专题07 解三角形中最值、范围问题的处理（含面积、周长、边等）（压轴题3大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题07 解三角形中最值、范围问题的处理（含面积、周长、边等） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、基本不等式法 1 类型二、函数法 2 类型三、含锐角、钝角三角形的处理 4 压轴专练 6 类型一、基本不等式法 1、基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 2．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)在中，，求周长的最大值. 3．已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 5．（2025高一·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，，，求周长的最小值． 6．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，已知. (1)将的长分别记为，证明：； (2)求的最大值. 7．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 类型二、函数法 1、利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 1．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的周长l的取值范围． 2．已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 3．（23-24高一下·北京·期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围． 4．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， . (1)当时，求的内切圆的半径； (2)求的取值范围. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期中）在中，内角所对的边分别是， (1)若，求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 6．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角所对的边分别为，已知，的平分线与边交于点. (1)用，表示； (2)求的取值范围； (3)若的面积为2，求的最小值. 7．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. (1)求角的大小； (2)若，，为的重心，求的长； (3)求的取值范围. 类型三、含锐角、钝角三角形的处理 1、求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 3、求周长的模型： 4、注意，锐角三角形中，当其中一个角度确定，另外两个角度有最小限制；钝角三角形同理 1．在中，角所对的边分别为，若 (1)求角. (2)若角为钝角，求面积的取值范围. 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 3．（25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. 4．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 5．的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 6．（24-25高一下·广东惠州·月考）设内角所对的边分别为且． (1)求角A的大小； (2)若，求周长l的最大值； (3)若，求锐角面积S的取值范围． 7．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，. (1)若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； (2)若是的重心且，求的取值范围. 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的最大值． 3．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知D为AB边上的一点，且． ①若，，求AB； ②求的取值范围． 4．（23-24高一下·云南·月考）在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） (1)求A； (2)求的取值范围. 5．（24-25高一下·重庆九龙坡·月考）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若点M在线段上，，，求的最小值． 6．记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 7．在钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 8．（24-25高一下·山西·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 9．记钝角的内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的取值范围． 10．（24-25高一下·河南驻马店·月考）在中，． (1)证明：； (2)若，求BC的最小值． 11．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 12．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 13．（24-25高一下·云南曲靖·期末）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 14．（24-25高一下·重庆北碚·期末）中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. (1)求角的大小； (2)若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 15．（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解三角形中最值、范围问题的处理（含面积、周长、边等） 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、基本不等式法 1 类型二、函数法 6 类型三、含锐角、钝角三角形的处理 15 压轴专练 24 类型一、基本不等式法 1、基本不等式 ① ②(当且仅当时取“=”号) 2、解题思路步骤 ①利用基本不等式：，再利用及，求出的取值范围或者利用 1．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）已知的内角的对边分别为，向量，且． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标公式和余弦定理，余弦函数的图象即可求得答案； （2）先由（1）的结论和基本不等式推出，利用三角形面积公式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，所以， 即， 由余弦定理得，因为，所以． （2）由（1）得，即， 当且仅当时，等号成立， 则， 所以当时，面积的最大值为． 2．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)在中，，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，故可求. （2）首先利用余弦定理得到，再利用正弦定理面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 因为，所以，即， 因为，所以. （2），故， 故，当且仅当时等号成立， 故周长的最大值为. 3．已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)求； (2)若，求 的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角形内角的取值范围，即可求得答案； （2）利用正弦定理得出，代入得，再利用余弦定理和基本不等式，即可求得答案； 【详解】（1） 因为，所以不为； 所以， 所以， 又因为，所以，故， 所以； （2）由（1）得：，所以， 所以，所以； 由余弦定理：； 根据基本不等式得：，代入得：，仅当时，等号成立， 解得：，所以的最大值为. 4．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得，从而可得； （2）由等面积法，利用三角形面积公式化简可得，再由基本不等式可得结果. 【详解】（1）， ， ， 化简可得，； （2） C的平分线与交于点D，， ， ， 化简可得，即， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值是. 5．（2025高一·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，，，求周长的最小值． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理及基本不等式求出的最小值即可. 【详解】依题意，，解得， 由余弦定理得， 当且仅当取等号，即，又， ，当且仅当取等号， 所以的最小值为. 6．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，已知. (1)将的长分别记为，证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)证明见详解. (2) 【分析】（1）运用向量数量积的定义和三角形的余弦定理证明结论成立即可； （2）根据余弦定理以及基本不等式的性质，化简计算可得的最大值. 【详解】（1）在中，设角所对的边为， 由向量数量积的定义可得， 再由余弦定理得， 化简得，故原命题成立. （2）由（1）可得，即， ， 当且仅当时，等号成立，的最小值为， 又，， 故的最大值为. 7．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简，再结合基本不等式求最值. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 类型二、函数法 1、利用三角恒等变换转化为内角有关的三角函数。 ①和差角公式：， ②辅助角公式： （其中）． 2、利用三角函数思想：，结合辅助角公式及三角函数求最值 1．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B； (2)若，求的周长l的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边及角得， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得. 【详解】（1）由正弦定理，得， ∵，， ∴，即， 又∵，则， ，则； （2）由（1）及正弦定理可知，， ， ， ∴， 又，，∴， ∴， ∴，即， ∴的周长l的取值范围为． 2．已知的内角所对的边分别为，向量，，且． (1)求角； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示转化，再利用正弦定理边角互化，再结合三角形内角的范围即可求出角； （2）由（1）可知，将其代入，利用差角的正、余弦公式化简变形为，再结合角的范围及在上的单调性即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理可得， 即.因为，所以， 所以，即.因为，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 因为，所以， 因为在上单调递增， 所以，即， 所以， 即的取值范围为. 3．（23-24高一下·北京·期末）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)若D是边AB的中点，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理可以求解； （2）令，利用正弦定理，把边长都用表示，最后用三角函数知识解得取值范围. 【详解】（1）因为 所以， 所以，又因为，所以； （2） 令,因为，所以 由正弦定理可得： , 所以， 所以， 又因为，所以 所以 4．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，， . (1)当时，求的内切圆的半径； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算得出角B，再应用面积计算内切圆半径； （2）应用余弦定理得出函数，再应用函数的单调性得出值域即可求解. 【详解】（1）因为，，得， 由及正弦定理得， 由余弦定理得，又，故， 设内切圆的半径为，则， 解得. （2）由题意知，， 在中，， 由三角形的三边关系可得得， 令，由对勾函数的性质可得当时单调递减， 当时，单调递增， 又，，， 所以， 所以的取值范围为. 5．（24-25高一下·辽宁丹东·期中）在中，内角所对的边分别是， (1)若，求角； (2)若为边上一点，且满足，， ①求的值； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；②. 【分析】（1）利用余弦定理求解. （2）①由已知可得AD是的平分线，利用三角形面积公式列式计算；②利用正弦定理，结合三角恒等变换及正弦函数性质求出范围. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得，而， 所以． （2）①由，得AD是的平分线， 由（1）知，，得，在中，， 即，则， 所以. ②在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得， 则，由，得， 因此， 由，得，则， 所以的取值范围为. 6．（24-25高一下·安徽·月考）在中，角所对的边分别为，已知，的平分线与边交于点. (1)用，表示； (2)求的取值范围； (3)若的面积为2，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量基本定理，以及平面三点共线时向量系数和为1，即可得出答案； （2）结合（1）中所得与余弦函数的性质，化简得出的表达式即可； （3）根据三角形的面积公式得出，再根据余弦定理得到的表达式，最后根据基本不等式即可解答. 【详解】（1）因为平分， 所以存在实数，满足， 因为，，三点共线，所以，则， 所以. （2）设，则. 由（1）可得，即， 又，故. 因为，所以，， 故的取值范围是. （3）由题意得，所以. 由余弦定理得. 令，则，， 所以，其中， 则，得， 所以，即的最小值为. 7．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在①，其中为角的平分线的长（，交于点）；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答： 在中，内角，，的对边分别为，，，______. (1)求角的大小； (2)若，，为的重心，求的长； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)给出了三个不同的条件，分别通过三角形的面积公式、正弦定理、余弦定理等知识来求解的度数. (2)由余弦定理求出BC的长度，再求出cos B，然后在利用余弦定理求出AM的长度，最后根据重心性质求出AG的长度. (3)利用正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，然后通过三角函数的恒等变换将表达式化简为只含有的形式，最后根据C的取值范围确定的取值范围，进而得出m的取值范围. 【详解】（1）方案一：选条件①. 由题意可得，. 为的平分线，， ，即 又，，即， ，， ，. 方案二：选条件②. 由已知结合正弦定理得， 由余弦定理得， ，. 方案三：选条件③. 由正弦定理得，， 又， ， ， 易知， ，，. （2）法1 延长交于点，因为为三角形的重心， 所以为的中点， 所以， . 法2 在中，由余弦定理可得，， ，. 延长交于点， 为的重心，为的中点，且. 在中，由余弦定理可得，， ，. （3） 因为，所以， 从而 类型三、含锐角、钝角三角形的处理 1、求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 2、面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 3、求周长的模型： 4、注意，锐角三角形中，当其中一个角度确定，另外两个角度有最小限制；钝角三角形同理 1．在中，角所对的边分别为，若 (1)求角. (2)若角为钝角，求面积的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简可求的值，进而求出角； （2）根据余弦定理可求出的取值范围，进而求面积的取值范围. 【详解】（1） ， 即 又，即得 又或 （2）角为钝角， 由余弦定理得： 角为钝角，，即 2．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知钝角△ABC中，. (1)若，，求； (2)若，求△ABC的周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再根据钝角三角形，进而确定； （2）表示周长，化成关于的函数，借助三角函数的取值范围求得答案. 【详解】（1）设的所对的边为， 则依题意，，，， 由余弦定理得，即， 即，解得或， 当，最大，最大，此时， 所以为锐角，不合题意； 当，最大，最大，此时， 所以为钝角，符合题意， 所以. （2），，设外接圆半径为， 则，则， 则周长 因为钝角△ABC，所以， 所以， 所以， 所以， 所以△ABC的周长取值范围为. 3．（25-26高一·全国·假期作业）设锐角的内角所对边分别为，且 (1)若的面积为，求的周长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合两角和差正弦化简可得，再根据余弦定理及三角形面积公式计算即可求解； （2）利用辅助角公式结合正弦型函数性质计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 则， 即， 因为为锐角三角形，所以，得，所以， 因为，所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 所以，即的周长为； （2）由（1）知，， 因为是锐角三角形，所以，，得， 此时， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 4．（24-25高一下·浙江·期中）在锐角中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，求边长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式对原式进行化简，得到，再利用三角形内角的性质求解角度即可. （2）先利用正弦定理求出，再利用锐角三角形的性质求出，最后结合正弦函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 则， 得到， 因为，所以， 化简得，而，则解得. （2）由正弦定理得，则， 因为为锐角，所以，， 解得，结合可得， 得到，则，故. 5．的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)若，，求的面积； (2)若角为钝角，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，即可得； (2) 利用正弦定理以及三角恒等变换可得,即可得解； 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理：， 所以由正弦定理， 又因为， 所以，因为，所以， 因为，所以， 由余弦定理， 因为，，所以，所以， 所以的面积. （2）因为角为钝角，所以，所以， 因为，所以， 代入得, 因为，所以，即， 所以的取值范围为. 6．（24-25高一下·广东惠州·月考）设内角所对的边分别为且． (1)求角A的大小； (2)若，求周长l的最大值； (3)若，求锐角面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)18 (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和正弦公式化简可求解角； （2）利用余弦定理结合配方思想和基本不等式可求得，即可求解周长最值； （3）利用正弦定理把边化角，就可以把面积问题转化到角的三角函数值域问题来求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理，得． 又在中，， 所以， 则， 又，则，所以， 又，所以． （2）中，由余弦定理得， 所以，得，即， 当且仅当时取等号. 故周长l的最大值为18． （3）在中，因为，由正弦定理得：， 得 所以． 所以，故，所以， 故，所以， 所以锐角面积S的取值范围是． 7．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知锐角的内角，，的对边分别为，，. (1)若 （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的取值范围； (2)若是的重心且，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2) 【分析】（1）（i）由正弦定理边化角可得，讨论即可得证；（ii）由题意得，故只需求出角的范围即可得解； （2）由题意得，再结合余弦定理有，进一步求得，最后结合对勾函数的性质即可得解. 【详解】（1）（ⅰ）：因为 所以，由正弦定理得：， 因为，所以 原式等价于 得：， ，又因为，， 所以，即 （ⅱ）由（1）知，所以， 所以， 因为三角形为锐角三角形， 所以，， ， 所以； （2）设中点为，用向量，表示向量，， 同理，可得 由得，， 所以 所以， 化简得：，即① 由余弦定理可得：② 联立①②得 因为为锐角三角形，所以，， 则有：，则， 即，令，则，即 ， 令，， 由双勾函数的性质可得：， 所以， 所以的取值范围是. 1．（24-25高一下·吉林长春·月考）已知的内角的对边分别为，的面积为，已知. (1)求； (2)若，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理，结合题中条件即可求解； （2）用余弦定理结合重要不等式可得，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以. 由三角形面积公式可知及，可得，即. 因为，所以.又，所以. （2）由（1）知. 因为，所以由余弦定理可得. 由不等式可得，所以，即， 当且仅当时等号成立，有最大值为16. 所以， 所以的面积的最大值为. 2．（24-25高一下·贵州安顺·期末）中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，满足． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用共线向量的坐标性质化简得，再结合角A的范围即可求得结果； （2）利用余弦定理建立关系，再利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1），，． ， ， ， （2）由（1）得， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取等号，解得， 所以 所以的周长的最大值为. 3．（24-25高一下·山东滨州·期末）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． (1)求A； (2)已知D为AB边上的一点，且． ①若，，求AB； ②求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①3；②. 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）①由（1）的结论，利用余弦定理求解；②利用正弦定理，结合三角恒等变换求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理， 得，整理得， 而，则，又， 所以. （2）①在中，由余弦定理得， 则，而，则， 所以. ②在中，由正弦定理，得， 在中，，则，即， 而，则，， 因此 ，而，于是，， 所以的取值范围是. 4．（23-24高一下·云南·月考）在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且________在①，，且，②，③.这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答.（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） (1)求A； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别就三种情况，运用正弦定理和余弦定理，三角形内角和与和差角公式对已知等式进行合理变形，最后借助于角的范围，即可求得； （2）由正弦定理将边b，c分别用角C的三角函数式表示，代入所求式，化简得，再利用角的范围和正弦函数的图象，即得所求式的范围. 【详解】（1）若选①，由得，， 由正弦定理，， 则，整理得，， 因，则有，又，故； 若选②，， 因， 代入得，， 展开整理得，，即， 因，则有，由正弦定理，， 又因，故得，因为，所以； 若选③，因为，所以， 即， 由余弦定理，得，，， 在三角形中，则或（舍），故. （2）因为，则， 因为， 所以， 所以. 因为，所以，所以， 所以. 5．（24-25高一下·重庆九龙坡·月考）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求B的大小； (2)若点M在线段上，，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理边角互化，化简得到，所以； （2）利用面积关系可得关系，然后利用基本不等式求最值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则， 整理得， 而，则，两边平方得， 又，所以，，于是，解得，所以． （2）由（1）知，由，则， 由，，则， 则，即， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 6．记内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求证： ①； ②； (2)求角的最大值． 【答案】(1)① 证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）先化简原等式，然后由正弦定理得到，然后根据余弦定理进行化简即可.（ii）由（i）的结果利用正弦定理化简即可证明. （2）先根据余弦定理列出的表达式，然后利用基本不等式结合三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）（i）由，得， 所以，由正弦定理得，     由余弦定理得， 所以． （ii）由，得，     所以，     所以． （2）由（1）（i）的结论可得 ，在（1）（i）的证明中，已证得 ， 由基本不等式可得 ，故 ，即 （当且仅当时取等号）， 所以 ， 因为，所以角的最大值为. 7．在钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理及和差角正弦公式进行边角互化后变形整理即可求解； （2）理由正弦定理分别表示出，然后运用三角恒等变换公式整理化简后，利用正弦函数的图象及性质求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，所以， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以. （2）∵， ∴，， ∴的周长为 ． ∵为钝角三角形，设C为钝角． 则，又，∴． ∴，∴． ∴． ∴的周长的取值范围是. 8．（24-25高一下·山西·期中）在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，试判断的形状，并说明理由； (2)若，则的面积为，求，的值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面积公式和正弦定理，余弦定理可求答案； （2）利用面积公式和余弦定理可求答案； （3）先化简目标式，结合角的范围可得答案. 【详解】（1）因为， 所以 因为，故得， 由余弦定理可得， 又因为，所以； 若，即，且，可得，， 所以为直角三角形. （2）因为，则，解得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以. （3）因为 . 因为，且三角形是锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则， 所以的取值范围为. 9．记钝角的内角的对边分别为，已知． (1)若，求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简整理得到，结合求出，从而得到； （2）由（1）知，分与两种情况，利用正弦定理得到，由对勾函数可得解. 【详解】（1）由已知得，， 即， 即， 即． 若，则， 因为，故． 从而． （2）由得， 若，则，即，与为钝角三角形矛盾． 因此，得，故， 所以 ， 因为，所以，， 所以的取值范围为． 10．（24-25高一下·河南驻马店·月考）在中，． (1)证明：； (2)若，求BC的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，得到，结合三角形的内角和定理，即可求解. （2）由（1）可得，，由正弦定理得，进而化简得到，令，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）证明：由，可得， 所以， 即，所以， 由，，可知或， 所以或， 若，则，与题意不符，所以， 所以，因此． （2）解：由（1）可得，， 在中，由正弦定理得， 所以， 又由， 因为，可得， 代入，可得 ， 令，则， 当时，取得最小值． 11．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． (1)证明：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理实现边角转换，结合两角差的正弦公式、正弦函数性质进行求解即可； （2）根据锐角三角形的性质求出角的取值范围，结合正切的二倍角公式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理有，则． 因为，， 所以， 所以，即． （2）因为为锐角三角形， 所以，，， 解得， 则， 又，则，因为在上单调减， 所以，即． 12．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，利用辅助角公式得，结合角的范围即可求解. （2）利用正弦定理得，然后利用三角恒等变换得，结合，利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 13．（24-25高一下·云南曲靖·期末）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）6；（ii） 【分析】（1）由题中条件根据正弦定理边角互化，再利用余弦定理可得； （2）（i）根据向量的线性运算可得，两边平方得，由基本不等式可得的最大值； （ii）设，结合与，可得，令，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）因，由正弦定理边角互化可得： ，即， 由余弦定理可得. （2）（i）因， 所以， 又，， 则 ， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号. 故的最大值为6.     （ii）设，则，其中. 又，则.   由（1）可得， 则. 注意到， 对于，令，其中，则， 则，         当且仅当，即时取等号. 则，     则，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 14．（24-25高一下·重庆北碚·期末）中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若. (1)求角的大小； (2)若，点是上的动点， ①若点满足，求的面积； ②若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式得，由正弦定理得，最后由两角和的正弦公式即可求解； （2）①利用得，在和利用余弦定理得，在中由余弦定理得，即可求解，进而得，又即可求解； ②记则，在中，由正弦定理得，在等腰中，，由即可求解. 【详解】（1）由得，， 则，由正弦定理得 ； （2）①在中，由余弦定理：得： ，化简的：① 由得 即：，代入数据化简得： ②，联立①②得代入②式解得： ， ； ②记则， 在中，由正弦定理得： 在等腰中， 由题意，则， ，即的取值范围为. 15．（24-25高一下·四川凉山·期中）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)若，求的值； (3)在锐角中，内角的对边分别为，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的单调性即可得解； （2）可得，再根据两角差的余弦公式及辅助角公式即可得解； （3）根据题意求出，再由结合正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理化简，进而可得出答案，注意三角形为锐角三角形. 【详解】（1） ， 令，则， 故函数的单调增区间为； （2），则， ， ； （3），则， 又，则， 故，即， ， 在锐角中，，则， 令， 则. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $