6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 同步作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【基础巩固】 1．已知平面向量，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，，且，则（ ） A． B．2 C． D．-2 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 4．在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（ ） A． B．2 C．3 D．4 5．（多选）已知向量，，则（ ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．向量在向量上的投影向量为 D．若，则 6．已知向量，且与的夹角是，则___________. 7．已知向量，，若与垂直，则_________． 8．已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【能力拓展】 9．如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A． B． C． D． 10．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 11．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【素养提升】 12．如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 【基础巩固】 1．已知平面向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由平面向量数量积的坐标表示公式得. 故选：C. 2．若，，且，则（ ） A． B．2 C． D．-2 【答案】A 【解析】因为，，所以， 因为，所以，即， 解得. 故选：C 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】，由题意：，所以. 故选：C. 4．在梯形中，已知，，，，，若，则的模为（ ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则,，设，则，，， 则，，所以，解得， 所以.故选：C． 5．（多选）已知向量，，则（ ） A．向量的夹角为 B．若，则 C．向量在向量上的投影向量为 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，，，， ，又，，A正确； 对于B，，，解得：，B正确； 对于C，向量在向量上的投影向量为，C错误； 对于D，，， ，，解得：，D正确. 故选：ABD. 6．已知向量，且与的夹角是，则___________. 【答案】－4 【解析】，所以. 故答案为：－4. 7．已知向量，，若与垂直，则_________． 【答案】 【解析】由题设，则，即， 又，则. 故答案为：. 8．已知平面向量. (1)求向量在向量方向的投影向量的坐标； (2)若，求实数k的值； (3)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)因为，所以，， 所以在方向的投影向量为. (2)由题意知：，， 因为，所以， 即，解得. (3)， 因为与所成的角为锐角， 所以，且与不共线， 由，解得， 当与共线时，由，解得， 因为与不共线，所以， 综上所述：实数的取值范围为. 【能力拓展】 9．如图，正方形的边长为，为边的中点，为边上一点，当取得最大值时，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，则，． 设，则，，故，． 所以，当时，取得最大值， 此时． 故选：B． 10．一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示，该窗有两个正方形，将这两个正方形（它们有共同的对称中心与对称轴）单独拿出来放置于同一平面，如图2所示.已知分米，分米，点在正方形的四条边上运动，当取得最大值时，与夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以点为原点建立直角坐标系如图； 又因为分米，分米，且两个正方形有共同的对称中心与对称轴，所以点，，则，， 又因为，且因为， 则当最大时，最大， 由图象可知，当与点重合时最大，所以. 故选：D. 11．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】由，，则，又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 【素养提升】 12．如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为，， 所以， 又三点共线，所以，即. (2)（ⅰ）因为为的中点，所以， 由(1)知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，则， 所以，所以， 所以，则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为，所以，则． 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $