专题06 解三角形中角平分线、中线问题的处理（压轴题5大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题06 解三角形中角平分线、中线问题的处理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、角平分线处理1：内角平分线定理与直接正余弦定理 1 类型二、角平分线处理2：等面积法 6 类型三、中线处理1：利用余弦定理 9 类型四、中线处理2：向量法 12 类型五、类中线问题 15 压轴专练 19 类型一、角平分线处理1：内角平分线定理与直接正余弦定理 △ABC中，AD平分∠BAC. 角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 1．（24-25高一下·山东·月考）在中，在线段上，为的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积可得，再利用向量的线性运算求解判断. 【详解】在中，为的角平分线，， ，即， 因此，所以. 故选：C 2．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则，根据正弦定理得角平分线定理得，求得，再根据正弦定理化简得，求出，进而，即可得解. 【详解】，则，设，则， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得， 所以，所以， 由正弦定理得，所以， 所以，化简得， 所以或（舍去），又，所以， 所以. 故选：C 3．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______. 【答案】/ 【分析】法1，由角平分线性质定理可得，由，结合余弦定理列式求得，再由余弦定理求得答案；法2，同法1得，再由Stewart公式，求得，再由余弦定理求得答案. 【详解】法1：如图，由角平分线性质定理得，即，设，则， 由图可知，所以，即， 解得：，所以，故. 解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则， 由Stewart公式，，解得：，所以， 故. 故答案为：. 4．中，，，，的角平分线交于，则______. 【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】由题意可知： ， ， 由角平分线可知：， 在中，由正弦定理，所以， 所以. 故答案为：. 5．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角的取值范围分析求解. 【详解】在中，由得， 由余弦定理得， 且，所以. 又因为AD是的平分线，则， 在中，由正弦定理得， 可得， 且是锐角三角形，所以，解得， 则，可得，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高一下·湖南娄底·月考）在中，点在线段上，平分． (1)尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； (2)若，，则是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别在和中，利用正弦定理得出等式，借助于诱导公式化简，将两式作比即得； （2）根据（1）推得，由向量运算得到，再利用向量模的运算律计算即得. 【详解】（1）利用正弦定理证明：设，则，， 在中，由正弦定理，， 在中，由正弦定理，， 因，两式相比，可得：； （2）由（1）得，故,于是, 两边平方得：， 故. 类型二、角平分线处理2：等面积法 等面积法 1．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知在中，的角平分线与边相交于点，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等面积列出方程求解即得. 【详解】依题意，设，， 由，可得， 解得. 故选：C. 2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用角平分线表示面积求出边长t,再应用三角形面积公式计算即可. 【详解】设, ， 所以, 所以 故选：D. 3．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【详解】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为______． 【答案】 【分析】由三角形的等面积法，可得，的值，进而求出的值． 【详解】因为，，的角平分线， 由等面积可得， 即， 即， ，因为， 所以，， 所以． 故答案为：． 5．在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为______. 【答案】 【分析】根据已知可推得.根据，即可得出.根据基本不等式，即可得出答案. 【详解】    设角A，B，C的对边分别为a，b，c. 因为，所以. 由已知可得，. 又，， 即， 整理得， 当且仅当时，等号成立. 故AM的最大值为. 故答案为：. 类型三、中线处理1：利用余弦定理 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 1．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两次余弦定理即可求解. 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据两角互补余弦值之和等于，然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方程，然后利用基本不等式求出最值即可. 【详解】由题意得，， 所以，， 又，且是的中点，所以， 在中，， 在中，， 所以， 即，得，当且仅当取等号， 所以最大值为. 故选：C. 3．已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】分别在和中，利用余弦定理得到，，根据，两式相加得到，然后利用余弦定理结合基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 在中，由余弦定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 因为，所以， 两式相加得，则， 当且仅当时，等号成立， 所以， 因为， 所以， 故答案为： 类型四、中线处理2：向量法 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 向量法：,平方即可； 1．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理得，然后利用中线的向量表示得，利用数量积的运算律及模的运算公式求解的长即可. 【详解】由余弦定理得，解得（负根已舍去）， 因为是边上的中点即， 所以， 所以. 故选：D 2．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，可得，进而可求的最大值. 【详解】为中线，则，两边平方得， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 则. 故选：B. 3．在中，是边的中点.若，，，则______________． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理计算，再利用做基底计算即可. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式化简求值即可求，利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】由，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 由余弦定理可得， 因为是的中点，所以， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 5．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 类型五、类中线问题 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理结合条件可得，结合图形推得，再利用向量数量积的运算律求模长即可. 【详解】由，可得，由余弦定理，， 由， 因，则， 所以. 故选：C. 2．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理与余弦定理，结合平面向量求长度得出线段的表达式，再由三角函数值域求解即可. 【详解】因为，故， 而，则，； 因为角， 设，， 代入正弦定理化简得：， 则 由， 两边平方得展开计算得： ， ； 由，则有，，则 ， 则， 因为，， ，故， 所以，即 当且仅当，等号成立. 故选：C. 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，对已知条件进行三角恒等变换即可求出A； （2）用表示，利用向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， 即， 则， ，即． ∵，∴，那么，解得． 又∵，∴． （2）∵，∴， 即， 两边同时平方： ， ， ∴， ∴， 即． 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若， (1)求角B的大小； (2)若，D为AC边上一点，，，求△ABC的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角； （2）因为，根据向量的模可得，再结合余弦定理得，可得的值，即可求得面积. 【详解】（1）根据题意，， 即， 根据正弦定理，， 所以，，得， 所以，由余弦定理得，又B为三角形内角， 所以； （2）根据题意，， 则， 即①， 又根据余弦定理， 即②， 由①②可得， 所以. 1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理，结合面积可求和，利用，可得，进而可求得. 【详解】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】在中，由余弦定理求得，根据是的平分线，得，所以，在中应用余弦定理求得b，即可求得. 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 3．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）（多选题）中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（   ） A．若是中线，则 B．若是高，则 C．若是的角平分线，则 D．若，则是线段的一个三等分点 【答案】BD 【分析】先由余弦定理求出，对于A若是中线，则，利用向量即可判断，对于B若是高，则即可判断，对于C若是的角平分线，则，由 即可判断，对于D若是线段的一个三等分点，则或，利用向量求即可判断. 【详解】由余弦定理有，又，所以， 对于A：若是中线，则，所以 ，所以，故A错误； 对于B：若是高，所以，所以，故B正确， 对于C：若是的角平分线，所以， 由有：， 所以，故C错误； 对于D：假设是线段的一个三等分点，则或， 当时， ，所以， 当时， ，所以， 故D正确， 故选：BD. 5．（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 6．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，已知，，，点为边的中点，______． 【答案】/ 【分析】在中，利用余弦定理求，在，中分别利用余弦定理求，，由此列方程求；在中由余弦定理求，再由同角关系求. 【详解】由余弦定理，得， 即，则． 在中，由余弦定理，得， 在中，由余弦定理，得， 由与互补，则， 所以，解得． 在中，由余弦定理，得， 因为，所以，     所以． 故答案为： 7．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线交于点，则______，______． 【答案】 / 【分析】根据余弦定理可得；利用平面向量基本定理可得，然后利用向量夹角公式计算. 【详解】由题可知：， 由边上的两条中线交于点，所以为的重心， ，， ， , ， 所以. 故答案为： ， 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 【答案】 【分析】设，，通过角平分线定理得出，再利用中垂线过点 M，可得出与相似，从而得出，结合三角形性质和余弦定理即可求解. 【详解】设，，根据角平分线定理得， 所以，， 因为线段AB的中垂线过点 M，所以，, 所以与相似，所以，即，化简为， 因为，所以， 所以， . 故答案为：， 9．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 【答案】8 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理边角转化可得为直角，由等面积法得，结合基本不等式即可求解 【详解】 设在中，角所对的边分别为. 因为，所以， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为为的角平分线，所以. 由得， 整理得，即. 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，故面积的最小值为8. 故答案为：8. 10．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先设，然后利用正弦正理把用表示出来，再结合三角函数有关知识即可求出的取值范围. 【详解】如图，设，则，，，    在中，由正弦定理得，即， 所以 ， 在中，由，即得， 所以， 由于在上单调递减，所以， 所以. 故答案为：. 11．（2025高一下·全国·专题练习）在中，已知． (1)若为的中线，且，，求的长； (2)若为的角平分线，且，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由正弦定理及二倍角公式化简可得，解法一：由，结合向量数量积运算律及余弦定理化简计算即可求解；解法二：在和中，由余弦定理化简计算求解；解法三：在和中，由余弦定理化简计算求解. （2）解法一：设，由得，结合正弦定理及余弦定理化简计算即可求解；解法二：同解法一，根据同角三角函数基本关系及二倍角公式得，，在利用正弦定理化简计算即可；解法三：由得，同解法一结合二倍角公式得，代入计算即可求解；解法四：在△和△中，由余弦定理及结合解法一计算即可求解. 【详解】（1），由正弦定理及倍角公式， 得， 又，， ，，． 解法一：为中线，， ， 又，∴， 由余弦定理推论，得， 代入上式得，，； 解法二：在和中，由余弦定理得 得，代入②，得， ，， ； 解法三：在△和△中，由余弦定理，得 ，，上述两式相加， 得，， ； （2）解法一：设，则，， 由，得，，，， 又，，． 在中，由正弦定理，得， 即，． 在中，，， 由余弦定理，得； 解法二：同解法一，得，，，， 又为锐角，， 由倍角公式：， ， 在中，由正弦定理，， ． 解法三：由，得 ， ， 同解法一，得，，， 由倍角公式：，又为锐角，， ． 解法四：在△和△中，由余弦定理，得 ①， ②， ，，①②，得 ，， 同解法一，得，，. 12．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为．D为线段上一点，且，． (1)求c； (2)求． 【答案】(1)或； (2)当时，；当时，. 【分析】（1）由题意得，根据向量运算律计算即可求解； （2）由题意计算，根据余弦定理及正弦定理计算即可求解. 【详解】（1）因为D为线段上一点，且， 所以， 所以， 因为， 所以，即， 化简得，解得或； （2）因为，且， 所以， 由余弦定理得， 当时，得， 由正弦定理得； 当时，得，此时. 13．如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理计算结合角的范围求角； （2）应用正弦定理结合面积公式计算求解； （3）应用正弦定理结合角平分线性质，两角差的正弦公式计算求值. 【详解】（1）由题得， 由正弦定理得， ，，又， ，． （2），，， 又，，， ，，，，． 所以的面积为． （3）设，则，因为，所以． 在中，由正弦定理可得． 在中，由正弦定理可得．所以， 所以，． 所以 ． 14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 (1)求角的大小 (2)若是的角平分线，，，求的长度 (3)若，点满足，，求的面积； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得，可求解； （2）由题意可得，计算可求解； （3）由已知可得，平方可得，又由余弦定理可得，计算可得的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以，又，； （2）若是的角平分线，又， 所以， 所以，又，， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 由余弦定理可得，又， 所以，解得， 所以， 所以的面积为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解三角形中角平分线、中线问题的处理 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、角平分线处理1：内角平分线定理与直接正余弦定理 1 类型二、角平分线处理2：等面积法 3 类型三、中线处理1：利用余弦定理 4 类型四、中线处理2：向量法 4 类型五、类中线问题 5 压轴专练 6 类型一、角平分线处理1：内角平分线定理与直接正余弦定理 △ABC中，AD平分∠BAC. 角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 1．（24-25高一下·山东·月考）在中，在线段上，为的角平分线，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一·全国·假期作业）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则______. 4．中，，，，的角平分线交于，则______. 5．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为，且，若D是的角平分线与BC的交点，则的取值范围是________. 6．（24-25高一下·湖南娄底·月考）在中，点在线段上，平分． (1)尝试利用等面积法或者正弦定理证明角平分线定理，即请证明：； (2)若，，则是多少？ 类型二、角平分线处理2：等面积法 等面积法 1．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知在中，的角平分线与边相交于点，且，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川宜宾·期末）在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·重庆·期中）在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为______． 5．在中，，是的角平分线，且交于点.若的面积为，则的最大值为______. 类型三、中线处理1：利用余弦定理 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 1．在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知的内角的对边分别为，且边上中线长为，则最大值为（　　） A．3 B． C．2 D． 3．已知在中，为边上的中线，且=4，则的取值范围为_________. 类型四、中线处理2：向量法 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 向量法：,平方即可； 1．（24-25高一下·广东茂名·期中）在中，角的对边分别为是边上的中点，则中线的长等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．在中，是边的中点.若，，，则______________． 4．（23-24高一下·四川成都·期末）在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是_________. 5．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 类型五、类中线问题 1．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 2．已知在中，角，边.点在线段上满足，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，点是边上一点，且，求的长． 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若， (1)求角B的大小； (2)若，D为AC边上一点，，，求△ABC的面积. 1．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 3．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）（多选题）中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（   ） A．若是中线，则 B．若是高，则 C．若是的角平分线，则 D．若，则是线段的一个三等分点 5．（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，，，，若为中点，则长为________. 6．（24-25高一下·广东广州·期中）在中，已知，，，点为边的中点，______． 7．（24-25高一下·北京丰台·期末）如图，在中，已知，，，边上的两条中线交于点，则______，______． 8．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）已知在△ABC中， AB=AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点， 线段AB的中垂线过点 M，则 =_______，_______ 9．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，，的角平分线交于，，则面积的最小值为______． 10．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是______． 11．（2025高一下·全国·专题练习）在中，已知． (1)若为的中线，且，，求的长； (2)若为的角平分线，且，，求的长． 12．（24-25高一下·陕西西安·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为．D为线段上一点，且，． (1)求c； (2)求． 13．如图，在中，内角，，所对的边分别为，，，且，． (1)求； (2)若，，求的面积； (3)已知的角平分线交于，且，求． 14．在中，角，，的对边分别为，，，已知，点是上的动点 (1)求角的大小 (2)若是的角平分线，，，求的长度 (3)若，点满足，，求的面积； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $