6.4.2向量在物理中的应用举例 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.2向量在物理中的应用举例 知识归纳与试题检测学案（学生版） 【1】教材知识归纳 1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． 2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． 3．动量mv是向量的数乘运算． 4．功是力F与所产生的位移s的数量积．　 【2】基于教材的检测试题 一、单选题 1．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 2．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 3．在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 4．已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 5.一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 6．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 7．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 8．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（    ） A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h 10．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（    ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为 C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 11．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 三、填空题 12．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________. 13．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么___________. 14．已知力作用于一物体，使物体从移动到，则力对物体所做的功是______. 四、解答题 15．在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 16．如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力． 17．某人从点出发，向东行走了10m后，又向北偏东方向行走了．求此人实际行走的位移． 18．一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，求河水的流速． 19．已知两个力（单位：N）与的夹角为60°，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：m）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.2向量在物理中的应用举例 知识归纳与试题检测学案（详解版） 【1】教材知识归纳 1．物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等． 2．向量的加、减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解． 3．动量mv是向量的数乘运算． 4．功是力F与所产生的位移s的数量积．　 【2】基于教材的检测试题 一、单选题 1．一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】力的合成、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由物体处于静止状态，得到，计算求得. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 2．已知物体受平面内的三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态，若，，且的夹角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】力的合成、已知数量积求模 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】因，则，则， 又三个力作用于同一点，且该物体处于平衡状态， 则，即， 则. 故选：A 3．在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力，夹角越小越省力.假设作用在旅行包上的两个拉力分别为，且，设的夹角为，旅行包所受的重力为，由相关知识可以知道，当时，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、力的合成 【分析】根据给定条件，求出即可得解. 【详解】由，，得，而，解得， 所以. 故选：A 4．已知平面上两个力同时作用于某质点上，其中，若对该质点再施加一个力，使该质点恰好处于平衡状态，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】力的合成 【分析】先利用合力求出，再利用向量夹角公式可得答案. 【详解】因为， 所以， 则. 故选：C. 5.一条河的宽度为，一船从A出发到河的正对岸B处，船速的大小为，水速大小为，则船行到B处时，行驶速度的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成 【分析】由题意判断船的实际速度垂直于河的正对岸，根据向量的加法结合勾股定理即可求得答案. 【详解】由题意可知要使船从A出发到河的正对岸B处， 需满足船的实际速度垂直于河的正对岸，如图： 即船速的方向偏向水的上游方向，船速和水速的和即为垂直于对岸， 故船行驶速度的大小为， 故选：D 6．某货船执行从港口到港口的航行任务，港口在港口的正北方向，已知河水的速度为向东．若货船在静水中的航速为，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、速度、位移的合成 【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模即可求解. 【详解】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 且，设，由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得，而，于是， ， 所以该船完成此段航行的实际速度为. 故选：B 7．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（     ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】由向量加法的平行四边形法则结合向量模的求法判断C；求解直角三角形可得判断A；结合诱导公式求得判断B；求出船到达对岸的时间判断D. 【详解】解：如图， 是河对岸一点，且与河岸垂直，那么当这艘船实际沿方向行驶时船的航程最短， ，，故C错误； 设船头方向与的夹角为，则，则船头方向与水流方向不垂直，故A错误； ，故B正确； 该船到达对岸的时间为分钟，故D错误． 故选：B. 8．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】速度、位移的合成 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 二、多选题 9．一艘船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h，则船的实际航行的速度可能为（    ） A．1km/h B．5km/h C．8km/h D．10km/h 【答案】BC 【知识点】速度、位移的合成 【分析】设该船实际航行的速度为，由向量模的关系可得，由此求解可得到答案． 【详解】设该船实际航行的速度为，因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度， 所以， 因为船在静水中的航行速度为5km/h，河水的流速为3km/h， 所以， 则， 所以船实际航行的速度的取值范围是[2，8]． 故选：BC． 10．在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（    ） A．这艘船航行速度的大小为 B．这艘船航行速度的大小为 C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为 【答案】BD 【知识点】速度、位移的合成 【分析】根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角. 【详解】设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为， 根据向量的平行四边形法则可知： ， 设船的航行方向和水流方向的夹角为， 所以，所以， 故选：BD. 11．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且与的夹角为．下列结论中正确的是（    ） A．越大越费力，越小越省力 B．的取值范围为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、力的合成 【分析】利用平面向量的加法运算以及模长、数量积公式进行求解. 【详解】对于A，根据题意，得，所以， 解得，因为时，单调递减，所以越大越费力，越小越省力，故A正确； 对于B，由题意知的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，所以当时，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以当时，，所以，故D正确. 故选：AD 三、填空题 12．如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________. 【答案】 【知识点】力的合成、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据给定条件，可得，再利用数量积的运算律及夹角公式计算得解. 【详解】依题意，，则， 即，解得， 所以. 故答案为： 13．如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为s，位移为，那么___________. 【答案】 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】作表示向西飞行，表示向东飞行，根据向量加法运算和向量模意义可得. 【详解】作表示向西飞行，表示向东飞行， 则，， 所以，所以. 故答案为：    14．已知力作用于一物体，使物体从移动到，则力对物体所做的功是______. 【答案】1 【知识点】功、动量的计算 【分析】先求出位移，然后利用向量数量积公式计算即可. 【详解】因为，，所以， 所以对物体所做的功为. 故答案为：1 四、解答题 15．在物理学中我们已经知道，力既有大小又有方向，因此力是向量.如图所示，在光滑的水平面上静止的物体受到力与的作用. (1)求物体受到与的合力的大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、力的合成 【分析】（1）利用向量的线性运算求解合力，利用模的坐标运算求解即可； （2）利用向量的坐标运算及数量积的坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）由题图可知，， 则物体受到与的合力为， 所以其大小为； （2）因为，， 所以. 16．如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力． 【答案】合力的大小为，方向为东偏北正切值为的锐角. 【知识点】力的合成 【分析】设合力为，即，根据数量积的运算律求出，再求出，即可确定合力的大小与方向． 【详解】因为的大小为，方向向东，的大小为，方向向北， 设合力为，则，且， 所以， 又， 所以合力的大小为，方向为东偏北正切值为的锐角. 17．某人从点出发，向东行走了10m后，又向北偏东方向行走了．求此人实际行走的位移． 【答案】向北偏东度（其中）的方向行走了 【知识点】向量的模、速度、位移的合成 【分析】作出示意图，利用平面向量的意义以及直角三角形的性质计算可求得此人实际行走的位移． 【详解】如图所示，设此人从点出发向东行走10m到达点，再向北偏东方向行走到达点， 由点作的垂线交的延长线于点，则，即， 在中，． 因为，所以． 故此人实际行走的位移为从点向北偏东度（其中）的方向行走了． 18．一条渔船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为，求河水的流速． 【答案】 【知识点】速度、位移的合成 【分析】画出图形，在直角三角形中，求出实际行驶方向与垂直于对岸的方向的夹角，即可求得河水的流速. 【详解】如图，用表示河水的流速，表示船的速度，则为船的实际航行速度． 由题意得，直角中，，，则，所以． 又，所以． 即河水的流速是． 19．已知两个力（单位：N）与的夹角为60°，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动到点（单位：m）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【答案】(1) (2) 【知识点】力的合成、功、动量的计算 【分析】（1）令，根据，列出方程组求得的值，即可求解； （2）利用与的合力对质点所做的功为，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，因为，可得， 令 因为两个力与的夹角为60°，点移动到点，可得， 则，可得， 所以，可得，解得， 所以. （2）解：与的合力对质点所做的功为: . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $