第1章 综合·融通(三) 带电粒子在有界匀强磁场中的运动（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理选择性必修第二册（人教版 江苏专用）

带电粒子在有界匀强磁场中的运动 (融会课——主题串知综合应用) 综合•融通(三) 通过本节课的学习会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动；掌握带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的思路和方法；会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题，知道产生多解的原因。 主题(一)　带电粒子在有界匀强磁场中 的运动 主题(二)　带电粒子在有界匀强磁场中 运动的临界问题 01 02 CONTENTS 目录 课时跟踪检测 03 主题(三)　带电粒子在有界匀强磁场中 运动的多解问题 04 主题(一)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1.直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。 知能融会通 2.平行边界 3.圆形边界 (1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。 (2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。 4.三角形边界 等边三角形ABC区域内，某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。 [典例]　 (2025·淮安高二检测)如图所示为圆柱形区域的横截面，在该区域加沿圆柱轴线方向的匀强磁场。带电粒子(不计重力)第一次以速度v1沿截面直径入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转60°角；该带电粒子第二次以速度v2从同一点沿同一方向入射，粒子飞出磁场区域时，速度方向偏转90°角。则带电粒子第一 次和第二次在磁场中运动的 (　　) A.半径之比为∶1　　　B.速度之比为1∶ C.速度之比为2∶3 D.时间之比为3∶2 √ [解析]　如图所示，设圆柱形区域的半径为R，由几何关系可得r1=Rtan 60°=R，r2=R，则带电粒子第一次和第二次在磁场中运动的半径之比为r1∶r2=∶1，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得r=∝v，可得速度之比为v1∶v2=r1∶r2=∶1，故A正确， B、C错误； 粒子在磁场中的运动时间为t=T=·=∝θ，由图可知θ1=60°，θ2=90°，则时间之比为t1∶t2=θ1∶θ2=60°∶90°=2∶3，故D错误。 1.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场，当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于 (　　) A.1∶(2-)　　　　　　 B.(2-)∶1 C.2∶1 D.∶1 √ 题点全练清 解析：设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，电子做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ=，解得r=，电子做匀速圆周运动，有qvB=，解得v=∝r，联立可得v1∶v2=(2-)∶1，故B正确。 2.如图所示，匀强磁场的边界为直角三角形，∠EGF=30°，已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，F处有一粒子源，沿FG方向发射出大量带正电、电荷量为q的同种粒子，粒子质量为m，粒子的初速度大小可调，则粒子从F射入磁场到垂直EG边离开磁场所用时间为 (　　) A.　　　　　　　 B. C. D. √ 解析：由题知，粒子从F射入磁场、垂直EG边离开磁场，根据几何关系可知，粒子的运动轨迹的圆心在E点，有∠FEG=60°，qvB=m，T=，则粒子所用时间为t==，故选C。 3.如图所示，在x轴上方有磁感应强度为B的匀强磁场，一个带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴负方向成60°角，不计粒子所受的重力，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中运动，到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷及所带电荷的正负是 (　　) A.，正电荷 B.，负电荷 C.，正电荷 D.，负电荷 √ 解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，由几何知识可得α=θ=60°，到x轴的最大距离为a，则粒子的轨道半径r与a的关系为a=r+rcos60°=r，由洛伦兹力提供向心力，可得qvB=m，解得=，由轨道图和左手定则可知，粒子带负电。故选B。 主题(二)　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题 解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 (1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。 知能融会通 (2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。 (3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。 [典例]　 (2025·南京高二检测)如图所示为有理想边界的匀强磁场，磁感应强度B0=2×10-4 T，磁场边界为直角三角形，AC=20 cm，∠C=90°，∠B=30°。A点有一粒子源，沿AC方向射出不同速度的带正电粒子到磁场内，粒子的比荷为=1×108 C/kg，不计粒子的重力。求： (1)在磁场中运动时间最长且速度最大的粒子，在磁场中运动的过程与AB之间的最大距离； [答案]　 0.1 m [解析]　由洛伦兹力提供向心力可得qvB0=m 可得r= 粒子在磁场中运动的周期为T== 可知当粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中的运动时间最长；对于在磁场中运动时间最长且速度最大的粒子，轨迹如图所示， 粒子的轨迹刚好与BC边相切，根据 几何关系可得rm=AC=0.2 m 则在磁场中运动的过程与AB之间的 最大距离为dmax=OF-OD=rm-rmsin 30°=0.1 m。 (2)在磁场中运动时间最长的粒子的最大速度。 [答案]　 4×103 m/s [解析]　根据rm= 可知在磁场中运动时间最长的粒子的最大速度为vm==4×103 m/s。 1.如图，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场下边界OM和荧光屏ON之间的夹角为30°。OM上的P点处有一粒子源，沿与OM垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为m、电荷量为+q的粒子。已知P点到O点的距离为d，荧光屏上被打亮区域的长度为 (　　) A.　　　　　　　　　 B. C.d D.2d √ 题点全练清 解析：根据题意，若粒子的速率足够大，粒子无限接近沿直线打到荧光屏的A点，如图1所示，由几何关系可得AO==d；若粒子的速率较小，打到荧光屏上B点为临界点，如图2所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可得=sin 30°，OB=cos 30°，解得OB=d，则荧光屏上被打亮区域的长度为L=OA-OB=d，故选A。 2.如图所示，两个同心圆之间的区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个同心圆的半径分别为a和3a，圆心处有一粒子源，能发射速度为v的粒子，粒子的质量为m、电荷量为q，忽略重力。若粒子均被限制在图中实线圆围成的区域内，则磁感应强度最小值为(　　) A. B. C. D. √ 解析：当粒子在磁场中的运动轨迹与外圆相切时，粒子在题图中实线圆围成的区域内运动的半径最大，磁感应强度最小，粒子的运动轨迹如图。设粒子在磁场中运动的最大半径为r，根据几何知识有r2+a2=(3a-r)2，解得r=a，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，得B==，故选C。 主题(三)　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，由于带电性质不确定带来多解。 2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。 知能融会通 3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带负电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。 4.运动的周期性带来多解。如带负电粒子在图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而带来多解。 [典例]　如图所示，在xOy平面内，y≥0的区域有垂直于xOy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，一质量为m、带电荷量的绝对值为q的粒子从原点O沿与x轴正方向成60°角方 向以v0射入，粒子的重力不计，求带电粒 子在磁场中运动的时间和带电粒子离开磁 场时的位置。 [答案]　若粒子带正电：　 若粒子带负电：　 [解析]　根据题意可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m=mR 解得R=，T= 当粒子带正电时，轨迹如图中OAC所示， 由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为240°，故粒子在磁场中运动的时间t1=T= 粒子在C点离开磁场，OC=2Rsin 60°= 故离开磁场的位置为 当粒子带负电时，轨迹如图中ODE所示，由几何关系可知，带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为120°，故粒子在磁场中的运动时间 t2=T= 粒子在E点离开磁场，OE=2Rsin 60°= 故离开磁场时的位置为。 1. 如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，离子重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为、速率为v，OP与OQ间的夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　) 题点全练清 A.垂直纸面向里，B> B.垂直纸面向里，B> C.垂直纸面向外，B< D.垂直纸面向外，B> √ 解析：当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知，负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识可知r2=OBsin 30° =OB，而OB=s+r2，故r2=s， 所以当离子运动轨迹的半径小于s时 满足约束条件，可得qvB>， 解得B>，A错误，B正确； 当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知，负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1=，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，可得qvB>，解得B>，C、D错误。 2. (2025·淮安高二质检)如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形AOC分开，三角形内磁场方向垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠OAC的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不计)，所有质子均能通过C点，质子比荷=k，则以下说法正确的是(　　) A.质子的速度可能为BkL B.质子的速度可能为BkL C.质子由A到C的时间可能为 D.质子由A到C的时间可能为 √ 解析：因质子带正电，且所有质子均能 通过C点，作出其可能的轨迹，如图所示， 根据几何关系可知，所有圆弧所对应的圆心 角均为60°，质子可能的运动轨迹半径为r=(n=1，2，3，…)，质子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有qvB=m，解得v=(n=1，2，3，…)，可知质子的速度不可能为BkL和BkL， 故A、B错误;质子做圆周运动的周期T==，结合上述可知，质子由A到C的时间为t=n·T=(n=1，2，3，…)，可知质子由A到C的时间不可能为，可能为，故C错误，D正确。 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1.(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为 (　　) A. B. C.(1+) D. √ 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 解析：粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径r=，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)。故选C。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 2.如图所示，在正方形abcd区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，一带正电粒子从a点沿ab方向射入磁场中，当入射速度小于或等于v时，粒子在该磁场区域运动时间最长，且最长时间为t。若其他条件均不变，当粒子的入射速度大小为4v时，则该粒子在磁场中的运动时间为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB=m=mr，整理得r=，T=。从a点沿ab方向进入磁场中的粒子，在磁场中运动的最长时间为半个周期，对应的最大半径是正方形边长的一半，即速度为v时，粒子做圆周运动的半径等于正方形边长的一半，从d点射出磁场，圆心角为π，根据=，整理有t=。当入射速度为4v时，由上述公式可知周期不变，半径变为原来的4倍，即变为正方形边长的两倍，粒子将从bc边离开磁场，利用几何知识可知，对应的圆心角为，由上述分析有=，整理有t'==t，故选D。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 3.长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能 打在水平板上，速度v0应满足(　　) A.v0> B.v0< C.<v0< D.v0>或v0< √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B=m，解得R=，分析可知，当轨迹半径很小或者轨迹半径很大时，电子均不能够打在水平板上，两个临界轨迹分别与水平板相切、恰好经过水平板两端点，如图所示，根据几何 关系可知，Rmin=，Rmax=，解得v0min=， v0max=，则有<v0<，故选C。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 4. 如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，板间距离也为l，极板不带 电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重 力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平 射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法 是 (　　) A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v> C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度<v< √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有=+l2，又r1=，所以v1=；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，解得v2=；欲使粒子不打在 极板上，应使v>v1或v<v2，综合上述分析可知， A正确。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 5.(2025·江苏扬州期中)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m、 电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计，粒子间的 相互作用不计)，所有粒子均能通过MN上的b点， 已知ab=L，则粒子的速度可能是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：粒子可能在两个磁场间做多次运动，作出粒子可能的轨迹如图所示，所有粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角均为120°，由几何关系可知2nRcos 30°=L(n=1，2，3，…)，根据洛伦兹力提供向心力，则有Bqv=m，解得v==，当n=1时， 可得v=，故选C。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 6. (2025·丹阳阶段练习)如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0。不计粒子重力以及 粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R 且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD 为互相垂直的直径，则 (　　) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 A.粒子离开磁场时速度方向平行AB向下 B.磁感应强度大小为 C.经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为 D.沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：根据左手定则可知，粒子离开磁场时速度方向平行AB向上，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B=m，可得B=，故B正确；若粒子经过圆心O，则其在磁场中运动轨迹的圆心角等于120°，则t1=T，T=，所以粒子在磁场中运动的时间为t1=，故C错误；若粒子沿着CO方向射入磁场，其在磁场中运动轨迹的圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为t2=T=，故D错误。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 7.(2025·安徽高考)如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正 电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为 m、速度大小均为。不计粒子的重力、 空气阻力及粒子间的相互作用，则(　　) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 √ 解析：根据洛伦兹力提供向心力有qvB=，可得R==d，故A错误；当粒子沿x轴正方向射出时，薄板上表面接收到的粒子离y轴最近， 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 如图轨迹1，根据几何关系可知s上min=d，当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收到的粒子距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知s上max=d，故薄板上表面接收到粒子的区域长度为s上=d-d，故B错误；根据图像可知，粒子可以恰好打到薄板下表面N点，当粒子沿y轴正方向射出时，薄板下表 面接收到的粒子距离y轴最远，如图轨迹3， 根据几何关系可知，此时薄板下表面接收 到的粒子与y轴的距离为d， 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 故薄板下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确；由以上分析可知，粒子恰好打到薄板下表面N点时转过的圆心角最小，粒子在磁场中运动的时间最短，有tmin=×=，故D错误。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 8. (2025·宜兴阶段练习)如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出，不计粒子重力。下列说法正确的是 (　　) 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 A.带电粒子一定带负电 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小可能为2qBL D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 √ 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 解析：若粒子带正电，与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，运动轨迹如图1所示，设轨迹半径为r2，由图1中几何关系可得L2+(r2-0.5L)2=，解得r2=L，由洛伦兹力提供向心力有qv2B=m，解得v2=，由动量定理得I=2mv2=，A、C错误； 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 若粒子的运动轨迹如图2所示，由左手定则可知，粒子带负电，粒子运动轨迹的半径最小，速度最小，由qv1B=m，解得v1=，B错误；若粒子带负电，运动轨迹可能如图3所示，当轨迹半径等于L时，此时转过的圆心角为60°，所以在磁场中运动的时间为t==，D正确。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 9.(14分)(2025·广西南宁开学考试)如图所示，一个质量为m、带电荷量为q、不计重力的带负电粒子从x轴上的P点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中，恰好垂直于y轴射出第一象限。已知OP=a。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (1)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；(6分) 答案：　 解析：粒子的运动轨迹半径设为r，如图1所示， 根据几何关系可得rsin 60°=a 解得r=a 由洛伦兹力提供向心力可得qvB=m 解得B=。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)让大量这种带电粒子同时从x轴上的P点以速度v沿与x轴正方向成0~180°角的方向垂直磁场射入第一象限内，求y轴上有带电粒子穿过的区域范围和带电粒子在磁场中运动的最长时间。(8分) 答案： 0≤y≤　 解析：粒子从y轴上OA之间射出，设A点纵坐标为yA，PA为轨迹圆的直径，如图2所示， 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 由几何关系得+a2=(2r)2 解得yA= 可知y轴上有带电粒子穿过的区域 范围为0≤y≤ 沿x轴正方向射入的粒子在磁场中运动时间最长， 设最长时间为t，轨迹对应的圆心角为π+α，如图3所示， 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 由几何关系得rsin α=a 解得α= 则有t=·T=·=。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 10.(14分) (2025·盐城高二检测)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=L。在O点发射某种带负电的粒子(不计重力作用)，粒子的比荷为，发射方向与OC边的夹角为θ=60°，粒子从A点射出磁场。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (1)求粒子的发射速度大小v0；(4分) 答案：　 解析：带负电粒子从A点射出磁场，运动轨迹如图1所示， 由几何知识可知r=AO=L 根据洛伦兹力提供向心力，有qv0B= 解得v0=。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (2)求粒子在磁场中的运动时间；(4分) 答案：　 解析：由几何知识可知，带负电粒子转过的圆心角为θ= 由t=T，T= 得t=。 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 (3)若入射粒子为正电荷，粒子能从OC边射出，求入射速度v的范围。(6分) 答案： 0<v≤ 解析：带正电粒子能从OC边射出，临界轨迹如图2所示， 由几何关系知，半径最大为R=Lcos 30°=L 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 根据洛伦兹力提供向心力，有qvmB= 解得最大速度为vm== 所以入射速度的取值范围为0<v≤。 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $