学易金卷：高二数学下学期第一次月考卷02（全国通用，范围：人教A版选择性必修第二册第4～5章数列+导数）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 3．数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（   ）个. ①连续操作五次后，共有64个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．在上单调递增，则 D．直线是曲线的切线 10．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 11．已知函数，，，则（   ） A．当时，有且只有一个零点 B．当时，有两个零点 C．无论为何实数，都存在正数使得 D．当时，与零点个数相同 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 14．已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 16．（15分） 已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 17．（15分） 已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 18．（17分） 在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C C B B A A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．/-0.5 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为.（5分） （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点，（9分） 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列.（7分） （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为.（15分） 17．（15分） 【解析】（1）当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值；（5分） （2）因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增．（10分） （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为．（15分） 18．（17分） 【解析】（1）当时，由，，得， 所以.（4分） （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以.（10分） ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【解析】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为；（5分） （2）解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为；（11分） （3）解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为.（17分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 3．数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 6．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（   ）个. ①连续操作五次后，共有64个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．在上单调递增，则 D．直线是曲线的切线 10．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 11．已知函数，，，则（   ） A．当时，有且只有一个零点 B．当时，有两个零点 C．无论为何实数，都存在正数使得 D．当时，与零点个数相同 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 13．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 14．已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 16．（15分） 已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 17．（15分） 已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 18．（17分） 在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19．（17分） 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第二册第四章~第五章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知是函数的导函数，若，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，得， ∴，得， ∴，则. 故选：B． 2．已知等差数列的前3项和为18，，则（   ） A．18 B．15 C．14 D．10 【答案】A 【详解】设等差数列公差为，则, ，则. 从而. 故选：A 3．数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， ，则. 故选：C. 4．过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设所求切线的切点为，则， 由题知，，解得，所以切线斜率为， 故所求切线方程为. 故选：C. 5．已知数列为等比数列，其中，为方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列为等比数列，其中，为方程的两根， 由题，根据韦达定理可得，，则， 由等比数列的中项性质得，则， 因为等比数列的偶数项的符号相同，，都是负数，所以. 故选：B 6．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（   ）个. ①连续操作五次后，共有64个正方形； ②第四次操作后所得正方形的边长为； ③若总共得到15个正方形，设，则这15个正方形的周长之和为； ④已知数列中等于正方形的面积，当时，表示第次操作新增正方形的面积，则数列为等比数列. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】第次操作新增正方形的数量为个，连续操作五次，共有个，①错误； 第次操作所得正方形的边长为，则第四次操作后所得正方形的边长为，②错误； 若总共得到15个正方形需要连续进行3次操作，由，得正方形的周长为32， 第次操作新增正方形的周长为，因此这15个正方形的周长之和为，③正确； 由①②知，因此数列为公比等于1的等比数列，④正确. 故选：B 7．已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 8．定义在R上的函数满足，当时，.已知函数，若，，不等式成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对函数： 当时，； 当时，，当时取等号. 所以时，. 当时，，，所以. 当时，，，所以. 综上当时，. 对函数： ，. 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数在的极小值为， 又. 所以函数在的最小值为. 因为，，不等式成立， 所以当，时，，即. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．在上单调递增，则 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【详解】由题意，， 选项A， 在中，， ∴当时，解得， ∴当即，时，函数单调递增； 当即时，函数单调递减， ∴是极大值点，是极小值点，共个极值点， 故A正确. 选项B， 在中， 极大值为，极小值为， ∴当时，；当时，， ∴函数从上升到正的极大值，再下降到正的极小值，最后上升到， 仅穿过轴次（唯一零点）， 故B错误. 选项C， 在中，，， 函数在上单调递增， ∴当时，，即， ∵当时，（单调递增，最小值趋近于）， ∴， 故C错误. 选项D，设切点为，切线斜率为， ∴切线方程为：，即， ∵直线与切线斜率相等， ∴，解得， 当时，，， 切线方程为：，即， 故D正确. 故选：AD. 10．已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【详解】因数列是等差数列， 则，， 则，，则， 则公差（数列是递减数列），，时取得最大值， 故A、D错误；B、C正确； 故选：BC 11．已知函数，，，则（   ） A．当时，有且只有一个零点 B．当时，有两个零点 C．无论为何实数，都存在正数使得 D．当时，与零点个数相同 【答案】ABD 【详解】对A：当时，，， 则， 由；由， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以有且只有一个零点，故A正确； 对B：当时，，所以， 由；由， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又，因为，所以，且当和时，， 所以函数有两个零点，故B正确； 对C：当时，，，设，则， 因为，所以， 即在上单调递增，且，所以在上无零点. 所以时，不存在正数使得，故C错误； 对D：当时，由； 由. 设，. 因为，由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减.且. 因为，由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减.且. 作出函数，的图形如下： 可知：当时，与零点个数相同，故D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 . 【答案】/-0.5 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13．已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 ． 【答案】4 【详解】由可知公比， 若,则公比,此时,这与条件矛盾，因此不等于0，因此，因此， 进而，解得或（舍去）， 又，故， 故答案为：4 14．已知函数，,若对于任意的,恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【详解】对于任意的，恒成立，即在上恒成立， 也即（*）在上恒成立，设，则， 设，则，故在上单调递减， 又，则当时，，则；当时，，则， 故在上单调递增，在上单调递减，故， 由（*）可得，即，故实数的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由（1）知， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此为的极小值点，也是最小值点， 又由，其中， 所以在上的最小值为，最大值为. 16．（15分） 已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 17．（15分） 已知函数 (1)当时，求的极值； (2)若，试讨论的单调性； (3)是否存在，使得在区间上的最小值为，若存在，求出，若不存在说明理由. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析； (3) 【详解】（1）当时，，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取极小值，无极大值； （2）因为，，若，恒成立，递增； 若，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可知，时，在上为减函数，在上为增函数． 假设存在，使得在区间上的最小值为， 若，即时，，解得，符合题意； 若，即时，， 解得，舍去； 若，即时，，解得，舍去． 综上所述，存在，使得在区间上的最小值为． 18．（17分） 在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)①；②. 【详解】（1）当时，由，，得， 所以. （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. 19．（17分） 设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高二数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 ! 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 ! 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 翼 区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2[A][B[C[D] 6[AB][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A]B][C][D] 說 4[A][B][C][D] 8[A]B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[AB][C][D] 11[AJB][C][D] 三、 填空题（每小题5分，共15分) 12 妇 13 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）