专题17 二阶导与洛必达法则（压轴题2大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修二

专题17 二阶导与洛必达法则 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、二阶导的利用 1 类型二、洛必达法则 4 压轴专练 6 类型一、二阶导的利用 二阶导函数 1、前言 导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数。 2、二阶导的用法 判断的单调性则需判断的正负，假设的正负无法判断，则把或者中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数，如果通过对进行求导继而求最值，若或则可判断出的正负继而判断的单调性，流程如下图所示： 一阶导数最小值大于等于0 一阶导数最大值小于等于0 一阶导数无法判断单调性 我们对一阶导数或对其中不能判断符号的部分进行求导 通过二阶导数求出一阶导数的最值 通过二阶导数求出一阶导数的最值 原函数单调增增 原函数单调递增 3、解决这类题的常规解题步骤为 ①求函数的定义域； ②求函数的导数，无法判断导函数正负； ③构造求，求； ④找到的变化关系表； ⑤解答问题. 4、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值. 5、二阶导“失效”，结合隐零点思路 如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下： 若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的，例如确定出在某数之前或某数之后，但是所设的满足=0，通过这个式子可以得到一个关于的等式，然后所设的点肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合这个等式，有的时候能求出一个不包含的最值或者含有一个很简单的数或式子. 1．（24-25高二下·广东清远·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增,则和的可能取值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为____________． 5．已知函数的最小值是，则___________. 6．已知函数，时，，则实数的范围是__________. 7．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 8．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 类型二、洛必达法则 洛必达法则 1、前言 在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。 2、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 3、法则形式 1.法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3），则：. 3.法则3（型）：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； （3），则：=. 【特别提醒】 （1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立. （2）洛必达法则可处理型. （3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则. （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. （5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题. 4、适用类型的转化 （1）型的转化：或； （2）型的转化：； （3）、型的转化：幂指函数类. 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 3．恒成立,求的取值范围 4．已知函数．当时，求的取值范围． 5．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 6．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则_______． 4．（23-24高二下·河南南阳·月考）对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______. 5．当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为______． 6．已知函数，讨论函数的单调性. 7．，恒成立，求的取值范围 8．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 9．已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 10．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 11．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 12．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 二阶导数失灵 根据二阶导判断一阶导的单调性 若一阶导数单调且存在唯一的零点，则设出零点 该零点满足是原函数中最值的点 还满足这个零点使得一阶导数为零 可直接得出原函数的最值或者带有所设零点的式子 $ 专题17 二阶导与洛必达法则 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、二阶导的利用 1 类型二、洛必达法则 9 压轴专练 15 类型一、二阶导的利用 二阶导函数 1、前言 导数最大的作用是判断复杂函数的单调性，我们可以很简单的求一次导数，然后通过求导函数的根，就可以判断出函数的单调区间，进而知道函数的趋势图像，不过这只是最基础的导数的应用，在很多题目中我们求一次导数之后无法求出导函数的根，甚至也不能直接看出导函数的正负，因此无法判断单调性，所以在高考中就可能用到二阶导数。 2、二阶导的用法 判断的单调性则需判断的正负，假设的正负无法判断，则把或者中不能判断正负的部分（通常为分子部分）设为新函数，如果通过对进行求导继而求最值，若或则可判断出的正负继而判断的单调性，流程如下图所示： 一阶导数最小值大于等于0 一阶导数最大值小于等于0 一阶导数无法判断单调性 我们对一阶导数或对其中不能判断符号的部分进行求导 通过二阶导数求出一阶导数的最值 通过二阶导数求出一阶导数的最值 原函数单调增增 原函数单调递增 3、解决这类题的常规解题步骤为 ①求函数的定义域； ②求函数的导数，无法判断导函数正负； ③构造求，求； ④找到的变化关系表； ⑤解答问题. 4、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值. 5、二阶导“失效”，结合隐零点思路 如果调整函数转化为一阶导数并且还出现了一阶导数最小值小于等于零，或一阶导数最大值大于等于零的时候，则单纯的二阶导数将失灵，即用隐零点的思路确定一阶导数的零点的大致位置，如下： 若用零点存在性定理能判断出一阶导数只有一个零点，则设出这个零点为，但是难点就在这里，因为不知道准确零点的区间，因此可能很难找出符合题意区间的，例如确定出在某数之前或某数之后，但是所设的满足=0，通过这个式子可以得到一个关于的等式，然后所设的点肯定是原函数唯一的最值点，因此若求原函数的最值则需要结合这个等式，有的时候能求出一个不包含的最值或者含有一个很简单的数或式子. 1．（24-25高二下·广东清远·期中）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性与对称性解函数不等式即可. 【详解】由函数，所以，则为偶函数， 当时，又因为,且恒成立， 则，所以在时单增, 综上可得等价于,即或,解得 故选:C 2．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用多次求导及分类讨论判定函数的单调性及最值即可. 【详解】∵，令， ∴， 当时，此时在上单调递增； 当时，此时在上单调递减. 由，故可大致作出的图象如下， ∴， ∴当时，，，在R上单调递增，不成立； 当时，，在上单调递减，成立； 当时，有两个根（）， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立. 综上. 故选：A． 3．若函数在上单调递增,则和的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次求导得到在上单调递增,要想在上单调递增,只需,再通过构造新函数求单调性结合不等式放缩逐项检验. 【详解】,且,且,, 令,则恒成立,故在上单调递增, 要想在上单调递增,只需,即只需. 对A，由， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 所以，与矛盾，则A错误； 对B，令,，则在上恒成立，故在上单调递增, 故，即，则 , 与矛盾，则B错误. 对C，因为，所以 ，符合，故C正确； 对D，令, 当, 单调递减，故，即 因为, ，即,与矛盾，故D错误． 故选：C． 4．函数的单调递增区间为____________． 【答案】/ 【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故的单调递增区间为（或）． 故答案为： 5．已知函数的最小值是，则___________. 【答案】 【分析】先设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数. 【详解】由题意可得. 设，则，所以是偶函数. 当时，. 设，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以， 由. 故答案为： 6．已知函数，时，，则实数的范围是__________. 【答案】 【分析】先应用参数分离，构造新函数，把恒成立转化为求最小值，二次求导根据单调性求最值即可. 【详解】由题可得对任意恒成立， 等价于对任意恒成立， 令，则， 令，则， 在单调递增， ，， 存在唯一零点，且，使得， 在单调递减，在单调递增， ， ，即， 令，显然在单调递增，则，即， 则，. 故答案为： 7．已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 【答案】(1)； (2)极大值点为，无极小值点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可； （2）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为时，所以，求导得. 所以，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，所以，函数的定义域为， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为，无极小值点. 8．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果； （2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以的单调递减区间为, 当时，令，则，所以的单调递增区间为， 令，则，所以的单调递减区间为, 综上：当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令（）， 令（），则， 令（），则， 由得，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得对恒成立，再设新函数（），对此求导研究其最值即可. 类型二、洛必达法则 洛必达法则 1、前言 在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。 2、洛必达法则定义 在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。 3、法则形式 1.法则1（型）：若函数和满足下列条件： （1）设当时， 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3）；则：. 2.法则2（型）： 若函数和满足下列条件： （1） 及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数； （3），则：. 3.法则3（型）：若函数和满足下列条件： （1）及； （2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且； （3），则：=. 【特别提醒】 （1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立. （2）洛必达法则可处理型. （3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则. （4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. （5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题. 4、适用类型的转化 （1）型的转化：或； （2）型的转化：； （3）、型的转化：幂指函数类. 1．（23-24高二下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 2．已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 3．恒成立,求的取值范围 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 4．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 5．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 6．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可. 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 1．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价于，设函数，利用导数求出函数的最大值即得解. 【详解】解：依题意，， 设函数，则， 令，故， 所以函数在上单调递减，而， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则. 故选：B． 2．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用多次求导的方法，列不等式来求得的取值范围. 【详解】的定义域是，， 令， 所以在区间递减；在区间递增. 要使有两个极值点，则， 此时， 构造函数， 所以在上递增，所以， 所以， 所以实数a的取值范围. 故选：D 【点睛】利用导数研究函数的极值点，当一次求导无法求得函数的单调性时，可利用二次求导的方法来进行求解.在求解的过程中，要注意原函数和导函数间的对应关系. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则_______． 【答案】 【分析】分子、分母分别求导再求极限即可. 【详解】. 故答案为： 4．（23-24高二下·河南南阳·月考）对，不等式恒成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】首先不等式参变分离为恒成立，转化为利用导数求函数的最大值，即可求解参数的取值范围. 【详解】由题意可分离参数，即对于恒成立， 令，则只需即可， 则，令，， 所以在上单调递增，且. 所以当时，单调递减； 当时，单调递增；则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 5．当时，不等式恒成立，则实数的最小整数为______． 【答案】0 【分析】不等式恒成立转化为恒成立，构造函数证明恒成立范围即可. 【详解】设，， 则， 设， 则， 当时，，故， 而， 故当时，，故在为增函数， 故，故在为增函数， 所以即恒成立. 当时，， 故存在，使得任意，总有， 故在为减函数，故任意，总有， 所以任意，总有， 故在为减函数，故，这与题设矛盾， 故最小整数为0． 故答案为：0． 【点睛】思路点睛：不等式的恒成立，可以通构建新函数并结合导数的符号来确定新函数的最值，必要时需二次求导并结合局部保号性来处理. 6．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】在上单调递增 【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明. 【详解】依题意，. 令，故，令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，即， 故函数在上单调递增. 7．，恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 8．已知函数.当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】设，只需在时恒成立即可求解． 【详解】设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： 当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. 9．已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案. 【详解】当时，，即， ①当时，，， ②当时，等价于， 即， 令，，则， 记，， 则，因此在上单调递增， 且，所以， 从而在上单调递增， 所以， 由洛必达法则得， 即，. 综上所述，实数a的取值范围为. 10．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 11．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可. 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 12．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）由求得切点的坐标，代入切线方程求得. （2）利用多次求导的方法求得的单调区间. （3）将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得正确答案. 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 二阶导数失灵 根据二阶导判断一阶导的单调性 若一阶导数单调且存在唯一的零点，则设出零点 该零点满足是原函数中最值的点 还满足这个零点使得一阶导数为零 可直接得出原函数的最值或者带有所设零点的式子 $