6.1 平行四边形的性质及判定 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1 平行四边形的性质及判定 第1课时 平行四边形边、角的性质 教学设计 课标摘录 1.理解平行四边形的概念，了解四边形的不稳定性。 2.探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等。 教学目标 1.初步理解平行四边形的概念。 2.证明平行四边形对边相等、对角相等的性质，发展演绎推理能力。 3.初步体会几何研究的一般思路与方法。 教学重难点 重点:平行四边形性质的探究与证明。 难点:通过连接对角线，用全等三角形知识证明平行四边形的性质。 教学策略 在教学活动中，通过创设情境，发现问题，引导学生在自主探究中理解平行四边形的性质。以小组合作的探究方式，对平行四边形的性质定理进行验证并规范证明过程，让学生体验获得成功的快乐。教学中，不急于把结论抛给学生，而是结合多个生活中的图片，增加供类比归纳的样本，让学生经历动手操作，通过旋转，测量，拼图展示等探究过程，得出平行四边形的性质，从而理解平行四边形的性质定理。通过自主探究活动，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 展示生活中的平行四边形图片（如伸缩门、窗户、楼梯扶手等），引导学生观察并思考平行四边形的特点。 新知初探 探究一 平行四边形的相关概念　 活动1 观察三个四边形，说出它们两组对边有什么位置关系？ 两组对边都不平行 一组对边平行， 两组对边分别平行 一组对边不平行 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 活动2 结合图形介绍平行四边形的记法、读法，并说出与平行四边形有关的概念:对边、对角、对角线。 1.几何语言： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 2.记作：▱ABCD 读作：平行四边形ABCD。 3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的对角线.如图中的AC。 4.平行四边形中相对的边称为对边，相对的角称为对角。 任务一　意图说明 通过学生的感知，引出平行四边形的概念、记法、读法。通过对平行四边的判断，让学生明确两组对边分别平行是判断平行四边形的主要特征。同时让学生结合图形说出一些相关概念。既讲解并巩固了知识点，又激发了学生的学习热情。 探究二 平行四边形边、角的性质 活动1 平行四边形的对称性 请同学们拿出你准备的平行四边形，然后研究下面的问题： 1.平行四边形是轴对称图形吗？如果是，请找出对称轴，如果不是，请说明理由。 2.平行四边形是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心，如果不是，请说明理由。 3.你能验证你的猜想吗？（学生展示后教师利用多媒体以及几何画板进行演示） 得出结论1：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。 活动2 平行四边形边、角的性质 教师利用多媒体进行演示后提问： 对称性是从整体看具有的性质，平行四边形的构成元素对边、对角又有哪些性质呢？小组讨论后进行分享展示。 （1）可以采取测量、旋转、折叠、拼图等方法。 （2）通过小组合作，共同探讨平行四边形对边、对角有哪些性质。 （3）总结各自小组的结论并展示。（学生展示后，老师几何画板展示） 得出结论2：平行四边形的对边平行且相等； 平行四边形对角相等。 活动3 推理论证，验证性质 你能通过推理来证明平行四边形的对边相等和平行四边形的对角相等吗？ （学生思考，讨论后教师请学生说出证明思路，老师出示规范的证明过程） 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。 求证： AB=CD，BC=DA； ∠B=∠D,∠BAD=∠DCB。 证明：如图，连接AC。 ∵四边形ABCD为平行四边形（已知）， ∴BC // DA，AB // CD. （平行四边形的定义）. ∴∠1=∠2，∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）. ∵AC=CA（公共边）， ∴△ABC ≌ △CDA（ASA）。 ∴AB=CD，AD=CD，∠B=∠D。 又∵∠1=∠2，∠3=∠4。 ∴∠1+∠4=∠2+∠3，即∠BAD=∠DCB. 归纳：平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等。 性质的几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD ,AD∥BC，AB=CD，AD=BC, ∠A=∠C，∠B=∠D, 任务二　意图说明 让学生再次经历文字命题证明的过程，进一步体会证明的必要性和数学的严谨性，并进行证明，从中进一步体会证明的过程。它通过把平行四边形分成两个全等三角形，进而将平行四边形内的线段或角的问题转化为三角形全等的问题，进一步体会转化的数学思想方法。 探究三 平行四边形性质的应用 活动1 例 已知: 如图，在□ABCD中，E，F 是对角线AC上的两点，并且AE=CF．求证：BE = DF． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AB // CD， ∴ ∠BAE=∠DCF． 又∵AE=CF， ∴△ABE≌△CDF．（SAS） ∴BE=DF. 活动2 随堂练习 1.有一块形状如图所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm，BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC，AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？ DE=20 cm ，∠D=60°. 2.港珠澳大桥第一高塔青州航道桥——“中国结”桥塔尤其引人瞩目，已经成为大桥显著性地标，寓意着三地文化的交融，以及共同开创粤港澳大湾区美好未来。桥塔参照中国结造型，从外形和艺术角度进一步优化，规避直角的生硬，使用曲线元素，使造型更优美。如下图，中国结中四边形ABCD是平行四边形，若AB = 8cm，周长等于30cm，其余三条边的长分别为 7cm，7cm，8cm . 3.已知:如图，在□ABCD中，E，F分别是BC和AD上的点，且BE=DF.求证:△ABE≌△CDF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，∠B=∠D. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）. 任务三　意图说明 一方面，用来检查学生对平行四边形的性质的理解、掌握和运用情况，另一方面，用来规范学生的解题步骤和格式。学生通过此环节的思、议、练，进一步理解和应用掌握了平行四边形的性质特征，是对探索归纳、比较的综合提高。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第1课时 平行四边形边、角的性质 1.平行四边形的定义 2.平行四边形的边角性质 3.平行四边形边角性质的应用 （1）例 （2）随堂练习 教学反思 本节课教学平行四边形边角性质时，注重引导学生通过动手操作自主探究，但仍有不足。课堂上让学生用全等三角形证明性质，多数学生能跟上思路，可少数基础弱的学生理解较慢，后续需加强分层指导。例题设计虽结合生活实际，却忽略了变式训练，学生灵活运用性质的能力有待提升。互动环节中，小组讨论不够充分，部分学生参与度低，今后要优化提问方式，激发全员参与热情，让学生更深入理解并运用平行四边形的边角性质。 第2课时 平行四边形对角线的性质及梯形 教学设计 课标摘录 1.理解平行四边形、梯形的概念，了解四边形的不稳定性。 2.探索并证明平行四边形的性质定理：对角线互相平分。 教学目标 1．探索并证明平行四边形的对角线互相平分的性质，并能进行平行四边形性质的简单应用。 2.掌握解决平行四边形问题的基本思路是化为三角形问题，渗透转化思想。 3.通过小组交流合作探究学习，促进同学间的情感交流，体会学习的乐趣，在自我评价中学会自我肯定，增强学习的自信心。 教学重难点 重点:平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用。 难点:运用平行四边形的性质解决有关的计算和证明。 教学策略 为了几何课堂的有趣、生动、高效，结合本节课内容和学生的实际水平，采用几何画板直观演示、设疑引导的教学方法。在教学过程中，始终围绕目标，设置带有启发性和思考性的问题，创设问题情境，引导学生思考、让学生亲身体验知识的产生过程，激发学生探求知识的欲望，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，使获取新知识水到渠成。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 学校美化校园，要在一块平行四边形的花坛里种植四种不同颜色的花，要将这块地划分成面积相等的四部分。一位同学的分法如图所示，你同意他的分法吗？ 新知初探 探究一　平行四边形对角线的性质 活动1 提出猜想 1.上节课我们通过将平行四边形旋转180°，发现了平行四边形的中心对称性，以及边、角的特殊性质。现在画出平行四边形的两条对角线，再次进行旋转，你又能发现平行四边形的对角线有什么特殊性质呢？ 2.如果改变这个平行四边形的形状和大小，还有这样的关系吗？请同学们观察在变动过程中OA、OB、OC、OD的长度变化情况。你有什么发现？ 3.由此你能得出什么猜想？（平行四边形的对角线互相平分） 活动2 证明猜想 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证:OA=OC,OB=OD. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB=CD，AB//DC， ∴ ∠BAO=∠DCO ，∠ABO=∠CDO， ∴ △AOB≌△COD， ∴ OA=OC,OB=OD. 得出结论：平行四边形的对角线互相平分 几何语言：□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则OA=OC，OB=OD. 活动3 例1 已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F. 求证:OE=OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD//BC ， OA=OC， ∴ ∠OAE=∠OCF. 又∵∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF(ASA). ∴OE=OF. 活动4 变式练习 1.例题中若过点O的直线绕点O旋转到任意位置（例如下图位置），直线与一组对边（或对边的延长线）交于点E，F，那么例题中的结论还成立吗？ 2.在这个转动过程中，你还发现哪些结论？找找看！ （1）AE=CF； （2）DE=BF； （3）C四边形AEFB=C四边形CFED； （4）S四边形AEFB=S四边形CFED； …… 结论：过平行四边形两条对角线交点（对称中心）的直线将平行四边形分成面积相等的两部分。 3.校园里有一块平行四边形的草地，草地中间的点P处有一口水井，为了浇水方便，学校想要经过水井修小路，并把草地分成面积相等的两块，你能帮助校长解决这个问题吗？试一试怎样分？并说明你的理由. 任务一　意图说明 引导学生通过观察、操作、推理探究平行四边形对角线的性质，让学生经历 “猜想 — 验证 — 得出结论” 的过程，理解对角线互相平分这一核心性质。同时，结合实例应用，使学生掌握性质的运用方法，培养几何直观与逻辑推理能力。通过小组合作与自主探究，激发学生学习兴趣，体会数形结合思想，为后续学习特殊平行四边形奠定基础，提升分析和解决问题的能力。 探究二 梯形 活动1 尝试·思考 还记得小学学过的梯形的“样子”吗？画一画，“将它与平行四边形比较， 并试着给出梯形的定义。腰 上底 腰 下底 高 一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形(trapezoid)。如图, 平行的两边称为梯形的底，较短的底通常称为上底，较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形。 活动2 尝试·交流 等腰梯形是轴对称图形吗？将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现？与同伴进行交流。 答案提示：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形的两底角相等。 任务二　意图说明 设计意图在于引导学生从生活实例抽象出梯形，通过观察、对比探究梯形的定义、性质，明确与平行四边形的区别与联系。借助画图、剪拼等操作，理解等腰梯形的特殊性，培养空间想象与逻辑推理能力。结合实例应用，让学生掌握梯形问题转化为三角形或平行四边形的解题思路，通过小组讨论激发学习主动性，为后续复杂几何问题解决奠定基础。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第2课时 平行四边形对角线的性质 1.平行四边形对角线的性质 2.例 3.梯形 变式练习 （1） （2） （3） 教学反思 本节课围绕平行四边形对角线性质展开教学，通过让学生动手测量、小组讨论推导性质，多数学生能理解对角线互相平分的结论。但教学中存在不足：部分学生对性质的推理过程理解不深，应用时忽略前提条件。例题设计难度梯度不够，未能充分兼顾不同层次学生。后续需加强几何语言表达训练，增加变式练习，引导学生多结合图形分析问题，同时关注推理过程的规范性，让学生在实践中深化对性质的理解与运用。 第3课时 用边判定平行四边形 教学设计 课标摘录 探索并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 教学目标 1.探索并证明利用边判定平行四边形的定理。 2.经历平行四边形判定定理的探索过程，发展学生合情推理与演绎推理能力，培养学生动手实践能力，积累数学活动经验，体会归纳、转化的数学思想。 3.通过探索活动，培养主动探究、合作交流的学习习惯。 教学重难点 重点:利用边判定平行四边形的定理的探究。 难点:利用边判定平行四边形的定理的理解与应用。 教学策略 在利用边判定平行四边形的教学中，可先从生活实例引入，如伸缩门、栅栏等，让学生感知“对边特殊关系构成平行四边形”。接着引导学生回顾平行四边形的定义，通过对比“两组对边分别平行”，提出“能否用边的数量关系判定”的问题。随后组织动手活动，让学生用纸条拼摆，观察“两组对边分别相等”“一组对边平行且相等”的图形是否为平行四边形，再结合几何画板动态演示验证。之后引导学生用全等三角形知识推导判定定理，强化逻辑推理。最后设计阶梯练习，从辨析图形到实际应用，逐步巩固，让学生在直观感知与理性证明中掌握判定方法。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 如图，要画出一个以线段AB,AD为邻边的□ABCD，你有哪些想法？与同伴进行交流。 B D A 作法步骤： 1.以A为起点，画出线段AB和AD。 2.过点B作AD的平行线，过点D作AB的平行线，两条平行线相交于点C。 3.连接CD和BC，得到平行四边形ABCD。 问题：这个作法的依据是什么？ 新知初探 探究一 利用边判定平行四边形 活动1 ：取四根细木条(其中两两相等)作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？ 与同伴进行交流.学生以小组为单位，动手操作、观察,完成探究活动，共同得到： （1）只有将两两平行的木条分别作为四边形的两组对边才能得到平行四边形． （2）通过观察、实验、猜想到：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，教师引导思考：以上活动事实,能用文字语言表达吗？ 已知：如图，在四边形 ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：四边形 ABCD是平行四边形. 证明:如图，连接 BD.在△ABD和△CDB中， ∵AB=CD，AD=CB，BD=DB， ∴△ABD≌△CDB. ∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠DBC. ∴AB∥CD，AD∥CB. ∴四边形 ABCD是平行四边形 归纳总结 平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 几何语言： 如图，∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形 ABCD是平行四边形. 活动2 将两根同样长的木条 AD，BC 平行放置,再用木条 AB，DC 加固,得到的四边形 ABCD 是平行四边形吗？ 通过观察、实验、猜想到：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，教师引导思考：以上活动事实,能用文字语言表达吗？ 已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD, 且AB=CD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形. 证明：如图，连接 AC. ∵ AB∥CD， ∴ ∠BAC=∠DCA. 又∵ AB=CD， AC=CA， ∴ △ABC≌△CDA. ∴ BC=DA. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 思考：你还有其他证法吗？与同伴交流． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言： ∵AB=CD， AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 任务一　意图说明 让学生理解利用边判定平行四边形的定理本质，即从边的数量或位置关系出发，建立判定平行四边形的逻辑依据。通过实例感知、动手操作，培养学生观察与抽象能力；借助定理推导，深化对全等三角形等知识的运用，提升逻辑推理素养；通过练习巩固，让学生掌握定理的应用条件，学会区分不同判定方法的适用场景，形成从边的特征分析图形性质的思维方式，为后续复杂几何问题解决奠定基础，同时体会几何知识的严谨性与实用性。 探究二　典例精析 活动1 例 如图，在▱ABCD 中，E，F 分别为 AD 和 BC 的中点． 求证：四边形 BFDE 是平行四边形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD=CB （平行四边形的对边相等）， AD//BC （平行四边形的定义）. ∵E，F 分别为 AD 和 BC 的中点， ∴ED=AD ，BF=BC， ∴ED=BF，ED∥BF. ∴四边形 BFDE 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 活动2 随堂练习 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF． 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵∠ABD＝∠CDB， ∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF. ∵BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°. ∵BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 任务二　意图说明 此部分教学意图在于让学生熟练运用边的相关判定定理解决实际问题，强化对定理条件与结论的关联理解。通过典型例题解析，引导学生学会分析图形中边的关系，精准选择判定方法；设计变式练习，培养学生从复杂图形中提取关键信息的能力，提升几何直观与逻辑推理的结合运用水平。同时，通过实际情境问题，让学生感受定理的应用价值，深化对 “边的特征决定图形属性”的认知，形成规范的推理表达习惯，为综合几何证明积累经验。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第3课时 用边判定平行四边形 1. 利用边判定平行四边形的定理 2. 利用边判定平行四边形的定理的应用 （1）定理1证明 （1）例 （2）定理2证明 （2）随堂练习 教学反思 本次教学中，通过实例与操作让学生直观感知定理，多数学生能理解边的判定条件，但部分学生对 “一组对边平行且相等”与“两组对边分别相等”的适用场景区分不清。推导环节中，学生对全等三角形辅助线添加的思路不够顺畅，反映出前期知识衔接需加强。练习设计梯度较合理，但对复杂图形的拆解指导不足，导致少数学生难以提取有效信息。后续需增加对比辨析练习，强化定理应用差异；在推导环节细化引导，帮助学生建立知识关联，同时加强图形分析方法的渗透，提升学生的几何思维能力。 第4课时 用对角线判定平行四边形 教学设计 课标摘录 探索并证明平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 教学目标 1.会证明对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理。 2.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理,并学会简单运用。 3.经历平行四边形判别条件的探索过程,在探究活动中发展学生的合情推理意识，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力。 教学重难点 重点:平行四边形判定方法的探究、运用。 难点:对平行四边形判定方法的探究以及平行四边形的性质和判定的综合运用。 教学策略 在利用对角线判定平行四边形的教学中，可从复习边的判定方法切入，引导学生思考 “对角线是否也能判定”。展示平行四边形对角线互相平分的性质，反向提出猜想，再让学生动手画对角线互相平分的四边形，观察是否为平行四边形。结合几何画板演示，动态验证猜想后，引导学生用三角形全等推导定理。通过对比边与对角线判定的差异，加深理解。设计分层练习，从直接应用到复杂图形中提取对角线关系，再到实际问题解决，逐步强化。过程中注重引导学生规范推理步骤，让学生在猜想、验证、应用中掌握判定方法，提升几何推理能力。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 平行四边形的判定定理 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.A B C D 几何语言描述为： ∵AB∥CD,AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述为： ∵AB=CD,AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言描述为： ∵ AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形. 新知初探 探究一　平行四边形的判定定理3 活动1 尝试·思考 工具:两根不同长度的细木条. 动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？ 活动2 定理证明 思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？ 已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。 求证：四边形ABCD是平行四边形。 证明: ∵ OA=OC,OB=OD， 且 ∠AOB=∠COD， ∴ △AOB≌△COD， ∴ AB=CD. 同理可得:BC=AD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 平行四边形判定定理3：A B C D Ｏ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 用数学语言描述为： ∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形。 任务一　意图说明 通过引导学生探究对角线互相平分的四边形是平行四边形这一定理的证明，旨在让学生经历 “观察猜想 — 推理验证 — 总结应用” 的过程，深化对平行四边形判定的理解。教学中注重培养学生的逻辑推理能力，引导其运用全等三角形等已有知识推导新定理，体会转化思想。同时，通过实例应用，让学生感受定理的实用性，增强几何学习的兴趣，为后续复杂图形的分析奠定基础，提升综合运用知识解决问题的能力。　 探究二　平行四边形判定定理的应用 活动1 典例精析 例 已知,如图, E，F是▱ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF．求证:四边形BFDE是平行四边形. 证明: 如图,连接BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. ∵AE=CF ，∴OA-AE=OC-CF， 即OE=OF. ∴四边形BFDE是平行四边形. 问题：还有其他证法吗？请尝试证明。 活动2 思考·交流 比较平行四边形的性质定理和判定定理，他们有怎样的关系？与同伴进行交流。 活动3 回顾·反思 回顾平行四边形性质定理和判定定理的证明过程，你积累了哪些分析证明思路的经验，请分享给大家。 活动4 随堂练习 1．如图，四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（　　） A．OA＝OC，OB＝OD B．AD＝BC，AD∥BC C．∠ABC＝∠ADC，AD＝BC D．AB＝DC，AD＝BC 2．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．求证：四边形ADCE是平行四边形． 3．如图，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG，DH，分别与AB，BC交于E，F，若E，F分别是AB，BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 答案：1.C 2.证明：∵CE∥AB，∴∠FAD＝∠FCE，∠ADF＝∠CEF， ∵F是AC中点，∴AF＝CF， 在△AFD与△CFE中， ∴△AFD≌△CFE（AAS）， ∴DF＝EF， ∴四边形ADCE是平行四边形． 3.证明：连接BD交AC于O，连接BG，BH， ∵E是AB中点，AG＝GH， ∴EG是△ABH的一条中位线， ∴EG∥BH，即GD∥BH， 同理可证BG∥DH， ∴四边形BHDG是平行四边形． ∴BO＝OD，GO＝OH. 又∵AG＝HC，∴AG+GO＝HC+OH， 即AO＝OC. 又∵BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 任务二　意图说明 利用对角线判定平行四边形定理的应用，旨在让学生通过具体问题感知定理的实用价值，深化对判定逻辑的理解。教学中引导学生从图形中提取对角线信息，运用定理快速判定平行四边形，培养几何直观与推理能力。结合实例训练，让学生掌握 “对角线互相平分” 这一关键条件的识别与应用技巧，体会定理在解决计算、证明问题中的便捷性，强化知识迁移能力，为复杂几何问题的解决积累经验，提升数学应用意识。 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第4课时 用对角线判定平行四边形 1.利用对角线判定平行四边形 3.平行四边形的性质与判定的关系 2.例 教学反思 本次教学围绕对角线判定定理展开，通过逆向猜想与动手验证，学生对 “对角线互相平分的四边形是平行四边形” 的理解较深入，但部分学生在定理应用时，易忽略 “互相平分” 的双向性，误将 “对角线相交” 等同于 “互相平分”。推导过程中，辅助线构造及全等三角形对应关系的推导，少数学生思路卡顿，反映出逆向思维训练需加强。练习中，复杂图形里对角线关系的提取能力不足，说明图形分解指导不够。后续应增加对比辨析，强化定理条件的精准理解，同时在推导环节细化引导，提升学生逆向推理与图形分析能力。 第5课时 平行线之间的距离及平行四边形性质和判定的综合运用 教学设计 课标摘录 理解两条平行线之间距离的概念，能度量两条平行线之间的距离。 教学目标 1.理解并掌握平行线间的距离及性质； 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质解决实际问题； 3.在运用平行四边形的判定方法与性质解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力。 教学重难点 重点：探究平行线之间的距离及其性质。 难点：综合运用平行四边形的判定方法和性质解决问题。 教学策略 在平行线之间的距离及平行四边形性质与判定的综合教学中，以情境创设为切入点，结合生活实例引出平行线间距离的概念，通过动手测量让学生直观感知距离的唯一性。接着，引导学生将该概念与平行四边形性质关联，借助几何画板动态演示，探究平行四边形对边距离与面积的关系。在综合应用环节，设计阶梯式问题链，从基础的性质直接应用到判定与性质的混合推理，鼓励学生多角度分析，通过小组讨论梳理解题思路，强化 “已知平行四边形用性质，证平行四边形用判定” 的逻辑。同时，注重错题剖析，帮助学生明晰知识交叉点的常见误区，提升综合运用能力。 教学过程 教学步骤 教学活动 情境导入 问题：如图所示，在这条笔直的铁轨上，两铁轨之间有很多平行的枕木，你觉得夹在两铁轨间的枕木长度一样吗?你能说明理由吗？ 新知初探 探究一 平行线之间的距离及性质　 活动1 例1 已知：如图所示，直线a//b，过直线a上任两点A，B分别向直线b作垂线，交直线b于点D、C.求证：AD=BC. 证明：∵AD⊥b，BC⊥b， ∴∠1=∠2=90o，∴AD//BC. ∵AB//DC， ∴四边形ADCB是平行四边形， ∴AD=BC. 追问：如果在直线a上再任取一点E，作EF⊥b，EF与AD，CB有什么关系？你还能画出这样的线段吗？ 结论：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.也就是说平行线之间的距离相等. 活动2 操作·思考 如果将例题中的AD⊥b，BC⊥b改为AD∥BC，其他条件不变，AD=BC还成立吗？由此我们可以得到什么结论？ 结论：夹在两条平行线间的平行线段相等. 任务一　意图说明 本环节旨在让学生独立探索平行线间的平行线段的性质和认识平行线之间的距离，类比思想和转化思想是探索中重要的数学思想，让学生通过实例进行一一体会，同时也感受到实例抽象成数学模型这一研究问题的方法. 探究二 平行四边形性质与判定的综合运用 活动1 尝试·交流 每人准备一张方格纸，以方格纸的格点为顶点画平行四边形，并与同伴交流各自画图的正确性。 方法展示：（至少有三种方法展示） 活动2 例2 如图，在▱ABCD中，点M，N分别在边AD和BC上，点E，F在对角线BD上，且DM=BN，DF = BE.求证：四边形MENF是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠MDF=∠NBE. ∵DM=BN，DF=BE， ∴△MDF≌△NBE， ∴MF=NE，∠MFD=∠NEB. ∴∠MFE=∠NEF，∴MF∥EN. ∴四边形MENF是平行四边形. 任务二　意图说明 设计的活动是要依据平行四边形的性质和判定解决问题，要利用好课堂生成，通过不断变换结论让学生体会平行四边形性质和判定的综合运用，并认识到利用平行四边形也可以解决线段相等和角相等的问题。让学生可以多角度思考获得等角或等线段，拓展思维。　　 当堂达标 具体内容见同步课件 课堂小结 具体内容见同步课件 板书设计 第5课时 平行线之间的距离及平行四边形性质和判定的综合运用 1.平行线之间的距离及性质 3.例2 2.例1 4.随堂练习 教学反思 本节课的内容由浅入深，通过实例认识“平行线之间的距离”，探索并证明“夹在平行线之间的平行线段相等”这一性质，培养抽象能力和推理能力，再通过弱化前面问题中的条件得到“夹在两条平行线间的平行线段相等”，体现了由特殊到一般的探索方法.在教学时，要鼓励学生大胆猜想，引导学生构造平行四边形来推理证明. 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $