专题19 一次函数背景下等腰三角形存在性问题（习题课件）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦八年级下册一次函数背景下等腰三角形存在性问题，通过实例导入，衔接一次函数与几何图形知识，以“两圆一线”几何法和腰相等代数法为学习支架，帮助学生构建解题思路。 其亮点在于融合几何直观与代数推理，通过“两圆一线”作图和距离公式计算，培养学生数学思维与模型意识。例题与练习结合，学生能提升综合解题能力，教师可借助系统方法提升教学效率。

初中数学 八年级下册·（RJ版） 第二十三章　一次函数 专题19　一次函数背景下等腰三角形存在性问题 ▶必备知识 方法点拨　如图，在平面直角坐标系中，已知两定点A，B， C为x轴上的一个动点，且满足△ABC为等腰三角形，求所有 满足条件的点C的坐标. 上一页 下一页 几何法：“两圆一线” （1）以点A为圆心，AB的长为半径作圆，与x轴的交点C1， C2即为满足条件的点C，此时AB＝AC； （2）以点B为圆心，AB的长为半径作圆， 与x轴的交点C3，C4即为满足条件的点C， 此时AB＝BC； （3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点C5 即为满足条件的点C，此时AC＝BC. 利用圆的半径或勾股定理求线段长，由线段长得点的坐标. 上一页 下一页 代数法：腰相等＋距离公式 设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC）， 则AB＝ ， AC＝ ， BC＝ . ①若∠A为顶角，则AB＝AC；②若∠B为顶角，则AB＝ BC；③若∠C为顶角，则AC＝BC. 上一页 下一页 【例】直线y＝ x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C在y 轴上，连接AC. 若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，请求出 点C的坐标. 上一页 下一页 解：当x＝0时，y＝4，∴B（0，4）. 当y＝0时，x＝－3，∴A（－3，0）. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝5. 设点C的坐标为（0，t）， 则BC＝｜t－4｜，AC＝ . 当AB＝BC时，5＝｜t－4｜，解得t＝9或t＝－1； 当AB＝AC时，由对称性可知t＝－4， ∴点C的坐标为（0，9）或（0，－1）或（0，－4）. 解：当x＝0时，y＝4，∴B（0，4）. 当y＝0时，x＝－3，∴A（－3，0）. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝5. 设点C的坐标为（0，t）， 则BC＝｜t－4｜，AC＝ . 当AB＝BC时，5＝｜t－4｜，解得t＝9或t＝－1； 当AB＝AC时，由对称性可知t＝－4， ∴点C的坐标为（0，9）或（0，－1）或（0，－4）. 上一页 下一页 ▶学以致用 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋n的图象与正 比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）. （1）求m，n的值. 解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象过点 A（m，4）， ∴4＝2m，解得m＝2. ∵一次函数y＝－x＋n的图象过点A（2，4）， ∴4＝－2＋n，解得n＝6. 上一页 下一页 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）. （2）设一次函数y＝－x＋n的图象与x轴交于点B，与y轴交 于点C，求点B，C的坐标. 解：（2）在y＝－x＋6中，令y＝0， 则0＝－x＋6， 解得x＝6；令x＝0，则y＝6， ∴点B的坐标为（6，0）， 点C的坐标为（0，6）. 上一页 下一页 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）. （3）在x轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存 在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（3）存在. ∵点A（2，4），B（6，0）， ∴AB＝ ＝4 . ①当AB＝BP＝4 时，点P的坐标为 （6＋4 ，0）或（6－4 ，0）. 上一页 下一页 ②当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于点E，则点E的 坐标为（2，0）. ②当AB＝AP时，如图，过点A作AE⊥BO于点E，则点E的 坐标为（2，0）. ∵AB＝AP，AE⊥BO，∴PE＝BE＝4， ∴点P的坐标为（－2，0）. 上一页 下一页 ③当PA＝PB时，∠PBA＝∠PAB＝45°， ∴∠APB＝90°，∴点P的坐标为（2，0）. 综上所述，点P的坐标为 或 或（－ 2，0）或（2，0）. ③当PA＝PB时，∠PBA＝∠PAB＝45°， ∴∠APB＝90°，∴点P的坐标为（2，0）. 综上所述，点P的坐标为 或 或（－ 2，0）或（2，0）. 上一页 下一页 谢谢观看 $