考点02 认识概率8大题型（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

考点02 认识概率 考点一：确定事件与随机事件 1、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； 2、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； 3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； 4、随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 考点二：可能性的大小 必然发生的事件可能性最大； 不可能发生的事情发生的可能性最小； 随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 拓展：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 考点三：概率与频率 1、频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 2、用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 题型一：事件的分类 一定发生是必然，一定不发不可能。 可能发生也可能不发，统统都叫随机事件。 很可能≠必然，不太可能≠不可能， 确定事件包含俩，必然与不可能 【典例】（2026八年级下·江苏·专题练习）一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的三个球中至少有一个黑球 B．摸出的三个球中至少有一个白球 C．摸出的三个球中至少有两个黑球 D．摸出的三个球中至少有两个白球 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件的定义，结合袋子里黑球和白球的数量，分析各选项事件是否一定发生． 【详解】解：∵袋子中仅有2个白球． ∴从中摸3个球时，最多只能摸到2个白球，剩余1个必为黑球． ∴“摸出的三个球中至少有一个黑球”一定发生，是必然事件，故A选项符合题意． ∵黑球有4个，可摸出3个黑球，故B选项事件不一定发生． ∵存在摸出1黑2白的情况，故C选项事件不一定发生． 因为可能摸出3个黑球（即0个白球），不满足至少有2个白球，所以该事件不是必然事件，故D选项事件不一定发生． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下列成语故事反映的是随机事件的是（   ） ①水中捞月； ②一箭双雕； ③刻舟求剑； ④守株待兔； ⑤瓮中捉鳖． A．①②④ B．②⑤ C．②③④ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查随机事件的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，根据成语故事的含义，判断每个成语反映的事件类型，据此进行解答即可． 【详解】解：①水中捞月：不可能事件； ②一箭双雕：可能发生也可能不发生，是随机事件； ③刻舟求剑：不可能事件； ④守株待兔：可能发生也可能不发生，是随机事件； ⑤瓮中捉鳖：必然事件， 则反映随机事件的是②④， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【答案】 ④⑥ ①③⑤ ②④⑥ 【分析】本题主要考查了事件的分类， 根据随机事件，确定事件的定义解答即可. 【详解】解：①守株待兔是随机事件；②水中捞月是不可能事件，属于确定事件；③连续抛同一枚硬币2次都是正面朝上，这个事件是随机事件；④任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，属于确定事件；⑤若，则或，所以是随机事件；⑥从1,3,5中任选一个数，这个数是奇数属于必然事件，属于确定事件； 必然事件的有：④⑥； 随机事件的有：①③⑤； 确定事件的有：②④⑥. 故答案为：④⑥；①③⑤；②④⑥. 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 【答案】不确定事件 【分析】本题考查了随机事件，“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，属于随机事件． 【详解】解：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”可能发生，也可能不发生，是不确定事件， 故答案为：不确定事件． 题型二：判断事件发生的可能性的大小 数量多不一定大，要看总数占比差。 相等不是各一半，感觉不能代替算。 很大不是必然发，很小不是不可能。 几何概率看面积，独立试验不影响。 【典例】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件和概率公式，分别根据随机事件的定义和概率公式逐一判断即可．正确运用概率公式计算是解题的关键． 【详解】解：A、小明爸爸遇到红灯是随机事件，故不符合题意； B、小明爸爸遇到黄灯是随机事件，故不符合题意； C、小明爸爸遇到黄灯的概率最小，故符合题意； D、小明爸爸遇到红灯的概率小于他遇到绿灯的概率，故不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【答案】C 【分析】此题考查了事件的可能性，比较各事件包含的可能结果数，数量越多可能性越大． 【详解】投掷一枚均匀骰子共有6种等可能结果． ①点数为6：仅1种结果，概率为； ②点数不大于4：包括1、2、3、4，共4种结果，概率为； ③点数为奇数：包括1、3、5，共3种结果，概率为． 可能性由大到小为． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是______．（填写布袋对应的序号） 【答案】③ 【分析】此题考查了事件的可能性，根据每个布袋中白球的个数判断即可． 【详解】∵三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，①中有2个白球，②中有3个白球，③中有4个白球， ∴③中白球的个数最多 ∴“摸到白球”的可能性更大的布袋是③． 故答案为：③． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 【答案】(1)黑 (2)可以，取出个黑球或放入个红球就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（）根据两种球的数量即可判断求解； （）使两种球的数量相同即可使摸到红球和摸到黑球的可能性相同； 本题考查了可能性大小，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵黑球的数量大于红球的数量， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：取出个黑球或放入个红球，使得两种球的数量相同，就可以使摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 题型三：概率的意义理解 概率是理论平均值，不是实际固定值； 频率趋近概率，不是等于概率； 大概率≠必然，小概率≠不可能； 独立试验，之前不影响之后。 【典例】（24-25八年级下·江苏南京·期末）根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【答案】C 【分析】本题主要考查了概率意义的理解，降水概率表示降水的可能性较低，正确选项需符合概率的实际意义． 【详解】解：降水概率是指在相同的气象条件下，有的可能性出现降水，属于可能性较小的事件． 故选：C 【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 【答案】A 【分析】本题考查事件的分类及概率的理解，逐一分析各选项即可得出结果 【详解】解：A、买一张彩票，中奖是随机事件，正确，符合题意； B、将花生油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件，这是必然事件，不符合题意； C、小明通过3次抛瓶盖试验（2次盖口向上）得出概率为，概率需要通过大量重复试验才能估计，仅3次试验的结果无法准确反映真实概率，且瓶盖的结构可能导致正反面概率不均等， 不符合题意； D、射击运动员射击一次中靶与不中靶的概率均为，虽然结果只有两种，但两种结果发生的概率不一定相等，实际概率与运动员水平等因素相关，不符合题意； 故选：A 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【答案】D 【分析】本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．根据概率的意义，即可解答． 【详解】解：某事件A发生的概率是，大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次， 故选：D 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是______． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 【答案】② 【分析】直接利用概率的意义分别分析得出答案． 【详解】解：①说明做次这种试验，事件必发生次，事件A不一定发生，故错误； ②说明做次这种试验，事件可能发生次，正确； ③说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件发生，事件A不一定发生，故错误； ④说明事件发生的频率是，频率不等于概率，故此选项错误． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键． 题型四：判断几个事件概率的大小关系 【典例】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【答案】C 【分析】根据概率公式可知，哪种球的数量最多，摸到那种球的概率就大． 【详解】解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球， ∵ ∴其中红球最多， ∴摸到红球的概率最大． 故选：C． 【点睛】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率的分类（不可能事件、随机事件、必然事件）及概率大小的判断，解题关键是判断每个事件属于不可能事件、随机事件还是必然事件，再根据各类事件的概率范围比较大小． 根据事件类型判断概率：事件A是随机事件，事件B是必然事件，事件C是不可能事件，再比较概率大小即可． 【详解】∵ 事件A：买体育彩票中一等奖，是随机事件， ∴ ． ∵ 事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7（骰子点数最大为6，均小于7），是必然事件， ∴ ． ∵ 事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化，是不可能事件， ∴ ． ∴． 故选B． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）北京冬奥会于年月日至日胜利举行．现有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，这三张邮票除正面内容不同外其余均相同．现将枚邮票放入一个不透明的袋子中，搅匀后从中任意抽出一张，小红第一个抽．下列说法正确的是（    ） A．小红抽到“会徽”的可能性最小 B．小红抽到“冰墩墩”的可能性最大 C．小红抽到“雪容融”的可能性最大 D．小红抽到三种邮票的可能性相同 【答案】D 【分析】根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：共有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”“雪容融”， 小红抽到三种邮票的可能性相同，抽到的概率都是； 故选：D． 【点睛】此题考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 【变式3】（24-25八年级下·江苏·期末）掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 【答案】④②③① 【分析】本题考查了概率的计算与可能性大小的比较，掌握计算各事件的概率，再根据概率大小判断可能性大小是解题的关键． 计算各事件发生的概率，比较大小即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，每个面出现的概率均为． 事件①：向上一面的点数为正数，是必然事件，概率为1； 事件②：向上一面的点数是3的倍数，有2种可能（点数为3和6），概率为； 事件③：向上一面的点数是偶数，有3种可能（点数为2，4，6），概率为； 事件④：向上一面的点数是两位数，不可能事件，概率为0． 因此，概率从小到大为0，，，1，对应事件顺序为④，②，③，①． 故答案为：④②③①． 题型五：求某事件的频率 1. 公式记反 / 用错 2. 分不清 “发生次数” 和 “没发生次数” 3. 总数找错 4. 频率≠概率 5. 结果不化简 / 格式错 6. 单位 / 意义写错 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【答案】D 【分析】本题主要考查了求频率，根据频率等于频数除以总数进行求解即可． 由频率是频数与总次数的比值，代入求值即可． 【详解】解：∵总投掷次数为100次，“正面朝上”频数为46次， ∴频率为， 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·江苏·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【答案】C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约， 选项A：掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，不符合题意； 选项B：在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯，不符合题意； 选项C：掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数，其概率为，符合题意； 选项D：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球的概率为，不符合题意； 故选C． 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【答案】 【分析】本题考查了频率额计算，掌握频率计算方法是关键． 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 【答案】(1) (2)名 【分析】本题主要考查了统计图表的相关知识，解决问题的关键是读懂图表，弄清题意. （1）利用频率之和等于1求出未知频率. （2）利用样本估计总体的方法计算相应的人数. 【详解】（1） 解： 故答案为：. （2）解：（名）． 故估计满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数为． 题型六：关于频率与概率关系说法的正误 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查概率的意义． 根据概率的意义判断各说法的正误． 【详解】∵概率表示事件发生的可能性大小， ∴说法①正确，因为的概率表示下雨可能性很大； ∵概率是长期频率的稳定值，不保证短期结果， ∴说法②错误，因为每抛两次不一定有一次正面朝上； ∵概率为表示中奖可能性小，但并非不可能， ∴说法③错误，因为买10张彩票可能中奖； ∵随着抛掷次数的增加，频率稳定在概率附近， ∴说法④正确； 故正确的说法是①和④． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【答案】D 【分析】本题考查频率与频数的概念以及频率的稳定性． 频数是事件发生的次数，频率是频数与总次数的比值. 随着试验次数的增加，频率会逐渐稳定在概率附近． 【详解】解：A、摸到黄球的频数增大时，总摸球次数也会增加，频率是频数与总次数的比值，因此频率不一定增大，该说法错误，不符合题意； B、同理，频数增大时总次数也增加，频率不一定减小，该说法错误，不符合题意； C、频数是摸到黄球的次数，会随试验次数增加而增加，不会稳定，该说法错误，不符合题意； D、重复多次摸球后，摸到黄球的频率会逐渐稳定在概率附近，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点睛】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 题型七：由频率估计概率 1. 误以为 “频率 = 概率” 2. 试验次数太少就乱估计概率 3. 把 “最后一次频率” 当概率 4. 混淆 “频率稳定值” 和 “精确等于” 5. 用个别结果代替整体规律 6. 忘记：概率是固定的，频率是变化的 【典例】（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用摸到白球的频率估计其概率，即白球个数÷总球数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·广东梅州·月考）某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（    ） A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据频率的集中趋势估计概率是解题的关键．根据频率估计概率的原理，从表格数据可知，优等品的频率在0.95附近波动即可得答案． 【详解】解：表格中优等品的频率大概在左右浮动， 从这批毛绒玩具中，任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率的估计值是， 故选B． 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 【答案】0.50 【分析】本题考查了用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握在大量重复试验下，频率趋近于概率的规律 当试验次数很大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，由此计算即可． 【详解】解：根据试验获得的数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.50左右， ∴可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为0.50 ． 故答案为：0.50 ． 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 【答案】(1)183，； (2) (3)10000颗 【分析】本题考查频率估计概率及概率的实际应用，解题关键是利用频率稳定值估计概率，再通过概率建立方程解决实际问题． （1）根据“坏果频率”的关系，结合表格中对应数据列等式，分别求出（利用3000批次的频率算坏果数）和（用5000批次坏果数与总果数算频率 ）． （3）观察多组检测数据的坏果频率，发现其随总果数增加逐渐稳定在，以此估计任取一个水蜜桃是坏果的概率 ． （3）先确定完好水蜜桃的概率（坏果概率），设准备水蜜桃总数为，依据“完好水蜜桃数总数完好概率”且要满足至少9400颗完好，列不等式求解的最小值 ． 【详解】（1）解：根据题意得； 解得： ． 故答案为：183，； （2）观察坏果频率，随着检测批次总果数增加，坏果频率逐渐稳定在左右， 所以估计任取一个水蜜桃是坏果的概率为 ． 故答案为：； （3）解：设至少需要准备颗水蜜桃，完好水蜜桃的概率为，要确保9400颗完好水蜜桃， ， 解得， ∴至少需要准备10000颗水蜜桃进行分拣． 题型八：用频率估计概率的综合应用 【典例】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)，1802 (2) (3)估计还要移植4000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率. （1）根据成活率成活数移植棵树，可算出a，根据成活数移植棵数成活率，可算出b； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式计算即可. 【详解】（1）解：∵成活率成活数移植棵数，成活数移植棵数成活率， ∴，， （2）解：∵随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近，显示出一定的稳定性， ∴可以估计该种苹果树苗成活的概率是0.9. 故答案为：0.9. （3）解：（棵） 答：估计还要移植4000棵这种苹果树苗. 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【答案】(1)，50 (2) (3)这片鱼塘的价值大约是80000元． 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． （1）根据频率=频数÷总数求解即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）用200除以打捞到的鱼是带标记的鱼的概率可得总条数，再计算总钱数即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，50； （2）解：根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为； 故答案为：； （3）解：这个鱼塘中鱼约有（条）， （元）， 答：这片鱼塘的价值大约是80000元． 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，如表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（   ） 移植总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9 B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株 C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率的知识，需明确频率与概率的关系，概率是频率的稳定值，是估计值而非确定值． 利用频率估计概率，逐一判断即可． 【详解】解：大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，可利用频率估计概率，但概率是估计值，不是必然结果，A选项，表格中各频率均在0.9左右，由此估计这种幼苗成活的概率约为0.9，该选项正确； B选项，“必定成活18000株”表述错误，概率是估计值，移植20000株幼苗只是大约成活18000株，不是必然结果； C选项，试验次数累计最多时的频率更稳定，可作为概率的估计值，该选项正确； D选项，大量重复试验中，随着试验次数增加，成活频率会越来越稳定，因此可用频率估计概率，该选项正确； 不正确的是B选项． 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 【答案】C 【分析】本题考查了折线统计图，样本频率估计总体概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，该选项不符合题意； 、掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数的概率为，该选项不符合题意； 、一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球的概率为，该选项符合题意； 、在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，该选项不符合题意； 故选：． 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估算概率，求概率，根据统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3，逐一求出各选项中的概率，进行判断即可． 【详解】解：由统计图可知，出现这种结果的概率约为0.3； A、转盘共有10种等可能的结果，其中出现比5小的数的结果有4种，故概率为0.4，不符合题意； B、转盘共有10种等可能的结果，其中出现奇数的结果有5种，故概率为0.5，不符合题意； C、转盘共有10种等可能的结果，其中出现能被5整除的数的结果有2种，故概率为0.2，不符合题意； D、转盘共有10种等可能的结果，其中出现3的倍数的结果有3种，故概率为0.3，符合题意． 5．（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，根据事件发生的可能性大小判断即可，解题的关键是理解必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件，说法正确，符合题意； “物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件，说法正确，符合题意； “没有水分，种子发芽”是不可能事件，说法错误，不符合题意； “买一张电影票，座位号是奇数号”是随机事件，说法错误，不符合题意； 综上可知：正确， 故选：． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，熟练掌握概率的计算方法是解题的关键，根据频率估计概率，摸到白球的频率稳定在附近，即摸到白球的概率为，利用概率公式建立方程求解． 【详解】解：设黑球有个，则总球数为个．根据题意得： ， 解方程：． 经检验，是方程的解， 故答案为：11． 7．（24-25七年级下·江苏南通·期末）为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为_________条． 【答案】1000 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先计算出有记号鱼的频率，再用频率估计概率，利用概率计算鱼的总数即可． 【详解】解：设鱼的总数为x条， 根据题意可知， 解得 故答案为： 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 【答案】2 【分析】本题考查了必然事件．判断出使两人所取的根数之和为3是解题的关键． 由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根． 【详解】解：由题意知，小明第一次取2根，然后保证第二次所取的根数和小丽所取的根数和为3，则小明必然要取到第根火柴，小明一定获胜， ∴小明先取，第一次取走2根， 故答案为：2． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的情况一定高于次． 其中合理的是________． 【答案】② 【分析】本题考查了利用频率估计概率．根据图象和各个推断的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是，故①错误； 随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是．故②正确； 若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率可能是0.620，但不一定是，故③错误； 由图可知，用计算机模拟实验，当投掷次数为时，则“钉尖向上”的频率是，由此可得当投掷次数为时，则“钉尖向上”的频率在左右，但不代表一定是，则“钉尖向上”的情况不一定高于次，故④错误，不符合题意． 故答案为：②． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 【答案】(1)0.94，950 (2)0.95 (3)76000 【分析】本题主要考查了频率、概率的计算及用频率估计概率的应用，熟练掌握频率公式和用频率估计概率的思想是解题的关键． （1）根据频率公式频率优秀数量抽取作业数量求，根据优秀数量抽取作业数量优秀频率求． （2）观察随着抽取作业数量增加，优秀频率的稳定值，以此估计概率． （3）用全市中学生数量乘以估计的优秀概率，得到优秀作业数量． 【详解】（1）解：，， ∴，． 故答案为，； （2）解：随着增大，优秀频率稳定在附近， ∴估计该市学生作业优秀的概率大约是． 故答案为：； （3）解：全市有名中学生，优秀概率约， ∴全市优秀作业数量约为． 故答案为： ． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （）根据频率估算概率即可； （）根据概率进行判断即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是， 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）估计表中的频率估计概率即可； （3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 13．（24-25九年级下·江苏南京·期中）一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球若干个．数学兴趣小组做摸球实验，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)___________，___________； (2)估计摸出一个球恰好是白球的概率约为___________（结果精确到） 【答案】(1)， (2) 【分析】（）根据频率公式计算即可求解； （）根据频率估计概率即可求解； 本题考查了用频率估计概率，掌握频率和概率之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由表可得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵随着实验次数越来越大时，摸到白球的频率稳定在附近， ∴估计摸出一个球恰好是白球的概率约为， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为______  (精确到0.1) (2)盒子里约有白球_______个 (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少 【答案】(1)0.6 (2)24 (3)12 【分析】本题考查了由频率估计概率，用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据表格的数据即可得解； （2）用总数乘以概率即可得解； （3）根据题意列出方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由表格可得：若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为， （2）解：估算盒子里约有白球(个)； （3）解：根据题意知，， 解得， 答：推测x可能是12． 15．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：    掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； (3)请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 【答案】(1)； (2)； (3)封闭图形的面积是平方米． 【分析】（）根据提供的和的值，计算后即可确定二者的比值逐渐接近的值； （）大量试验时，频率可估计概率； （）利用概率，求出圆的面积比上总面积的值，计算出阴影部分面积； 本题考查了利用频率估计概率，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据；；，，， 当投掷的次数很大时，则的值越来越接近， 故答案为：； （2）解：观察表格得：；；，， 随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在， 故答案为：； （3）解：设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 答：封闭图形的面积为平方米． 16．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【答案】(1)0.905 (2) (3)估计还要移植8000棵这种苹果树苗 【分析】本题考查利用频率估计概率的综合应用： （1）根据成活率等于成活数除以移植棵数，进行计算即可； （2）利用频率估计概率即可； （3）利用概率公式求数量即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.905； （2）由题意，估计该种苹果树苗成活的概率是； 故答案为：； （3）； 答：估计还要移植8000棵这种苹果树苗． 18．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 【答案】(1)； (2)0.6 (3)“黄色”区域的扇形的圆心角约是 【分析】（1）根据频率的定义计算时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， （3）可根据“黄色”区域的的概率为，然后根据扇形统计图的意义，用乘以0.4即可估计“黄色”区域的扇形的圆心角． 本题考查了，利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.595；472 （2）解：估计当很大时，频率将会接近0.6，假如你去转动该转盘一次，指针落在“红色”区域的概率约是0.6， 故答案为：0.6， （3）解：， 故答案为：“黄色”区域的扇形的圆心角约是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 认识概率 考点一：确定事件与随机事件 1、不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件； 2、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件。例如，“抛出的篮球会下落”是必然事件； 3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定事件； 4、随机事件：在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”随机事件。 考点二：可能性的大小 必然发生的事件可能性最大； 不可能发生的事情发生的可能性最小； 随机事件发生的可能性有大有小， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。 拓展：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即0≤P(A)≤1, 其中，P(不可能事件)=0 P(必然事件)=1 0<P(随机事件)<1 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的，概率是随机事件自身的属性，它反应这个随机事件发生的可能性大小。 考点三：概率与频率 1、频率的稳定性：通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定 ，这个性质称为频率的稳定性。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。 2、用频率估计一个随机事件发生的概率：通常要经历“试验并收集、整理、描述数据—计算频率—做出估计”的过程。应当注意，这里的“试验”，必须在相同条件下进行，并且试验的次数要足够多。 题型一：事件的分类 一定发生是必然，一定不发不可能。 可能发生也可能不发，统统都叫随机事件。 很可能≠必然，不太可能≠不可能， 确定事件包含俩，必然与不可能 【典例】（2026八年级下·江苏·专题练习）一只不透明的袋子中装有4个黑球和2个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出三个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的三个球中至少有一个黑球 B．摸出的三个球中至少有一个白球 C．摸出的三个球中至少有两个黑球 D．摸出的三个球中至少有两个白球 【变式1】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）下列成语故事反映的是随机事件的是（   ） ①水中捞月； ②一箭双雕； ③刻舟求剑； ④守株待兔； ⑤瓮中捉鳖． A．①②④ B．②⑤ C．②③④ D．②④ 【变式2】（24-25八年级下·江苏扬州·月考）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔； ②水中捞月； ③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上； ④任意画一个三角形，其内角和为180°； ⑤若，则； ⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，意思是说如果八月十五晚上阴天的话，正月十五晚上就下雪，你认为农谚说的是______（填写“必然事件”或“不可能事件”或“不确定事件”）． 题型二：判断事件发生的可能性的大小 数量多不一定大，要看总数占比差。 相等不是各一半，感觉不能代替算。 很大不是必然发，很小不是不可能。 几何概率看面积，独立试验不影响。 【典例】（25-26九年级上·江苏南京·期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小明爸爸随机地由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（   ） A．小明爸爸遇到红灯是必然事件 B．小明爸爸遇到黄灯是不可能事件 C．小明爸爸遇到黄灯的概率最小 D．小明爸爸遇到红灯的概率大于他遇到绿灯的概率 【变式1】（24-25八年级下·江苏镇江·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数不大于4；③掷得的点数是奇数．这些事件发生的可能性由大到小排列是（    ） A．②①③ B．③①② C．②③① D．③②① 【变式2】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，三个不透明布袋中都装进只有颜色不同的5个小球，分别从中随机摸出一个小球，“摸到白球”的可能性更大的布袋是______．（填写布袋对应的序号） 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一个不透明的袋子中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到____球的可能性大； (2)能否通过改变某种颜色球的数量使摸到红球和摸到黑球的可能性相同？ 题型三：概率的意义理解 概率是理论平均值，不是实际固定值； 频率趋近概率，不是等于概率； 大概率≠必然，小概率≠不可能； 独立试验，之前不影响之后。 【典例】（24-25八年级下·江苏南京·期末）根据天气预报，南京市明天降水概率是，下列说法正确的是（   ） A．南京市明天将有的地区降水 B．南京市明天将有的时间降水 C．南京市明天降水的可能性不大 D．南京市明天肯定不会降水 【变式1】（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．“买一张彩票，中奖”是随机事件 B．“将花生油滴入水中，油会浮在水面上”是不可能事件 C．小明做了3次抛瓶盖的试验，其中有2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率一定是 D．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种结果，所以他射击一次“中靶”的概率是 【变式2】（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某事件A发生的概率是，则下列推断正确的是（    ） A．做100次这种实验，事件A必发生3次 B．做100次这种实验，事件A不可能发生4次 C．做1000次这种实验，事件A必发生30次 D．大量重复做这种实验，事件A平均每100次发生3次 【变式3】（24-25八年级下·江苏南京·月考）如果事件发生的概率是，那么在相同条件下重复试验，下列说法正确的是______． 填符合条件的序号 说明做次这种试验，事件必发生次； 说明做次这种试验，事件可能发生次； 说明做次这种试验中，前次事件没发生，后次事件才发生； 说明事件发生的频率是． 题型四：判断几个事件概率的大小关系 【典例】（24-25八年级下·江苏盐城·期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（　　） A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）事件：买体育彩票中一等奖；事件：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件：在标准大气压下，温度低于时冰融化．3个事件的概率分别记为、、，则、、的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）北京冬奥会于年月日至日胜利举行．现有张纪念邮票，分别是“会徽”、“冰墩墩”、“雪容融”，这三张邮票除正面内容不同外其余均相同．现将枚邮票放入一个不透明的袋子中，搅匀后从中任意抽出一张，小红第一个抽．下列说法正确的是（    ） A．小红抽到“会徽”的可能性最小 B．小红抽到“冰墩墩”的可能性最大 C．小红抽到“雪容融”的可能性最大 D．小红抽到三种邮票的可能性相同 【变式3】（24-25八年级下·江苏·期末）掷一枚质地均匀的骰子，每个骰子的六个面上分别刻有1～6的点数，下列事件：①向上一面的点数为正数；②向上一面的点数是3的倍数；③向上一面的点数是偶数；④向上一面的点数是两位数．其中按发生的可能性从小到大的顺序排列为________________（填序号）． 题型五：求某事件的频率 1. 公式记反 / 用错 2. 分不清 “发生次数” 和 “没发生次数” 3. 总数找错 4. 频率≠概率 5. 结果不化简 / 格式错 6. 单位 / 意义写错 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）投掷一枚硬币次，“正面朝上”的有次，则“正面朝上”的频率为（　　） A．54 B．46 C．0.54 D．0.46 【变式1】（24-25八年级下·江苏·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，一辆车经过时，遇到的恰好是红灯 C．掷一个正六面体骰子，向上一面的点数是3的倍数 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从中任取1个球，取出的球是黄球 【变式2】（24-25八年级下·江苏泰州·期中）2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是_________． 【变式3】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）为全面提高旅游服务质量，旅游管理部门随机抽取了100名游客进行满意度调查，并绘制成如下不完整的频率分布表． 满意度 非常满意 满意 一般 不满意 合计 频率 0.5 0.3 0.05 1 根据统计图表提供的信息，解答下列问题： (1)_____________． (2)若某日共有10000名游客，请你估计其中满意度表现为“一般”和“不满意”的总人数． 题型六：关于频率与概率关系说法的正误 【典例】（24-25八年级下·江苏苏州·期末）关于频率与概率，有下列几种说法，其中正确的说法有（    ） ①“明天下雨的概率是”表示明天下雨的可能性很大； ②“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上； ③“某种彩票中奖的概率是”表示买10张该种彩票不可能中奖； ④“抛一枚硬币，正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）在一个不透明的袋子里装有若干个红球和黄球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再重新摸球．下列说法正确的是（    ） A．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越大 B．摸到黄球的频数越大，摸到黄球的频率越小 C．重复多次摸球后，摸到黄球的频数逐渐稳定 D．重复多次摸球后，摸到黄球的频率逐渐稳定 【变式2】（24-25八年级下·江苏常州·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有______． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【变式3】（24-25八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 题型七：由频率估计概率 1. 误以为 “频率 = 概率” 2. 试验次数太少就乱估计概率 3. 把 “最后一次频率” 当概率 4. 混淆 “频率稳定值” 和 “精确等于” 5. 用个别结果代替整体规律 6. 忘记：概率是固定的，频率是变化的 【典例】（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球的个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．20 【变式1】（25-26九年级上·广东梅州·月考）某毛绒玩具厂对一批毛绒玩具进行了质量抽检，结果如下表： 抽取的毛绒玩具数量n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 47 96 191 476 951 1425 1902 优等品的频率 0.940 0.960 0.9550 0.952 0.951 0.95 0.951 由表可知，从这批玩具中任意抽取一个毛绒玩具是优等品的概率是（精确到0.01）（    ） A．0.94 B．0.95 C．0.96 D．0.97 【变式2】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 【变式3】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）无锡阳山水蜜桃以果肉细腻、汁多味甜闻名全国，是江苏省地理标志产品．每年盛夏，阳山水蜜桃进入成熟季，果农们会严格检测品质以确保消费者能品尝到最佳风味．某基地对不同批次的水蜜桃进行坏果率抽检，得到如下数据： 检测批次的总果数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 坏果数 59 124 240 305 354 坏果频率 根据表格回答下列问题： (1)表中的___________，___________； (2)任取一个水蜜桃，估计它是坏果的概率为___________（精确到）； (3)若基地需要为即将到来的水果节确保9400颗完好水蜜桃用于销售，那么至少需要准备多少颗水蜜桃进行分拣？ 题型八：用频率估计概率的综合应用 【典例】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·月考）靖边苹果以“甜、香、脆、艳”著称．李叔叔承包了一片空地，他准备将其改造成一个苹果园，现在有一种丹霞富士苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数 50 100 200 400 700 1000 2000 成活数 47 90 183 362 632 902 成活率 0.940 0.900 0.915 0.903 0.902 0.901 根据以上信息，解答下列问题： (1)上表中，_____，_____； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是_____；（精确到0.1） (3)李叔叔已经成功移植成活这种苹果树苗4500棵，如果他要移植成活该种苹果树苗8100棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 【变式2】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某渔民准备将自家的鱼塘转让出去，现在需要通过估计鱼塘中鱼的数量来估算鱼塘的价值．他从鱼塘中打捞了200条鱼．在每一条鱼身上做好标记后，把这些鱼放归鱼塘，经过一段时间后，再从鱼塘中打捞鱼．通过多次实验得到数据如下表所示： 根据表中数据，回答下列问题： 每次打捞鱼数 每次打捞鱼中带标记的鱼数 打捞到带标记的鱼的频率 (1)表中______，______； (2)随机从鱼塘中打捞一条鱼，根据表中数据估计打捞到带标记的鱼的概率为______（精确到）； (3)若每条鱼大约40元，则这片鱼塘的价值大约是多少？ 【变式3】（24-25八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 1．（2026八年级下·江苏·专题练习）某林业部门要考察某幼苗的成活率，于是进行了试验，如表中记录了这种幼苗在一定条件下移植的成活情况，则下列说法不正确的是（   ） 移植总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 A．由此估计这种幼苗在此条件下成活的概率约为0.9 B．如果在此条件下再移植这种幼苗20000株，则必定成活18000株 C．可以用试验次数累计最多时的频率作为概率的估计值 D．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，幼苗成活的频率会越来越稳定，因此可以用频率估计概率 2．（2026八年级下·江苏·专题练习）估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 3．（25-26九年级上·吉林长春·期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是的倍数 C．一个不透明的袋子中装有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取球，取出的球是红球 D．在红灯秒、绿灯秒、黄灯秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）小明同学利用被等分成10份的转盘（如图①），做“用频率估计概率”的试验时，统计某一结果出现的频率，并绘制了如图②所示的统计图，下列选项中最有可能符合这一结果的试验是（   ） A．转动转盘后，出现比5小的数 B．转动转盘后，出现奇数 C．转动转盘后，出现能被5整除的数 D．转动转盘后，出现3的倍数 5．（2025·江苏无锡·二模）下列说法：“铁在潮湿的空气中会生锈”是必然事件；“物体不受外力时保持静止或匀速直线运动状态”是确定事件；“没有水分，种子发芽”是随机事件；“买一张电影票，座位号是奇数号”是不可能事件．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中黑球可能有_________个． 7．（24-25七年级下·江苏南通·期末）为了估计一个鱼池中鱼的条数，采用了如下方法：先从鱼池的不同地方捞出40条鱼，给这些鱼做上记号后放回鱼池，过一段时间后，在同样的地方捞出200条鱼，其中有记号的鱼有8条．请你估计鱼池中鱼的条数约为_________条． 8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是________． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果．（注：） 下面有四个推断： ①当投掷次数是时，计算机记录“钉尖向上”的次数是，所以“钉尖向上”的概率是； ②随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是； ③若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的概率一定是； ④若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为时，“钉尖向上”的情况一定高于次． 其中合理的是________． 10．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 100 200 300 400 500 1000 优秀数量 94 194 288 380 475 优秀频率 0.97 0.96 0.95 0.95 0.95 (1)______，______； (2)估计该市学生作业优秀的概率大约是______；（精确到0.01） (3)若该市有80000名中学生，则估计全市优秀作业的数量为______． 11．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 命中的次数 命中的频率 (1)填空：______，______； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是_______（精确到）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮次，则他命中的次数大约是_______次； 12．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 13．（24-25九年级下·江苏南京·期中）一个不透明的盒中装有除颜色外均相同的黑球和白球若干个．数学兴趣小组做摸球实验，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)___________，___________； (2)估计摸出一个球恰好是白球的概率约为___________（结果精确到） 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中．不断重复上述过程，下表是试验中的统计数据： 摸球的次数m 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数n 66 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.66 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 (1)若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为______  (精确到0.1) (2)盒子里约有白球_______个 (3)若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有2个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现．摸到白球的频率稳定在，请你推测x可能是多少 15．（24-25八年级下·江苏连云港·月考）如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明设计了如下方法： 在此封闭图形内画出一个半径为米的圆． 在此封闭图形旁边闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似的看成点），记录如下：    掷小石子落在不规则图形内的总次数 小石子落在圆内（含圆上）的次数 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，的值越来越接近______（结果精确到）； (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在______附近（结果精确到）； (3)请你利用（）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？（结果保留） 16．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示： 移植棵数（n） 50 400 750 1500 3500 7000 10000 成活数（m） 47 369 662 1335 3203 6335 9020 成活率（） 0.940 0.923 0.883 0.890 0.915 x 0.902 根据以上信息，回答下列问题： (1)当移植的棵数是7000时，成活率x是______； (2)估计该种苹果树苗成活的概率是______（精确到0.1）； (3)小王已经成功移植成活这种苹果树苗12800棵，如果他要移植成活该种苹果树苗20000棵，估计还要移植多少棵这种苹果树苗？ 18．（24-25八年级下·江苏南京·期中）某商场开业期间为了吸引顾客，推出了有奖销售的促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．下表是此次促销活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 600 800 1000 落在“红色”区域的次数m 60 122 240 357 b 603 落在“红色”区域的频率 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.603 (1)a＝ ；b＝ ． (2)转动该转盘一次，估计指针落在“红色”区域的概率约是 ；（结果精确到0.1） (3)在该转盘中，估计“黄色”区域的扇形的圆心角约是多少度？（结果精确到） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $