专题2.2 二倍角公式（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-2二倍角公式讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01二倍角的余弦 2-2二倍角公式 题型02二倍角的正弦 知识点01二倍角公式 题型03二倍角的正切 题型04常用公式变形 知识点02常用公式变形 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握二倍角公式及常用公式变形，能够熟练应用公式解题. 教学重点 二倍角公式及变形 教学难点 公式的灵活应用. 知识清单 知识点01二倍角公式 二倍角公式： sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; tan2a=ea≠k+号且x≠号+ke2). 【即学即练1-1】(25-26高一上天津期末)cos25-sim2g=() A月 B.月 c.-2 2 . 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式余弦公式计算可得。 【详解】cos2晋-sin2晋cos(2x司=cos-号 故选：D 【即学即练1-2】（多选）22-23高一下-湖北月考)下列各式中，值是的是() A.cosxcos(x++sinxsin (x+ B.tan10°+tan35°+tan10tan35° tan22.5 C.1-tan222.5 D. 2-c0s2209 3-sim50° 【答案】ACD【难度】0.94【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、逆用和、差角的余弦公式化 简、求值、三角函数的化简、求值一一诱导公式 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断. 第1页共26页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 【详解】cosxs(c+)+sinxsin(x+）=cos(k-x-）=cos号-A正确： tan10°+tan35°+tan10tan35°=tan(10°+35)(1-tan10tan35)+tan10tan35°=tan45°=1，B不对： tan22.5° 12tan22.5o 1-ta222.5o 21-tam222.5o am45=子c正确： 2 2-c0s220 3-sin50° 3im50°三23n502=号，D正确。 故选：ACD 知识点02常用公式变形 (1)万能公式：sin2a=2an 1+tan乙a，C0s2a=1-tam2a 1+tan2a (2)降幂公式：sin2a=1-cos2a 2 Cos2a =1+cos2a 2: sinacosa=sin2a B)升幂公式：1+cosa=2cos2兰 1-cos a=2sin2 2 1+sin a=(sin+cos2; 1-sin a=(sin-cos)2. (4)正切和差角公式变形：tana吐tanB=tan(c吐)(1干tan atan B). (5)辅助角公式：asin+-bcosx=-1a2+b2sin(+p)(其中sin0=+,cos0=+)》, b a 特别的sina肚cosa=V2sin(a±牙)： sin3cosa=2sin(a±)： V3sin acos a=2sin(). 【即学即练2-1】(25-26高一上河北邯郸-月考)若tan(a+)=子则cos2a=() A B. C. 0. 【答案】c【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】先使用正切的和差公式求出tana的值，再使用二倍角公式结合三角函数同角关系，齐次化cos2a, 然后再上下同时除以cos2a将os2a转化为一进而可根据ama的值求解 【详解】由am(a+月-品二-专解得amu=一支 由万能公式：cos2a=-ama=3 1+tana 5 故选：C 【即学即练2-2】（多选）22-23高一下·江苏连云港·月考)下列公式正确的有() A.cosacosβ+sinasin/β=cos(a+β) B.c0s20=2c0s20-1 C.sin(π-W)=sina D.sin24=1-cosa 2 2 第2页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】BCD【难度】0.94【知识点】三角函数的化简、求值-一诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、 求值、二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据两角差的余弦公司号、二倍角公式、诱导公式、降次公式等知识对选项进行分析，从而确定 正确答案。 【详解】由差角余弦公式有cosacosB+sinasinB=cos(a-),所以A选项错误. 由倍角余弦公式有cos20=2cos20-1,B选项正确， 由诱导公式有sin(m-a)=sina,C选项正确， 由信角余弦公式有9m2兰=上空赠，0选项正确， 2 故选：BCD 题型精讲 题型01二倍角的余弦 【典例11】(2526高一上宁夏固原期末)已知sina=,则cos2a=() A孟 8. c 【答案】A【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】运用二倍角的余弦公式求解即可 【i详解】cos2a=1-2sim2a=1-2×(2=云 故选：A 【典例12】(2526高一下.全国单元测试(cosg-sim)(cos+sin)=(） A.-5 2 C. 0.9 【答案】C【难度】0.85【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦二倍角公式即可求解。 【详解】(cos营-sin)(cos君+sin月=cos2告-sin2号cos号=号 6 6 故选：C 【典例1-3】（多选）25-26高一上·福建厦门期末)下列等式计算正确的是() A.sin(180°-)=sina 8.2sim225°-1-号 C.cos26cos34+sin26sin34°=月 【答案】AD【难度】0.85【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、 差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】A:运用正弦诱导公式进行运算判断即可：B:逆用二倍角余弦公式进行运算判断即可：C:逆用两 角差的余弦公式进行运算判断即可：D:逆用两角差的正切公式进行运算判断即可. 