专题18 导数中的同构思路处理（压轴题3大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修二

专题18 导数中的同构思路处理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、常规同构构造函数 4 类型二、指对同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题） 5 类型三、指对同构应用Ⅱ:比较大小 6 压轴专练 7 1、六大超越函数图像 表达式 图像 极值点 2、同构问题 （1）双变量地位等同同构 ① 构造为增函数 ② 构造为减函数 ③，等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. ④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （2）指对同构（常见于指数、对数混合函数） ①积型： 注：在对“积型”同构时，同左同右取对数 ②商型： ③和差型： 3、常见模型识记 （1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： 且时，有；当且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） ① ② ③ ④ （2）其他常见结构 ①； ②； ③ ④； （3）凑常数、参数、变量结构 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形. ①； ②； ③ ④ ⑤ 类型一、常规同构构造函数 1．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京丰台·期中）若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 6．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 类型二、指对同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题） 1．若不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·四川广元·期中）已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（   ） A． B． C．1 D．e 6．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）已知对于任意正数都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 类型三、指对同构应用Ⅱ:比较大小 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·江苏无锡·月考）若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北·期中）设.则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·辽宁·期中）已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知为自然对数的底数，，则下列关系正确的是：（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·四川成都·月考）若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 11．已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·河北·期中），，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 16．已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是__________. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 导数中的同构思路处理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、常规同构构造函数 4 类型二、指对同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题） 9 类型三、指对同构应用Ⅱ:比较大小 14 压轴专练 18 1、六大超越函数图像 表达式 图像 极值点 2、同构问题 （1）双变量地位等同同构 ① 构造为增函数 ② 构造为减函数 ③，等价变形为（两边是同构式），再研究的单调性即可. ④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （2）指对同构（常见于指数、对数混合函数） ①积型： 注：在对“积型”同构时，同左同右取对数 ②商型： ③和差型： 3、常见模型识记 （1）学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式： 且时，有；当且时，有 再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中） ① ② ③ ④ （2）其他常见结构 ①； ②； ③ ④； （3）凑常数、参数、变量结构 若式子无法直接进行变形同构，往往需要凑常数、凑参数或凑变量，如两边同乘以，同加上等，再用上述方式变形. ①； ②； ③ ④ ⑤ 类型一、常规同构构造函数 1．（24-25高二下·广东东莞·月考）已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的、，当时，都有， 即，即， 所以，函数在上为减函数，且， 参变分离可得，令，其中，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高二下·北京丰台·期中）若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 4．已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，条件，通过整理得到，构造函数，得到在上的单调性，求出，分别按照，，讨论求解. 【详解】，，， ， ，， ，， 设，则， ，，在上是增函数， ，， 当时，，满足在上是增函数，符合题意； 当时，在上是增函数，开口向上， 又对称轴为，，； 当时，在上是增函数，开口向下， 又对称轴为，，； 综上可知，的取值范围为. 故选：B 5．已知函数，对任意，都满足，则正数的最大值为（   ） A． B．e C． D．2e 【答案】B 【分析】构造函数，进而结合题意得函数在上单调递增，进而得恒成立，只要，求解函数的最大值即可得答案. 【详解】由题意可知的定义域为， 由条件可得， 所以. 设， 则在上单调递增. 求导得， 则在上恒成立，所以，即恒成立， 易知在上单调递增，故只需，即在时恒成立即可. 设，则，可知在上单调递减，在上单调递增， 则，所以，即的最大值为e. 故选：B 6．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，对任意，且都有成立，则实数的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定函数的单调性并化简不等式，构造函数，结合已知可得新函数单调性，再利用导数求出的范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 不妨设，则，由， 得，即， 令函数，则函数在区间上单调递减， 因此对，恒成立， 而函数在上单调递增，则当时，取得最小值3，于是， 又，所以实数的取值范围是. 故选：A 类型二、指对同构应用Ⅰ:求最值（含恒成立问题） 1．若不等式恒成立，则实数a的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，所以， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的最大值为2. 故选：B. 2．（24-25高二下·四川广元·期中）已知对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，即对恒成立. 设，则. 令得，令得，令得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，. ∵对恒成立， ∴，即实数的取值范围是. 故选：B 3．已知当时，恒成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，转化条件为对任意恒成立，设，，求导后求得的最小值即可得解. 【详解】设，则对任意恒成立， 设，则，且， 设，则， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以， 所以的最小值为，即的最小值为， 所以. 故选：D． 4．已知函数，若恒成立，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数进行求导，再利用导数和函数的关系求出导函数的零点，最后令求导判断即可； 先对题干中的式子进行变形，再构造函数，通过单调性比大小即可. 【详解】方法一：函数的定义域为，， 显然单调递增且有唯一零点. 令，即，此时有. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，， 即有：，. 令，，时，，单调递减； 时，，单调递增，，又，. 方法二：注意到，又恒成立由方法一得：，， ，，. 方法三：恒成立在恒成立， 令，即恒成立. ，时，，单调递增； 时，，单调递减 ，又恒成立，，. 故选：A 5．已知函数，若曲线上任意一点P处切线的斜率非负，则m的最小值为（   ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义转化为在上恒成立，通过同构转化不等式后进行参变分离，再构造新函数利用导数求最值得解. 【详解】的定义域为， ，． 由题意，得在上恒成立， 即时，恒成立. 令 ，在单调递增， 若，则恒成立， 若，则由的单调性可得， 故恒成立. 即，令，则， 令，得， 当时，；当时，. 所以在单调递增，在单调递减， ． 所以，即m的最小值为． 故选：B. 6．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）已知对于任意正数都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，设，所以，由的单调性可得，再设，利用导数求其最大值即可. 【详解】对于任意正数都有，可得， 设，则， 因为，所以在上单调递增， 所以由，可得，因为，所以， 设，则， 令，解得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，，所以，即的取值范围为. 故选：A. 类型三、指对同构应用Ⅱ:比较大小 1．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，，，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数结构构造函数，根据导数求出单调性，利用同一区间的单调性进行比较. 【详解】，，，令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：A. 2．若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明、，然后利用这两个不等式可比较三者的大小. 【详解】现在证明一个不等式：， 设,则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故当时，，即. 令，由可得， 而， 故. 故选：D. 4．设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数比较大小. 【详解】设，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以． 设，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以． 设，则在上恒成立，故在上单调递减， 所以，即，所以．故． 故选：B 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导研究函数单调性，结合不等式判断即可． 【详解】设，（），则， 则函数在上单调递减，所以， 则，所以，所以； 设（），则， 则函数在上单调递减，所以， 则，所以；综上可得：． 故选：B 6．（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：根据所给式子形式构造函数，令，利用导数法研究单调性判断，令，利用导数法研究单调性判断，令，利用导数法研究单调性判断，即可判断大小； 解法二：由泰勒展开式得，，，即可判断大小. 【详解】解法一:令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增， 则，即，所以． 令，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以． 下面比较与．令，则，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以． 所以． 综上，. 解法二：由泰勒展开式得， ， 所以． 故选：B． 1．（23-24高二下·江苏无锡·月考）若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求出导数可知的单调性，由题可知在单调递增，即可求出的范围. 【详解】对于任意的，都有， 即对于任意的，都有， 令，则在上单调递增， 又，令，解得， 则时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，即实数的取值范围是. 故选：D 2．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数，在其图象上任取两个不同的点、（），总能使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】等价变形给定不等式，构造函数，利用导数及函数单调性求出范围. 【详解】由及，得， 令函数，有，， 则函数在上为增函数，，， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围是. 故选：A 3．（24-25高二下·安徽安庆·期中）已知，对任意，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导确定单调区间，即可求解. 【详解】解：由， 整理得： 因为，所以 即对任意，且， 不等式恒成立 设，则，即函数在区间上单调递减 所以在区间上恒成立 所以，即实数的取值范围为， 故选：D 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 5．（24-25高二下·河北·期中）设.则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，求导确定单调性，进而可比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 令， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·辽宁·期中）已知实数分别满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求导结合不等式判断即可． 【详解】设，（），则， 则函数在上单调递减，所以，则； 设（），则， 则函数在上单调递减，所以，则. 所以； 设函数（），对其求导， 当时，，所以函数在上单调递增. 所以， 所以，即. 综上可得：． 故选：D 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：根据所给式子形式构造函数，令，利用导数法研究单调性判断，令，利用导数法研究单调性判断，令，利用导数法研究单调性判断，即可判断大小； 解法二：由泰勒展开式得，，，即可判断大小. 【详解】解法一:令，则， 当时，，所以，所以在上单调递增， 则，即，所以． 令，则， 则当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以． 下面比较与．令，则，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以． 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以． 所以． 综上，. 解法二：由泰勒展开式得， ， 所以． 故选：B． 8．已知为自然对数的底数，，则下列关系正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数研究单调性即可比较和的大小，同理构造函数，利用导数研究单调性即可比较和的大小，进而得解. 【详解】令，所以，令有，由有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以，即，即， 令，所以，令或， 由或，， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以，即，即，所以， 所以， 故选：B. 9．（24-25高二下·四川成都·月考）若，不等式恒成立（其中是自然对数的底数），则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将题设不等式转化为对恒成立，构造函数，则，利用导数研究得到的单调性，进而得到，再通过导数求得函数的最大值即可求解. 【详解】由题意可知：，， 即， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 又，所以，其中， 令，则， 当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 所以，即，故实数的最小值为． 故选：A 10．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简转化为恒成立，再构造函数，结合函数单调性求出最值解题. 【详解】因为，即， 令，则恒成立， 则恒成立， 令，则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故a的取值范围为. 故选：C. 11．已知当时，函数恒成立，求实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题易知时不成立，时，由指对同构转化为，令，即，运用单调性解不等式得到在上恒成立，利用参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】当时，，所以不符合题意； 当由，即， 令，， 所以在上单调递增， ，即， 在上恒成立， ，令， ， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 即， , 故选：B. 12．（24-25高二下·河北·期中），，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可先对不等式进行变形，然后构造函数，利用函数的单调性来求解的取值范围. 【详解】因为，不等式，可化为， 又，所以可化为. 当时，不等式恒成立，， 当时， 设，对求导，可得， 这表明在上单调递增. 由，即， 因为在上单调递增， 所以，由已知对恒成立. 设，对求导，可得. 令，即，则，解得. 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为对恒成立，所以，解得. 故选：A. 13．（24-25高二下·湖北武汉·期末）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【详解】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 14．对恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件式变形为，令，利用导数得，问题转化为，恒成立，利用导数求解. 【详解】由，，即， 令，则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， ，又时，， 所以的值域为，即. 所以，，即，恒成立， 当时，即为，令，则， 所以函数在上单调递减，故，则， 当时，对任意的成立； 当时，即为，由， 当时，，即函数单调递减； 当时，，即函数单调递增； 所以，故； 综上， . 故选：D. 15．已知函数，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】设，原不等式等价于，构造函数，则在上单调递减，可得不等式在上恒成立，利用分离参数法可得在上恒成立，结合导数讨论函数的性质求出即可. 【详解】设，， 等价于，即， 令，则， 所以函数在上单调递减， 则不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，令， 则，令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且， 所以，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 16．已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题设可得，设，，可得，进而得到函数在上单调递减，进而可将问题转化为对于恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，，， 则， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则对于恒成立， 即对于恒成立， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $