专题10 正方形背景下的十字架模型&专题11 一线三垂直模型（分层作业）-【一本·初中同步训练】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

【学以致用】1.略 2.(1)当∠EAD=90°时，四边形ABEC为菱形(2)略 3.(1)略(2)四边形BECD是菱形.理由略(3)略 4.(1)略(2)45° 专题10正方形背景下的十字架模型 【例】解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠A=∠ABC=90. (BP=CH, 在Rt△PAB和Rt△HBC中， AB=BC, ∴.Rt△PAB≌Rt△HBC(HL),.∠APB=∠BHC. :∠APB+∠PBA=90°，∴∠CHB+∠PBA=90°， .∠BEH=90°，∴.BP⊥CH. a 【学以致用】1.解：(1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°， ∴.∠BCE+∠OCD=90°. .DF⊥CE, ∴.∠CDF+∠OCD=90°，∴.∠BCE=∠CDF ∠BCE=∠CDF, 在△BCE和△CDF中，3BC=CD, ∠EBC=∠FCD, .△BCE≌△CDF(ASA),.BE=CF. (2)12-82 2.9cm 专题11一线三垂直模型 【例】AD=√2BE-DF.理由略 3 【学以致用】(1)45° (2)2a-90 专题12半角模型 【例】解：(1)证明：如图，延长CB至点E,使BE=DN. M :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠D=∠ABE=90°. (AB=AD, 在△AEB和△AND中，{∠ABE=∠ADN, BE=DN, .△AEB≌△AND(SAS), ∴.AE=AN,∠EAB=∠NAD, ∴.∠EAM=∠NAM=45. ·答 (AE-AN, 在△AEM和△ANM中，{∠EAM=∠NAM, AM=AM, ∴△AEM≌△ANM(SAS),∴.SAAEM=SAANM,EM=MN. ,AB,AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高， ..AB=AH. (2)3 【学以致用】1.B2.53 3 3.(1)EF=DF-BE.证明略 (2)AD2=16+8√/3，AE=26 专题13平行四边形中的最值问题 【例1】A【变式】D 【例2】解：(1)BE AOC DE (2)如图，过点B作BF∥AC,过点C作CF∥AB,BF与 CF相交于点F,连接DF,则四边形ABFC为平行四边形， ∴.AC=BF,CF=AB,∴.AC+BD=BF+BD. BF十BD≥DF(当D,B,F三点在同一条直线上时，取 等号)，DF的长就是所求的最小值 如图，过点D作DM⊥CF于点M. :CF∥AB,∠AEC=60°，∴∠DCM=∠AEC=60°， .∴.∠CDM=90°-∠DCM=90°-60°=30°. 在Rt△CDM中，.CD=3,∠CDM=30°， ..CM-CDDM-/CD-C 2 CF-AB-2,.FM-CF-CM-2- 在Rt△DFM中，由勾股定理，得DF=√DM+FM= √7，即AC十BD的最小值是√7 【变式】D 【例3】9 【变式】3 【学以致用】1.A2.2√33.4.84.10√55.√/136.4 7.2√7 第二十二章函数 专题14利用函数图象描述动点问题 【例】A 【学以致用】1.C2.A3.C4.B5.D 案15·专题10 正方形背景下的十字架模型 ·必备知识 (2)如图2，FG垂直平分CE,垂足为O,且 分别连接正方形两组对边上的任意两点，得 BE=BF,连接EF,CG,求DG的长， 到两条线段，且这两条线段互相垂直（如图 条件 1中的线段AF与BE,图2中的线段HF 与EG) 图2 图形 图1 图2 结论 AF=BE HF=EG 【例】如图，在正方形ABCD中，点P在AD 上，且不与点A,D重合，点H在AB上，且 不与点A,B重合，连接BP,CH,BP与CH 交于点E. (I)若BP=CH,求证：BP⊥CH (2)在(1)的条件下，若正方形ABCD的边长 为12，AP=5,则线段BE的长为 2.如图，将边长为40cm的正方形ABCD折 D 叠，使得点D落在BC上的点E处.若折痕 FG的长为41cm,求CE的长. A: D ·学以致用 1.已知四边形ABCD是边长为4的正方形. (1)如图1，DF⊥CE,垂足为O,求证： BE=CF; 图1 第二十-章四边形15 专题1 一线三垂直模型 ·必备知识 ·学以致用 在正方形ABCD中，过B,D两点分别作 在菱形ABCD中，∠B=a(90°≤a<180°)， 条件 ,点C所在直线的垂线，垂足分别为E,F E是边BC上的一点，连接AE,将线段AE 绕点E顺时针旋转α得到线段FE,连接CF. (1)如图1，当a=90°时，求∠DCF的度数； 图形 (2)如图2，当90°<a<180°时，求∠DCF的 E 同侧“一线三垂直” 异侧“一线三垂直” 度数（用含α的代数式表示） 结论 △BCE≌△CDF 【例】如图，在正方形ABCD中，点E在对角 线BD上，点F在边CD的延长线上，AE⊥ EF,AE=EF.写出线段BE,AD,DF之间 图1 图2 的数量关系，并说明理由. E 16数学8年级下册RJ版