6.2.4 课时2 排列、组合的综合应用 同步作业-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.4 课时2 排列、组合的综合应用 【基础巩固】 1．袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A． B． C． D． 2．甲、乙、丙、丁等人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．某市科技馆在国庆假期期间需派遣名志愿者到个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排人.则不同的安排方法种数为（ ） A． B． C． D． 4．方程的正整数解的个数为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）现有数字，下列说法正确的是（ ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 6．名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法． 7．为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了个价钱相同的礼盒全部分给这名同学，若购买的个礼盒仅有个相同，按一人个礼盒，另两人各个礼盒进行分配，共有________种分法.（用数字作答） 8．已知一个袋内有只不同的红球，只不同的白球． (1)若取一只红球记分，取一只白球记分，现从袋中任取只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于分的取法有多少种？（用数字作答） (2)在条件(1)下，当总分为分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答） 【能力拓展】 9．已知方程，若，，均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解. A． B． C． D． 10．将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，下列说法错误的是（ ） A．恰有一个空盒，有种放法 B．把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有种放法 C．将小球一个个放入盒子，共有种放法 D．每盒至多两球，有种放法 11．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (2)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【素养提升】 12．在一个五位数中，若十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则称此五位数为“五位波浪数”，如，则由数字可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为______个. 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.4 课时2 排列、组合的综合应用 【基础巩固】 1．袜子由袜口､袜筒､脚趾三部分组成，现有四种不同颜色的布料，设计袜子的颜色配比，要求相连的部分颜色不同，共可以设计出不同颜色类型的袜子种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若袜口和脚趾颜色相同，则有种，若袜口和脚趾颜色不同，则有种，共有种． 故选:C 2．甲、乙、丙、丁等人排成一排，甲乙丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有排法（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】从个位置中取个让甲乙丙按指定顺序站位，有种方法；再排余下人，有种方法，所以不同排法种数为. 故选：C 3．某市科技馆在国庆假期期间需派遣名志愿者到个不同主题展区协助讲解，每个展区至少安排人.则不同的安排方法种数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因每个展区至少安排人，故有两类情况： ① 将名志愿者按照进行分配，有种方法； ② 将名志愿者按照进行分配，有种方法. 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故选：C. 4．方程的正整数解的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原问题相当于将个相同的小球装入个不同的盒子里，每个盒子中至少有个小球，可采用隔板法，将个相同的小球排成一排，在中间形成的个空位上插入个隔板， 故共有种方法. 故选：D 5．（多选）现有数字，下列说法正确的是（ ） A．可以组成个没有重复数字的六位数 B．可以组成个没有重复数字的六位偶数 C．可以组成个六位数 D．可以组成个相邻两个数字不相同的八位数 【答案】CD 【解析】对于A，没有重复数字的六位数应由组成，共有个，故A错误；对于B，没有重复数字的六位偶数有两类情况，末位为的有个，末位不为的有个，共有个，故B错误； 对于C，没有重复数字的六位数有个，有两个的六位数有个，有三个的六位数有个，共有个，故C正确； 对于D，先排，首位为的有个，首位不为的有个，再插人，共有个，故D正确. 故选：CD． 6．名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有______种排法． 【答案】 【解析】解法1：甲站在中间，甲的左边和右边分别有名同学，均按身高排列，排法只有种．先将名同学分成两组，再排到甲的左边和右边去，排法共有种． 解法2：将除甲外的名同学全排列，甲左边名同学与右边名同学顺序一定， 所以排法共有种． 故答案为：. 7．为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了个价钱相同的礼盒全部分给这名同学，若购买的个礼盒仅有个相同，按一人个礼盒，另两人各个礼盒进行分配，共有________种分法.（用数字作答） 【答案】 【解析】第一种情况，当个相同礼盒分给同一人时：第一步，分配个相同礼盒，即将这个相同礼盒分给三个同学中的一个，共种分配方法；第二步，分配剩下的个不同礼盒，即将剩下的个不同礼盒，分给剩下的个同学，共有种， 所以一共有种分法；第二种情况，当个相同礼盒不分给同一人时： 记个礼盒分别为，当或在一起时，共有种分配方法； 当在一起时，即将分给三个人中任何一个，剩下的个人，每人分一个，共有种分配方法；综上，共有种分配方法. 故答案为： 8．已知一个袋内有只不同的红球，只不同的白球． (1)若取一只红球记分，取一只白球记分，现从袋中任取只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于分的取法有多少种？（用数字作答） (2)在条件(1)下，当总分为分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答） 【答案】见解析 【解析】(1)设取出个红球个白球，依题意可得， 因为，所以或， ∴符合题意的取法种数有种． (2)总分为分，则取的个数为红球个，白球个，将取出的球排成一排分两步完成， 第一步先取球，共有种，第二步再排，先把个白球全排列，再将个红球插空，共有，根据分步乘法计数原理可得不同排法有种． 【能力拓展】 9．已知方程，若，，均为正整数，则称为该方程的正整数解.则方程共有（ ）个正整数解. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，均为正整数， 所以方程正整数解的个数问题可以转化为：将个相同的物品分成组，每组至少一个，有多少种不同的分法. 利用隔板法可得：不同的分法有种. 故选：A 10．将个编号为的小球放入个编号为的盒子中，下列说法错误的是（ ） A．恰有一个空盒，有种放法 B．把个不同的小球换成个相同的小球，恰有一个空盒，有种放法 C．将小球一个个放入盒子，共有种放法 D．每盒至多两球，有种放法 【答案】A 【解析】选项A：先从个盒子中选出一个空盒，再从个球中选个放入剩下个盒子中的个，再将剩余球各个放入剩余盒中，故有种放法，故A错误； 选项B：先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入两个球，余下两个盒子各放一个．已知四个小球相同即没有顺序，属于组合问题，故共有种放法，故B正确； 选项C：每个小球都可能放入个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有种放法，故C正确； 对于D：由C分析，不考虑盒中球个数，共有种放法，若一个盒中放个球，另外盒放球，则有种放法， 若个盒中放球，有种放法，故有盒子至少个球的情况有种， 所以每盒至多两球，有种放法，故D正确. 故选：A. 11．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (2)计划安排五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】见解析 【解析】(1)第一步，将甲和乙的相同课程选好，有种情况； 第二步，再将甲和乙的不同课程选好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选法种情况； 因此，所有选课种数为种． (2)①当只任教科时：先排任教科目，有种， 再从剩下科中排的任教科目，有种， 接下来剩余科中必有科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种， 所以当只任教科时，共有种． ②当任教科时：先选任教的科，有种， 剩下4科安排给4个老师共有种，故共有种， 综上，所有课程安排方案有种． 【素养提升】 12．在一个五位数中，若十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则称此五位数为“五位波浪数”，如，则由数字可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为______个. 【答案】 【解析】根据题意知，不能在十位、千位和万位. 解法1：根据这个五位数字中包含的情况进行分类. 情况一：当数字中有时，从另外个数字中选择位数字，有种. ①当在个位时，有种；②当在百位时，有种. 情况二：当数字中没有时，从另外个数字中选择个数字，有种. ①最小数字在个位或万位，有种；②最小数字在百位，有种. 故满足题意的“五位波浪数”有（种）. 解法2：先从这个数字中任选个数字，有种．以数字为例： ①当最大的两个数即和放在千位和十位时，如，共有种； ②当最大的数与第三大的数即和放在千位和十位时，则只能在万位，如，共有种.分别排除上述两种情形中在万位的情况. 上述①中包含如这种情况的有种，②中包含如这种情况的有种.故满足题意的情况共有（种）. 故答案为：. 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $