5.1 数列基础（讲义）高二数学人教B版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学数列基础核心知识点，系统梳理数列的定义、项、首项、通项公式、前n项和及递推关系，以概念认知为起点，逐步深入到关系表达，构建从基础要素到内在联系的学习支架。 该资料通过“即学即练”与“题型”模块设计，结合斐波那契数列填空、递推关系求解等实例，培养学生用数学眼光观察规律、用数学思维推理关系的能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，有效查漏补缺。

选修三 第五章 数列 5.1 数列基础 知识点一 相关概念 定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 1.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.第一项叫首项，常用表示. 3.通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列的前项和：把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和. 记作，即. 即学即练 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)下列有关数列的说法正确的是(   ) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 2.(25-26高二上·湖南张家界·期末)观察下列数列的特点，在划线处应填的数是(   ) 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 知识点二 递推关系 1.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.通项与之间的关系： 即学即练 1.(25-26高二上·内蒙古包头·月考)若数列的前项和，则(    ) A．18 B．16 C．14 D．12 2.(25-26高二上·湖北·期末)在数列中，若，则(   ) A．2 B． C． D．1 题型01 判断或写出数列的项 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二下·全国·课后作业)下列说法中，正确的是(   ) A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 2.(25-26高二上·全国·单元测试)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(    ) A． B． C． D． 3.(多选)(25-26高二下·全国·课堂例题)(多选)下面四个结论正确的是(   ) A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 4.(24-25高二上·全国·课后作业)已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则______． 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·重庆渝中·月考)已知数列的通项公式为，则17是这个数列的(   ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 2.(25-26高二上·河南·月考)已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是(　　) A．2 B．4 C．8 D．80 3.(24-25高二下·江西赣州·期中)已知数列的前4项为3，6，11，20，则的通项公式可以是(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·广东佛山·期中)已知数列的通项公式为，则(   ) A．34 B．36 C．38 D．40 5.(多选)(22-23高二下·湖北省直辖县级单位·月考)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则(    ) A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项 6.(23-24高二上·北京通州·期末)已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为__________． 题型02 已知求 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·北京房山·期中)已知数列的前项和，则数列的通项公式为(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二下·河南新乡·期中)已知数列的前n项和为，且，则(   ) A．1 B．2 C． D． 3.(多选)(24-25高二上·江苏南京·期末)已知数列满足，下列命题正确的是(    ) A． B． C． D． 4.(24-25高三上·上海长宁·期中)记为数列的前项和，若，则______. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·浙江·期末)设数列的前项和为．若，则(   ) A．1 B． C．2 D． 2.(25-26高二上·北京朝阳·月考)数列的前项和为，点在函数的图象上，则(    ) A．4 B．8 C．16 D．32 3.(2024·浙江·二模)记为非零数列的前项和，若，则(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 4.(23-24高二下·江西·月考)已知数列的前项和满足，则(   ) A．11 B．13 C．24 D．25 5.(多选)(21-22高二上·广东潮州·期末)数列的前n项和，其第k项满足，则k的值可以为(    ) A．9 B．8 C．7 D．6 6.(25-26高三上·黑龙江·期中)已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 题型03 已知简单的递推关系求通项 典｜例｜精｜析 1.(23-24高二上·山东青岛·月考)已知数列满足：，，则(    ) A．19 B．21 C．23 D．25 2.(21-22高二下·上海黄浦·期中)已知数列满足(为正整数)，，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中(    ) A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 3.(多选)(24-25高二下·江西·期末)已知数列的前项和为，且，则(   ) A． B． C． D． 4.(2024·四川德阳·模拟预测)已知数列满足，且对任意，有，则______. 变｜式｜巩｜固 1.(22-23高二上·天津和平·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足 ，则第六层球的个数为(    ) A．28 B．21 C．15 D．10 2.(24-25高二下·河南·期末)在数列中，，且，则(   ) A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 3.(25-26高二上·广东广州·期末)已知数列满足，，，则(   ) A．3 B．5 C．8 D．13 4.(25-26高二上·山东临沂·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上有名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).已知数列满足：，，则(   ) A． B． C． D． 5.(多选)(25-26高二上·云南德宏·期末)已知数列的前项和为，则(   ) A． B． C． D． 6.(2025高二·全国·专题练习)有，，则____________．(注：表示不超过的最大整数) 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 选修三 第五章 数列 5.1 数列基础 知识点一 相关概念 定义：我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列. 1.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.第一项叫首项，常用表示. 3.通项公式：如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列的前项和：把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和. 记作，即. 即学即练 1.(25-26高二下·全国·课堂例题)下列有关数列的说法正确的是(   ) ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】数列的概念及辨析 【分析】根据数列的定义逐项判断即可. 【详解】①错误，例如无穷个构成的常数列、、、的各项都是； ②错误，数列、、与数列、、各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确． 故选：D. 2.(25-26高二上·湖南张家界·期末)观察下列数列的特点，在划线处应填的数是(   ) 1，1，2，3，5，__________，13，...... A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】从第三项起，每一项与前两项之间的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以划线处填的数为，， 故选：B 知识点二 递推关系 1.递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.通项与之间的关系： 即学即练 1.(25-26高二上·内蒙古包头·月考)若数列的前项和，则(    ) A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由可得，代入项数后即可求解. 【详解】根据题意，， 故选：D. 2.(25-26高二上·湖北·期末)在数列中，若，则(   ) A．2 B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.84 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】直接利用递推关系式求出数列的各项，进一步求出数列的周期，最后求出结果． 【详解】数列中，已知，， 则， ， ， ， 所以数列的周期为3， 故． 故选：A 题型01 判断或写出数列的项 典｜例｜精｜析 1.(25-26高二下·全国·课后作业)下列说法中，正确的是(   ) A．数列可表示为 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第k项为 D．数列可记为 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项、数列的概念及辨析 【分析】根据数列的概念分别判断各个选项即可. 【详解】在A中，表示集合不是数列，所以A不正确； 在B中，数列中的各项是有顺序的，所以B不正确； 在C中，第k项为，所以C正确； 在D中，数列应记为，所以D不正确． 故选：C. 2.(25-26高二上·全国·单元测试)已知数列0，2，0，2，0，2，…，则前六项适合的通项公式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】根据四个选项的通项公式写出前六项，与题干比较，得到答案. 【详解】对于A，，取前六项得2，0，2，0，2，0，不满足条件，故A错误； 对于B，，取前六项得，不满足条件，故B错误； 对于C，，取前六项得0，2，0，2，0，2，满足条件，故C正确； 对于D，，前六项为0，2，2，8，12，22，不满足条件，故D错误． 故选：C. 3.(多选)(25-26高二下·全国·课堂例题)(多选)下面四个结论正确的是(   ) A．数列和数列是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数 C．数列的第6项是13 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】判断或写出数列中的项、有穷数列和无穷数列、数列的概念及辨析 【分析】根据数列的定义、特征，数列与函数的关系逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因为数列的项是有顺序的，这两个数列虽然项的组成相同，但不是相同的数列，A错误； 对于B，由数列和函数的关系可知B正确； 对于C，数列的第6项即，故C正确； 对于D，因为数列的项数可以是有限的也可以是无限的，故D错误． 故选：BC. 4.(24-25高二上·全国·课后作业)已知数列的通项公式为，若第项是第项的3倍，则______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】根据题意，由数列的通项公式列出方程，代入计算，即可求解. 【详解】由题得，又，所以， 解得(舍去)或． 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·重庆渝中·月考)已知数列的通项公式为，则17是这个数列的(   ) A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】由已知通项公式，令并求解，即可确定答案. 【详解】令，化为：，，解得， 故选：B． 2.(25-26高二上·河南·月考)已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是(　　) A．2 B．4 C．8 D．80 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】根据数列的概念和通项公式进行验证即可. 【详解】因为， 所以． 而，， 所以4不是数列的项. 故选：B． 3.(24-25高二下·江西赣州·期中)已知数列的前4项为3，6，11，20，则的通项公式可以是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】根据数列前4项，判断得解. 【详解】已知数列的前4项为3，6，11，20，即， 验证选项中的通项公式，只有，符合题意， 所以的通项公式可以是. 故选：B. 4.(24-25高二下·广东佛山·期中)已知数列的通项公式为，则(   ) A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】根据数列的通项公式代入求解即可. 【详解】． 故选：D. 5.(多选)(22-23高二下·湖北省直辖县级单位·月考)大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则(    ) A．数列第16项为144 B．数列第16项为128 C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】由题意首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第16项及200是否是数列的项即可. 【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50， 即，，，，， 即偶数项对应的通项公式为， 则数列的第16项为第8个偶数 即， 故选:BC． 6.(23-24高二上·北京通州·期末)已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为__________． 【答案】(答案不唯一，中的一个值) 【难度】0.65 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】记，然后分类讨论、，当以及时可直接根据通项公式的取值正负作出判断，当时，根据的正负作出判断，由此可求解出结果. 【详解】记， 当时，即，显然恒成立，不满足要求； 当时，或， 若，则，所以恒成立，不满足要求； 若，此时，必然满足数列中存在负数项， 由上可知，的可取值的范围是，故可取， 故答案为：(答案不唯一，中的一个值). 题型02 已知求 典｜例｜精｜析 1.(24-25高二下·北京房山·期中)已知数列的前项和，则数列的通项公式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用求解，并检验. 【详解】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D 2.(24-25高二下·河南新乡·期中)已知数列的前n项和为，且，则(   ) A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据代入即可得解. 【详解】当时，，又，则． 当时，，又，所以， 解得：． 故选：D 3.(多选)(24-25高二上·江苏南京·期末)已知数列满足，下列命题正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用即可求解判断. 【详解】数列中，，当时，， ，两式相减得，满足， 所以，，AC正确；BD错误. 故选：AC 4.(24-25高三上·上海长宁·期中)记为数列的前项和，若，则______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由可求得结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， 则. 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1.(24-25高二下·浙江·期末)设数列的前项和为．若，则(   ) A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据数列递推式，利用赋值法求值即可. 【详解】当时，， 当时，. 故选：D 2.(25-26高二上·北京朝阳·月考)数列的前项和为，点在函数的图象上，则(    ) A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据题意得，由求出，代入即可求出答案. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 当时，， 所以. 故选：C. 3.(2024·浙江·二模)记为非零数列的前项和，若，则(    ) A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】运用递推公式求出前4项，即可解题. 【详解】，则.即. ,， . 故. 故选：B. 4.(23-24高二下·江西·月考)已知数列的前项和满足，则(   ) A．11 B．13 C．24 D．25 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由已知先求计算即可. 【详解】因为，所以. 故选:C. 5.(多选)(21-22高二上·广东潮州·期末)数列的前n项和，其第k项满足，则k的值可以为(    ) A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立(有解)问题 【分析】利用的关系求通项公式，结合题设不等式求k值. 【详解】当时，； 当时，； 也满足， 所以的通项公式为， 由，则，得，又，故或9. 故选：AB 6.(25-26高三上·黑龙江·期中)已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为： 题型03 已知简单的递推关系求通项 典｜例｜精｜析 1.(23-24高二上·山东青岛·月考)已知数列满足：，，则(    ) A．19 B．21 C．23 D．25 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】累加法求数列通项 【分析】根据给定条件，利用累加法求通项即得. 【详解】在数列中，，， 所以. 故选：B 2.(21-22高二下·上海黄浦·期中)已知数列满足(为正整数)，，设集合．有以下两个猜想：①不论取何值，总有；②若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，则的可能取值有6个．其中(    ) A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】设出数列中的一项，然后分被3除余1，余2，余0三种情况进行讨论，借助给出的递推关系式进行推证即可判断①，结合递推关系式得到符合的形式，然后保证即可判断②． 【详解】不妨设数列中的一项为， ①若被3除余1，则由已知可得， 若被3除余2，则由已知可得， 若被3除余0，则由已知可得， 所以对任意的，，则， 所以对数列中的任一项，若，则， 因为，所以，所以数列中必存在某一项(否则与上述结论矛盾)， 若，结论得证； 若，则，，结论得证； 若，则，得证； 所以不论论取何值，总有；故①正确； ②若是3的倍数，则， 若被3除余1，则由已知可得， 若被3除余2，则由已知可得， 所以连续7项构成的等比数列的公比为， 因为，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数(否则构成等比数列的连续项数会多于7项) 设第7项为p，则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得， 因为，所以或， 由递推关系式可知，在该数列的前k-1项中，满足小于等于2022的项只有： 或，或 所以首项的所有可能取值的集合为， 故的所有可能取值有6个，故②正确． 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题考查数列的递推关系式，考查学生的抽象思维能力，属于难度较大题． 3.(多选)(24-25高二下·江西·期末)已知数列的前项和为，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意分和两种情况求数列的通项公式，进而可得. 【详解】因为， 若，则； 若，则，可得； 显然不满足，所以. 则，，；，，， 可得，故AC错误，BD正确. 故选：BD. 4.(2024·四川德阳·模拟预测)已知数列满足，且对任意，有，则______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】累加法求数列通项 【分析】利用累加法求得. 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得. 故答案为： 变｜式｜巩｜固 1.(22-23高二上·天津和平·期末)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足 ，则第六层球的个数为(    ) A．28 B．21 C．15 D．10 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】累加法求数列通项 【分析】利用递推公式进行累加法求解. 【详解】由题意得，，，，， 以上式子累加可得， 因为，所以， 故选:B. 2.(24-25高二下·河南·期末)在数列中，，且，则(   ) A．1026 B．1029 C．1032 D．1035 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项、对数的运算 【分析】用累加法求解. 【详解】由题意可得：，，，，， 各式相加可得， 因为，所以. 故选：A 3.(25-26高二上·广东广州·期末)已知数列满足，，，则(   ) A．3 B．5 C．8 D．13 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据已知的递推式依次求解即可. 【详解】因为，， 所以，，. 故选：C 4.(25-26高二上·山东临沂·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上有名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).已知数列满足：，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】推导出当且时，，再由可得出的值. 【详解】因为数列满足：，， 所以，，， ，，，， ，，，，， 以此类推可知当且时，， 因为，故. 故选：D. 5.(多选)(25-26高二上·云南德宏·期末)已知数列的前项和为，则(   ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】归纳出周期，利用周期性可得答案. 【详解】数列 ，由 和 ， 得： 由， ，得数列周期为 ， ，故 A 正确； 由数列周期为 ，得，故 B 错误； 由数列周期为 ，，故 C 正确； 故 D 错误. 故选：AC 6.(2025高二·全国·专题练习)有，，则____________．(注：表示不超过的最大整数) 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】引入辅助数列，找到其递推关系，并分析其增长性，利用不等式估计的范围，最后通过对数运算求出结果. 【详解】因为，，所以. 设，得，，，显然为正值，而且递增． 平方得， 由且，递推累加得， 所以， 所以. 当时，，所以， 由，当且仅当，即时等号成立， 递推累加得， 从而， 所以. 因此，即， 所以，即 所以，所以． 故答案为： 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $