第02讲平面向量的数量积 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第02讲平面向量的数量积 【题型1】定义法求向量的数量积 例题1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【针对训练】 1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 2．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 4．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 6．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为 . 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 【题型2】用数量积的定义求模长 例题1．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【针对训练】 1．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 3．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 4．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 【题型3】求向量的夹角 例题1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则与的夹角为 ． 5．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【题型4】已知模长求参数或参数的取值范围 例题1．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数 . 【题型5】求投影向量 例题1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为 . 【题型6】求投影数量 例题1．（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【针对训练】 1．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，则在上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 3．（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 【题型7】基底的概念 例题1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【针对训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（25-26高三上·山东青岛·期末）中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型8】向量线性运算的几何应用 例题1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【题型9】平面向量基本定理与爪子定理 例题1．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【针对训练】 1．（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估数学试题）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 2．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 7．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 8．（25-26高一上·广东广州·期末）设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于 ． 【题型10】平面向量中的大题综合 例题1．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【针对训练】 1．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲平面向量的数量积 【题型1】定义法求向量的数量积 例题1．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知向量与的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D．2 【详解】因为向量与的夹角为， 所以. 【针对训练】 1．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【详解】已知， 因为， 所以. 2．（25-26高二上·江苏连云港·期末）已知，，且与的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【详解】. 3．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    4．（2026·四川巴中·一模）已知平面向量满足，与的夹角为，则（    ）． A．7 B．1 C． D． 【详解】因为. 5．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，则，设所成的角为，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 【详解】因为，所以，即. 又因为，所成的角为，所以，解得. 6．（2026·湖北宜昌·模拟预测）设为单位向量，且，则 ． 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 7．（25-26高一上·福建厦门·期末）单位向量 满足，则 【详解】由两边取平方，可得， 因，则. 故答案为：. 8．（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，在上的投影向量为，则的值为 . 【详解】由投影向量公式，在上的投影向量为， 由题意得 又，代入得即 故答案为：2 9．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末）在中，，，，D为BC中点，则 ． 【详解】∵D为BC中点，∴， ∵，∴，即，∴， ∴. 【题型2】用数量积的定义求模长 例题1．（2026·广东湛江·一模）设为单位向量，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【详解】因为为单位向量，所以， 因为，平方得，即， 所以，即. 故选：B． 【针对训练】 1．（2026·山东济南·一模）若向量满足，且，则的值为 . 【详解】因为，所以两边平方得，则， 因为，所以. 2．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【详解】因为向量满足，则， 又与的夹角为， 所以， 则. 3．（25-26高三上·山西晋中·期末）已知向量，满足，，则 . 【详解】由题可知，，即 所以. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知是单位向量，，若，则的最大值是 ． 【详解】由及， 将两边平方得， 则，，而， 所以，当且仅当向量与反向共线时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 【题型3】求向量的夹角 例题1．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知单位向量满足，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【详解】由单位向量，，可知，， 故， 设向量与向量的夹角为，则， 所以，解得， 由，可知， 【针对训练】 1．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】由，得，又， 所以，，且, 所以， 2．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知向量，满足，，，则向量，的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【详解】，，，，所以， 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）已知空间单位向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是空间单位向量，所以， 因为，所以，所以，所以， 设与的夹角为，， 所以. 故选：B. 4．（2026高三·全国·专题练习）已知，，则与的夹角为 ． 【详解】由可得：. 又因为，所以， 即， 又因为，所以， 5．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，均为单位向量，且，则，的夹角为 . 【详解】因为，均为单位向量，且， 所以， 所以， 所以， 所以,的夹角余弦值为，所以,的夹角为. 【题型4】已知模长求参数或参数的取值范围 例题1．（2025·北京东城·二模）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可得， 又，所以. 【针对训练】 1．（2025·安徽·模拟预测）已知单位圆上有两点，，设向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【详解】由题可得，，， 因为，，且， 所以， ，解得. 故选：B 2．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，都是单位向量，若与垂直，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【详解】由于与垂直， 所以，所以. 又由①，两边平方并化简得， 即，故，即或（不满足①，舍去），所以的值为. 4．（24-25高一下·重庆·月考）已知向量与的夹角为60°，，，当时，实数 . 【详解】因为向量与的夹角为60°，，， 由知， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【题型5】求投影向量 例题1．（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量，满足，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】由， 所以. 所以向量在向量上的投影向量为. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得，即， 将，代入上式可得：，即， 根据投影向量的计算公式，在方向上的投影向量为， 则. 故选：B. 【针对训练】 1．（2026·福建漳州·模拟预测）在中，为中点，是边长为的等边三角形，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是边长为的等边三角形，为中点， 所以， 则点在以为圆心，为半径的圆上， 则，，， 则， 则向量在向量方向上的投影向量为.    故选：B 2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 3．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 因为， 所以，解得， 所以在上的投影数量为， 4．（25-26高一上·江苏无锡·期末）已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若，且，则向量在向量上的投影向量为 . 【详解】因为，所以，即. 所以圆心为的中点，即是圆的直径，所以，且. 因为，即，所以，所以. 又向量方向上的单位向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 【题型6】求投影数量 例题1．（25-26高三上·天津·期中）已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【详解】由题意得，则， ∴，∴，∴. 故选：A. 【针对训练】 1．（25-26高二上·北京·期中）已知向量，则在上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【详解】由向量，可得，且， 所以在上的投影的数量为. 2．（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量，，则在上的投影数量为（   ） A． B． C．2 D． 【详解】由在上的投影数量为． 3．（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知向量满足，且，则在上的投影的数量为（    ） A． B． C． D．1 【详解】在上的投影的数量为． 【题型7】基底的概念 例题1．（23-24高一下·重庆渝中·月考）设，是平面内的一组基底，则下列能作为该平面内一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】对于A：不存在实数，使得，即它们不共线，故可以作为基底，A正确； 对于B：，即它们共线，故不能作为一组基底，B错误； 对于C：，即它们共线，故不能作为一组基底，C错误； 对于D：，即它们共线，故不能作为一组基底，D错误， 【针对训练】 1．（2026高三·全国·专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【详解】是平面内所有向量的一组基底，所以与不共线. 对于A，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以A错误； 对于B， 假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 所以与不共线，所以能作为基底，所以B错误； 对于C，因为，所以与共线，不能作为基底，所以C正确； 对于D，假设与共线，则存在实数，使，所以，所以假设不成立. 与不共线，所以能作为基底，所以D错误. 2．（2025高三·全国·专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成， C选项中，，即和为共线向量， 所以它们不能作为基底． 其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底． 3．（25-26高三上·山东青岛·期末）中，为边的中点，，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】如图，， 则， 故 . 故选：B 4．（25-26高一上·辽宁·期末）设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 【题型8】向量线性运算的几何应用 例题1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 【针对训练】 1．（2026·河南南阳·模拟预测）已知的重心为，延长DG交AB于点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 2．（2026·江苏南通·一模）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 所以， 故选：C. 3．（2025·湖南长沙·二模）设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D．= −+. 【详解】如图 则. 【题型9】平面向量基本定理与爪子定理 例题1．（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 【针对训练】 1．（山东省名校考试联盟2026届高三下学期2月份核心素养评估数学试题）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【详解】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 2．（2026·山东泰安·一模）已知向量不共线，且，则实数（   ） A．3 B． C． D． 【详解】由可知，存在，使得， 因不共线，则有，解得. 3．（25-26高三上·湖南·月考）已知点G为的重心，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．3 【详解】如下图所示，延长交于点， 易知为的中点，且 又， 因为，且不共线，所以可知； 因此. 故选：B 4．（25-26高一上·江苏盐城·期末）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用共线定理即可求出. 【详解】由题意得三点共线，则， 又，，则， ，. 故选：D. 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 6．（22-23高一下·四川绵阳·期中）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 【详解】由， 由三点共线，得， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 7．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 . 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 8．（25-26高一上·广东广州·期末）设在一条直线上，在该直线外，已知，则等于 ． 【详解】因为共线，所以，， 因为向量不共线，且， 所以，解得. 【题型10】平面向量中的大题综合 例题1．（24-25高一下·吉林长春·期末）已知向量，满足，，. (1)求与的夹角； (2)若，求的值. 【详解】（1）由已知， ， ，， 又，所以； （2）， 解得或． 【针对训练】 1．（24-25高一下·河南鹤壁·期末）已知平面向量，满足，，. (1)求，； (2)若，求实数t的值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，可得. （2）因为， 所以， 即，解得或. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【详解】（1）由向量，的夹角为，且， 得. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 3．（24-25高一下·辽宁辽阳·月考）设向量，满足，，且. (1)求向量，的夹角； (2)若，求的值. 【详解】（1）因为， 所以. 所以，又， 所以，即向量，的夹角为. （2）因为，所以， 所以， 所以或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $