专题16 导数中的隐零点问题（压轴题3大类型专项训练）高二数学人教A版选择性必修二

专题16 导数中的隐零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、利用隐零点解决最值 1 类型二、利用隐零点判断零点个数 2 类型三、利用隐零点证明不等式 4 压轴专练 5 类型一、利用隐零点解决最值 1、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·山东泰安·月考）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____. 5．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围______． 6．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数__________. 类型二、利用隐零点判断零点个数 1、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 1．设函数．判断并说明函数的零点个数； 2．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．当时，求函数，的零点个数． 3．（25-26高二下·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求函数的极大值； (2)当时，求证：方程有唯一实根． 4．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数. (1)若存在极值，求a的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 5．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若函数有3个不同的零点，求a的取值范围 6．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：的取值范围是的子集； （ii）求在区间内的零点个数. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于-1，求的取值范围； (3)当时，求的零点个数. 类型三、利用隐零点证明不等式 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，． 2．已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 4．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 5．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 6．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，，证明：． 1．（24-25高二下·安徽·月考）若函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，．若，证明：在上有且只有一个零点． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，当时，有两个零点，求a的取值范围． 6．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．当时，记函数的最大值为，证明：． 7．已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 8．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，，．若，，求函数在上的零点个数． 9．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 11．（23-24高二下·福建厦门·月考）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 12．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 导数中的隐零点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、利用隐零点解决最值 1 类型二、利用隐零点判断零点个数 6 类型三、利用隐零点证明不等式 16 压轴专练 27 类型一、利用隐零点解决最值 1、隐零点问题 隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）. 基本步骤： 第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围; 第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式; 第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简: （1）要么消除最值式中的指对项 （2）要么消除其中的参数项; 从而得到最值式的估计. 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】易知的定义域为， 不难发现在区间内单调递增， 又当时，；当时，， 所以存在唯一使得，即， 所以当时，；当时，． 所以在区间上单调递减，在区间内单调递增， 所以的最小值为， 所以，所以，解得. 故选：B 2．（23-24高二下·湖南益阳·月考）已知函数，若，，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围. 【详解】由已知，则， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，，当时， 所以存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，不合题意， 所以则实数a的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高二下·山东泰安·月考）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，求导，令，然后求，分和两种情况讨论，得到的单调性，即可求解. 【详解】设，， 所以， 令，， 所以， 当，即时，对任意，恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当，即时，存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，， 所以，所以在上单调递减， 所以当时，，与题意矛盾，舍去， 所以实数的取值范围是. 故选：. 4．（24-25高二下·山东淄博·期中）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____. 【答案】 【分析】依题将问题转化为不等式在上恒成立，设，通过求导判断函数的单调性，求得，从而推得，即得a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 由可得，即在上恒成立. 设，则，设，显然在上单调递增， 因，故存在，使得，则，即. 当时，，则在上递增；当时，，则在上递减. 故当时，，故有， 即得，故正数a的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数，若有两个零点，则实数k的取值范围______． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的最小值，由零点情况求出最小值点的范围，进而求出的范围. 【详解】函数的定义域为，求导得， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 又当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，则存在正数，使得， 即，，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于正无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 则当且仅当时，函数有两个零点， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，而，由，得， 又函数在上单调递增，因此， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 6．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数__________. 【答案】 【分析】根据题意，令，可知当时符合题意，利用导数可得函数的单调性和最小值，其中，令最小值大于或等于0，进而得解. 【详解】由题意可知，令， 当时，研究函数与的图象， 因为，当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以函数有最小值为， 而为单调递减的直线，如图， 此时不恒成立，不符合题意； 当时，， 令，， 易知在上单调递减，在上单调递增， 且由于函数有最小值为，所以当时，方程有解， 设解为，则，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 由题意恒成立，所以， 所以， 当且仅当时取等号，此时. 【点睛】关键点点睛：利用导数可知方程有解，设解为，则，从而表示出的最小值，进而求解. 类型二、利用隐零点判断零点个数 1、函数零点的存在性定理 函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得. 2、隐零点的同构 实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析 所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作. 1．设函数．判断并说明函数的零点个数； 【答案】一个零点，说明见解析 【分析】由题意求出函数的导数，可得函数的单调性，再根据零点存在定理即得结论； 【详解】函数有1个零点，理由如下： 因为， 所以，所以在上单调递增． 又，而， 所以存在唯一实数，使得， 所以在有且只有一个零点． 2．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．当时，求函数，的零点个数． 【答案】3 【分析】先利用“对数单身狗”技巧将问题转化为的零点个数，再求导分析单调性得到隐零点，然后可判断. 【详解】， 令， 故考虑的零点个数，， 存在唯一使得， 当时，，函数在上单调递减 当时，，函数在上单调递增， 又 当，取，即存在唯一使得，故此时有3个零点． 3．（25-26高二下·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求函数的极大值； (2)当时，求证：方程有唯一实根． 【答案】(1)极大值． (2)证明见解析 【分析】（1）代入并对求导，可得在上单调递增，在上单调递减，进而可求函数的极大值； （2）方程的根，即是的根，令，对其求导后可得，结合条件分析的根的位置关系，当时，易得单调递增，由零点存在定理，可得有唯一实根，当时，易得在上单调递增，在上单调递减，的极大值，且时，，故与x轴只有一个交点，综上即可得证. 【详解】（1）时，函数， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以时，函数取得极大值. （2）方程的根，即是的根， 令， ， ①当时，， 在恒成立，函数单调递增， ，， 由零点存在定理，存在唯一，使得， 所以方程有唯一实根． ②当时，时，，时，， 时，， 在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值，则极小值一定小于0， 当时，，由零点存在定理，存在唯一，使得， 即方程有唯一实根． 综上所述，当时，方程有唯一实根． 4．（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知函数. (1)若存在极值，求a的取值范围； (2)当，且时，证明：函数有且仅有两个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据存在极值的充分条件，求导，利用分类讨论，可得答案； （2）利用导数，研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），， 当，即时，，在上单调递增，没有极值， 当，即时，令，可得，此时函数单调递增， 令，可得，此时函数单调递减， 所以函数在处取得极大值，没有极小值，符合题意， 故a的取值范围为. （2）当时，，， 设， 因为，， 所以在上单调递减， 因为，， 所以在存在唯一零点， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在上存在唯一极值点，且， 由， ， 令，， 由，；，， 则在上单调递增，在单调递减，即， 故，即，故， 故在和上各有一个零点， 所以时，函数有且仅有两个零点． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．若函数有3个不同的零点，求a的取值范围 【答案】． 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，设函数． 因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． 6．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极值点， （i）证明：的取值范围是的子集； （ii）求在区间内的零点个数. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）2个. 【分析】（1）求出、，利用直线的点斜式方程可得答案； （2）（i）根据是函数的极值点求出，设，根据的单调性、零点存在定理可得答案； （ii）求出，设，分、讨论，利用导数判断出单调性可得答案. 【详解】（1）由题意可知：，所以，， 所以曲线在处的切线方程为； （2）（i）易知， 则，由题意， 得，设，则有， 又，且在上单调递增， 根据零点存在定理得，即的取值范围是的子集； （ii）由（i）知，所以，得， 即是一个零点； 易知，设，则， 当时，，故，单调递增， 所以，故函数单调递减，， 故函数在上无零点； 当时，， 设，则， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且，，， 故存在，使， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 故，， 故函数在上有1个零点. 综上所述，在区间内的零点个数为2. 7．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极小值小于-1，求的取值范围； (3)当时，求的零点个数. 【答案】(1) (2) (3)2个 【分析】（1）求出函数在时的解析式，再对其求导，得到切线的斜率，最后结合切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程. （2）求出函数的定义域及导数，根据的取值范围讨论函数的单调性，进而求出极小值，最后根据已知条件求出的取值范围. （3）求出的表达式，再对其求导，分析函数的单调性，然后根据函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数. 【详解】（1）当时，. 则，，即切线斜率为-3. 又，故切线过点. 所以切线方程为：，即. （2）函数的定义域为. . 当时，，则，在上单调递减，无极值，不符合题意. 当时，令，即，解得. 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 因此是极小值点，极小值为， 由极小值小于-1可得，. 令（），则，代入得，即（）. 令（），则. 令，则，解得. 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，故的解集为且， 即且，解得且. 故的取值范围为. （3）当时，，定义域为. 令，则，即, 令，则和有相同的零点. . 令，，则. 因为，所以，即在上单调递增. 又，， 所以，使得. 所以当时，，即，此时单调递减； 当时，，即，此时单调递增； 所以的最小值为. 由得，，则，即. 令，，则，则在上单调递增. 因为，所以，则， 所以，即. 所以的最小值为. 当趋近于0或时，趋近于，又，所以， 所以在和各有1个零点， 故有2个零点. 类型三、利用隐零点证明不等式 1．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，求证：当时，． 【答案】证明见解析 【分析】根据隐零点问题，应用设而不求，得到隐零点的范围，并对含参数的最值消去参数，然后求最值得证． 【详解】证明：由， 得． 设，易知在上单调递增且，， 所以存在，使，即． 根据得， 根据单调递减和得，可得下表． － 0 ＋ 减 最小值 增 则， 根据和函数单调递减得， 所以当时，． 2．已知函数，. (1)求的极值； (2)证明：当时，.（参考数据：） 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出极值； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，再证明即可，或者转化证明不等式，通过构造函数可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，又， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值， 所以的极大值为，无极小值； （2）设， 解法一：则， 令， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又， 所以存在，使得，即. 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以当时，在处取得极小值，即为最小值， 故， 设，因为， 由二次函数的性质得函数在上单调递减， 故， 所以当时，，即. 解法二：要证，即证， 因为，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，所以，即. 3．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，利用分类讨论即可求出函数的单调性； （2）根据有两个零点得出的范围和函数的单调性，求出最小值的表达式，构造函数并求导得出单调性，即可求出实数a的取值范围； （3）写出函数并求导，得出导函数的单调性，求出函数的单调性，利用零点存在性定理，借助放缩法即可证明结论. 【详解】（1）由题意，，， 在中，， ①当时，，函数在单调递减， ②当时，令，解得， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意及（1）得，，， 在中，， ∵有两个零点， ∴，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值，最小值为． ∵当时，；时，， ∴要函数有两个零点，当且仅当． 在中，， ∴函数在单调递增． ∵， ∴当时，， ∴a的取值范围是． （3）由题意，（1）及（2）证明如下，，， 在中，， 在中， ，， ∵为指数函数单调递增，为反比例函数单调递减， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在使得，即，即，即， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 因为对勾函数函数在上单调递增， 所以， 所以. 4．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)当，对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）结合导数即可求得切线方程； （2）令，结合导数求出的最大值后，解不等式即可； （3）法一：结合（2）知，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明；法二：先证，据此转化题目所证不等式，等价为证明，最后通过求导即可证明． 【详解】（1），令，所以切线方程为． （2）因为恒成立，即恒成立， 令，，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 故的最大值为， 因为恒成立，所以， 所以，即实数的取值范围为． （3）法一：由（2）得当时，恒成立， 即，令， 所以， 令，则， 故在上单调递增，所以，即成立，得证． 法二：令， 先证，即证， 令， 当单调递增；当单调递减， 所以，所以，即得证， 因为，所以， 令， 则，令，所以， 所以在上单调递增，又因为， 所以使得，即，也即， 所以时，单调递减；时，单调递增， 所以，代入得， ， 又在时单调递减，而， 所以， 所以， 即成立，所以，原不等式得证． 5．已知函数，． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出直线斜率，进而求出直线方程； （2）利用恒成立，构造函数，求导，利用导数分析函数单调性，进而求出实数的范围； （3）转化已知不等式，构造函数，求导，利用导数证明函数单调性． 【详解】（1）当时，，求导得， ，， 曲线在点处的切线方程为． （2）恒成立，即，即恒成立， 令，则． 令，则， 单调递减，又， 当时，，当时，， 即时，，单调递增； 时，，单调递减. ，故． （3）要证，， 即证，， 令， 则，令， ， 在单调递增， 又，， ，使得， 即，故， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ， 时，恒成立，得， ， 又，， 故， ，时，． 6．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数． (1)若在区间上不是单调函数，求a的取值范围； (2)若方程有两个不等实根，求a的取值范围； (3)当时，，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求得，令，求得，对实数a的取值进行分类讨论，由题意可知，函数在内存在极值点，可得出关于实数a的不等式，解之即可； （2）分析可知，不满足，由可得，由题意可知，直线与的图象有2个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数a的不等式，解之即可； （3）由已知不等式结合参变量分离法得出恒成立，令，利用导数分析函数的单调性与极值，求出函数的最小值，即可证得结论成立． 【详解】（1）由，得， 记，所以， 当时，恒成立，为增函数，不符合题意； 当时，令，得，令，得， 即在上单调递增，在上单调递减， 因为在区间上不是单调函数，所以，解得， 即a的取值范围为． （2）方程， 当时，方程不成立，所以，则， 由方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点，且， 当或时，，在区间和上单调递减， 当时，，在区间上单调递增． 当时，，当时，， 则当时，且当时，取得极小值， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，，即， 故a的取值范围为． （3）证明：由题意知在上恒成立，即恒成立， 令， 则， 当时，，则，在上单调递增， 当时，令， 则，在上单调递增， 又，， 所以在区间上存在唯一零点，且当时，，则， 当时，，则， 在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以． 1．（24-25高二下·安徽·月考）若函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知转化为恒成立，再求的最小值，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又，， 恒成立，即恒成立，即， 令，， 令，， 在上单调递增，且，当时，， 存在使得，即，即， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， 又，，， ，， ， ，， 又，当且仅当时等号成立， ，，， 实数的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以， 则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】首先等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，最后得到不等式，解出即可. 【详解】不等式对恒成立， 等价于，所以， 设，其中，则，令得， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，又， 所以存在使得， 所以若，则或，即或， ， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以，所以只有才能满足要求， 即，又，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，从而有，解出即可. 4．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，．若，证明：在上有且只有一个零点． 【答案】证明见解析 【分析】当时分析可得只需证明在上有且只有一个零点，利用三阶导数恒小于零得到二阶导数的单调性，进而得到二阶导数的零点，然后得到一阶导数的单调性，最后得到原函数的单调性和零点. 【详解】证明：当时，， 令，易知恒成立，所以在时单调递减， 即，因为时恒成立，所以， 所以在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，，， 单调递减，，， 所以存在，使得， 在上，在上，； 在上递增，在递减， ，； 存在，使得， 在上，，单调递增，在上，； 且，， 所以在区间，存在唯一的，使得， 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点． 5．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，当时，有两个零点，求a的取值范围． 【答案】 【分析】求得，令，得出的单调性及最大值，令，得到，再结合零点的存在性定理，即可求解. 【详解】由函数， 可得，其中，且， 当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，令，解得， 当时，可得，所以存在唯一的使得， 当时，可得， 可取，则，所以函数在上存在一个零点， 所以实数的取值范围为. 6．（2025高二·全国·专题练习）已知函数．当时，记函数的最大值为，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，利用导数分析出的单调性，确定出的零点，然后可分析出的单调性，由此可得关于的表达式，再次利用构造函数思想证明出结果. 【详解】证明：由可知的定义域为， 设，， 所以在上单调递减，且， 又因为，所以，所以， 所以， 所以，使得，即， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是最大值， 所以， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以． 7．已知函数．若函数有两个零点、，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合函数有两个零点、，得出，，将所证不等式变形为证明，然后构造函数，利用函数的单调性可证得结论成立. 【详解】因为，该函数的定义域为，， ①若，则恒成立，不可能有两个零点； ②若，， 令，令，可得，令， 由可得，由可得， 故在单调递增，在单调递减， 且，则， 时符合题意， 因为函数有两个零点、， 则，可得，同理可得， 要证，即证，即证，即证， 即证，即证， 故只需证，即证． 构造函数，则， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以在单调递减，在单调递增，则， 即，在上单调递增， 因为，故，即，故原不等式得证. 8．（2025高二·全国·专题练习）已知函数，，．若，，求函数在上的零点个数． 【答案】有两个零点 【分析】二次求导，由特殊点函数值及零点存在性定理得到的单调性和零点情况. 【详解】当，时，，可得， ， 设，则， 当时，，在上单调递增， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，，所以，使得， 时，，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，，使得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，由得，， 又因为，易知，所以， 所以，使得， 综上，函数在上有，0两个零点． 9．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)若在区间上存在唯一零点，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数的符号确定单调区间； （2）方法一分离参数，转化为不等式关系，构造新函数，求导，确定单调性可证；方法二利用泰勒展开式，进行放缩证明. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 若，则对恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令，解得；令，解得； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：若，的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）法一：因为在区间上存在唯一零点， 所以存在唯一的，有，化简得， 若要证明，则只需，即只需，， 不妨设，，求导得， 令，， 求导得， 所以当时，单调递增， 所以， 当时，单调递增， 所以，即当时，有不等式成立. 法二：由于，由（1）可知且所以， 由泰勒展式可得，解得， 所以． 综上所述：若在区间上存在唯一零点，则． 10．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数. (1)已知在区间上单调递减，求的取值范围； (2)当时，证明：若，则. （参考数据：） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导并等价转化在恒成立，然后构建函数求导判断单调性可得； （2）代入，求导可得，然后构建函数求导判断函数的单调性，进一步得到函数的单调性，找到其中一个隐零点，然后代值计算即可. 【详解】（1）由题可知：在区间上单调递减， 则在恒成立， 即在恒成立. 令，在恒成立， 所以在单调递增， 所以. （2）当时，，， 令，， 若，；若，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 又，， 所以存在，， 若，，即； 若，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 在，有最小值，在，有最大值， 因为，所以，则， 由，所以，又，所以 则， 即. 11．（23-24高二下·福建厦门·月考）已知函数. (1)讨论的单调性. (2)求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先确定定义域，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，对进行讨论，即可求出结果； （2）利用（1）中结果，再利用零点存在性原理，即可得出结果. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 令，解得或， 若，则当时，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 若，则当或时，，当时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 若，则恒成立，所以在上单调递减； 若，则当时，，当或时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减， 又，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， 令，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，即，， 当时，，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； 当时，函数在处取得极小值， ， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点； 所以有且仅有一个零点. 12．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的零点个数； (3)探究是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)零点个数为1 (3)存在，最大值为，没有最小值 【分析】（1）求导，可得，，根据导数的几何意义求切线方程； （2）设，利用导数判断的单调性和零点，即可得的零点个数； （3）根据（2）分析的符号，即可得的单调性和最值，结合零点代换运算求解即可. 【详解】（1）因为，， 则，， 所以切线方程为，即. （2）设，则， 可知在上单调递减，且，， 根据零点存在定理可知在区间上存在唯一零点，即的零点个数为1. （3）由（2）可知在上单调递减，且存在唯一零点，使得， 当时，，则在区间上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为. 因为，即， 可得，即， 则， 故的最大值为，没有最小值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $