞0，得　a＜ ； 　　（3）由 ≥0，得　a为任何实数．　　 　　例3　a 取何值时，下列根式有意义？ （1） ；（2） ．　　 答案：（1） a为任何实数； （2） a =1． 　　变式　a 取何值时，下列根式有意义？ 总结：被开方数不小于零． 巩固练习 　　练习1　判断下列各式哪些是二次根式： 　 （1）　 ； （2）　　　　 ； （3）　 ； （4） ． ＞ ≤ × √ √ √ 　　练习2　当x 是什么实数时，下列各式有意义． （1） 　 ；（2）　　； （3）　 ； （4） ． 　　练习3　若 是整数，则自然数n 的值为 ___________. 0，3，4 归纳小结 （1）本节课你学到了哪一类新的式子？ （2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的 范围是什么？ （3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 一般地，我们把形如 （a≥0）的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号． 双重非负性 ≥ ． 中的a≥0； 　　二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算 术平方根是二次根式． 课外作业 必做题：教科书第5页第1，3，5题 选做题：教科书第5页第6，7，10题 大美数学 《九章算术》中的开方术 我国《九章算术》第四章少广篇12-16题中，应用了开平方计算，并在16题后给出较为完整的开平方法。 开方术曰：置积为实（被开方数）。借一算步之，超一等。议所得，以一乘(乘一次)所借一算为法，而以除(减)。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置结算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通内分子为定实，乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。 可见《九章算术》中所给开平方法与现代中学方法类似。若答案不是整数时，则该过程可用十进制小数无限地计算下去。若开之不尽者为不可开，当以面命之。因而就给出了无理数，并冠名为“面”。无理数的发现在西方引发了第一次数学危机，而在中国轻易就接受了无理数。 $课前准备 草稿纸、笔、课本、作业本、数学工具 美丽的数学心 让我们一起走进奇妙的数学世界 19.1.2二次根式的性质 学习目标 学习重点 1.经历探索性质 = a(a≥0)和 = a(a≥0)的过程，并理解其意义； 2.会运用性质 = a(a≥0)和 = a(a≥0)进行二次根式的化简 3.了解代数式的概念． 理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简． 复习导入 我们知道，二次根式 中a≥0，那么二次根式 还有哪些性质呢？ 探究1 问题1　根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据． 0 3 0.5 _____； _____． 请将上述计算结论推广到一般，并用字母表示： （a≥0）． 你能说说依据吗？ _____； _____； 例题解析 例1 　　　计算下列各式： （1） ； （2） ．　　　 探究2 　　把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示： （a≥0）． 0 2 0.1 　　问题2　填空，你能说说这样做的依据吗？ _____； _____； _____； _____． 思考：若a为负实数，是否任成立？为什么？ 探究2 　　把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示： （a≥0）． 　　问题3　填空 = 3 探究2 归纳总结 如果a是任意有理数，则 (a≥0) (a<0) 性质 和 有什么区别和联系？ （a≥0） （a≥0） 区别： 联系： 例题解析 例2 　　计算下列各式： （1） ；（2） ．　　　 例题解析 例3 　　化简：　 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； 巩固练习 1.对于性质 ，逆向思考可得： （a≥0）， 请根据这一结论完成填空： （1） ； （2） ． （a≥0） 巩固练习 2.计算： （1） ； （2） . 3.化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） . (a≥0) (a<0) 区别： 联系： 归纳小结 课外作业 必做题：习题19.1 复习巩固 2题 选做题：习题19.1 复习巩固 4题 $