方法归纳专题 14 特殊四边形中等面积法的应用（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册第18章“矩形、菱形与正方形”，核心内容为特殊四边形中等面积法的应用。通过矩形例题从P为中点到任意点再到延长线的递进设计，结合跟踪训练中矩形折叠、菱形动点问题，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以几何直观（数学眼光）呈现图形关系，通过逻辑推理（数学思维）证明面积等式，用面积公式模型（数学语言）表达线段关系。如例题连结BP转化面积关系，跟踪训练巩固方法，助力学生发展推理意识，教师可高效开展专题教学。

初中数学 八年级下册·（HDSD版） 第18章　矩形、菱形与正方形 方法归纳专题 14　特殊四边形中等面积法的应用 例　如图，E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝ BC，AB＝3，BC＝4.P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于 点Q，PR⊥BD于点R. 　 （1）如图1，当P为线段EC的中点时，PR＋PQ＝ ⁠. 　 返回目录 上一页 下一页 例　如图，E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4.P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R. 　 （2）如图2，当P为线段EC上的任意一点（不与点E，C重 合）时，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若 成立，请给予证明；若不成立，请说明理由. 解：（2）（1）中的结论PR＋PQ＝ 仍然成立. 证明：如图2，连结BP，过点C 作CK⊥BD于点K. 返回目录 上一页 下一页 ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3. 又∵BC＝4，∴BD＝ ＝5. ∵S△BCD＝ BC·CD＝ BD·CK，∴CK＝ . ∵S△BCE＝ BE·CK，S△BEP＝ PR·BE， S△BCP＝ PQ·BC，且S△BCE＝S△BEP＋S△BCP， ∴ BE·CK＝ PR·BE＋ PQ·BC. 又∵BE＝BC，∴CK＝PR＋PQ. 又∵CK＝ ，∴PR＋PQ＝ . 返回目录 上一页 下一页 例　如图，E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4.P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R. 　 （3）如图3，当P为EC延长线上的任意一点时，其他条件不 变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？ 解：（3）如图3，过点C作CF⊥BD于点F，作CM⊥PR于点 M，连结BP. 易得CF＝ . ∵S△BEC＝S△BPE－S△BCP， ∴ BE·CF＝ BE·PR－ BC·PQ. ∵BE＝BC，∴PR－PQ＝CF＝ . 返回目录 上一页 下一页 跟踪训练 1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6， BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作 EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为 ⁠. 　 1 2 3 返回目录 上一页 下一页 2. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是 △FBD，AB＝2，P是对角线BD上的任意一点，PM⊥AD于 点M，PN⊥BE于点N，则PM＋PN的值为 ⁠. 2　 1 2 3 返回目录 上一页 下一页 3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，P为线段BD上 不与端点重合的一个动点.过点P作直线BC、直线CD的垂 线，垂足分别为E，F. 连结PA，在点P的运动过程中，求PE ＋PA＋PF的最小值. 解：如图，连结AC交BD于点O，连结PC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝ BD＝ ×8＝4， AB＝BC＝CD＝5. 1 2 3 返回目录 上一页 下一页 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝ ＝ ＝3， ∴OC＝OA＝3. ∵PE⊥BC，PF⊥CD，S△BCP＋S△CDP＝S△BCD， ∴ BC·PE＋ CD·PF＝ BD·OC， ∴5PE＋5PF＝8×3， 解得PE＋PF＝4.8， 即PE＋PF的值为定值4.8. 当PA最小时，PE＋PA＋PF有最小值. ∵当PA⊥BD时，PA的最小值为OA＝3， ∴PE＋PA＋PF的最小值为4.8＋3＝7.8. 1 2 3 返回目录 上一页 下一页 谢谢观看 $