【详解】A:因为sin(180°-a)=sina,所以本选项计算正确： B:2sim222.5°-1=-(1-2sin222.5)=-cos(2×22.59)=- ,所以本选项计算不正确： 2 第3页共26页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C:cos26c0s34+sin26sin34°=c0s(26°-34)=cos(-8)=cos8°≠所以本选项计算不正确： 1-ta空」 D: 1+tan拉 -tam（=tm- 1+tantan2 ,所以本选项计算正确 故选：AD 【典例1-4】(25-26高一上江苏南通：期末)若cos(20-)=则sim2(0+)= 【答案】/0.8【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值一一诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据2（日+）=（(20-)+π，结合二倍角公式，诱导公式化简求解即可. 【详解】因为cos(20-)=号所以cos(20+)=cos[(20-)+寸=-cos(20-)=-是 所以smr(0+)-1-a空-电-青 2 故答案为：青 【变式1-1】(25-26高一上·广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角a的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,-4),则cos2a的值为) A司 B.- c云 0云 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式可得所求三角函数值 【详解】由角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,一4)， 所以x=3,y=-4,r=√x2+y2=√32+(-4)2=5， 再根据三角函数的定义得sma一兰=一言c0sa=手一号 再由二倍角公式cos2a=cosa-sin2a=(}-(-)2=-云 故选：D. 【变式1-2】(25-26高一下.全国.单元测试)已知u,B满足cos2m+cosa=sin(G+B)·sin(G-B)+sin2B, 且a∈(0，mD,则a=() A君 B.号 c.3 0. 【答案】C【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值一一同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦 公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析借助两角和与差的正弦公式及同角三角函数基本关系、二倍角公式计算可得2c0s2π-1+c0sa=是 3 即可解出cosa,结合a范围即可得解. 【详解】sin（G+)·sim(（G-B）+sim2B=(停cosB+simg)(停cosB-是simg)+sim2B cos2B-Isin28+sin2B=cos2B+sin2B= 因此c0s2a+cosa=子即2c0s2a-1+c0sa= 第4页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则(2cosa- 1)(cosa+)=0,解得cosa=域cosa=-子舍去)， 又因为ae(0,m,所以a=号 故选：C 【变式1-3】(25-26高一上湖北随州月考)若sin(a+)=子则sin(2a+君=() A.月 B.-号 C. D.2 9 【答案】C【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解 【详解】因为sin(a+君= 所以sim(2a+9=siml2(c+)+月=cosl2(a+引=1-2sim2(a+月)=1-2×目)°-号 故选：C 【变式1-4】(25-26高一上安微芜湖期末)已知sim(日+君=，则sin(20-君)=) A.者 B。-月 C.22 3 D.-22 【答案】B【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可 【详解】因为sm(0+)=号，所以cos2(0+别=1-2sim2(0+)=1-2×兮号 所以sim(20-)=sin(20+号-月=-cos(20+)-黄 故选：B. 【变式1-5（多选）24-25高一下·江苏南京·期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,sinC- sinA=2 sinAcosB,则() A.B=2A B.b2=a2+ac C.1<sinA+CosA<1 2 D.22<4smA<1 3 4sinA-sinC 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、 用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对于A,根据条件，利用正弦和差角公式，即可求解：对于B,根据条件，利用正弦定理边转角和 余弦定理，即可求解；对于C,根据条件得<A<再利用辅助角公式，即可求解；对于选项D,利用sinC= si3A、和差角公式及倍角公式，得到sinC=3simA-4sin3A,从而有4sA 4 4sn4-sc-4snA+品’ 构造函数y= 4sinA+品n4c（G,罗，求出y的取值范围，即可求解 【详解】对于选项A,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,又sinC-sinA=2 sinAcosB, 所以cosAsinB-sinA=sinAcosB,得到sinBcosA-cosBsinA=sin(B-A)=siA, 又三角形ABC为锐角三角形，所以0<A<,0<B<?-<B-A< 则B-A=A,得到B=2A,所以选项A正确， 第5页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于选项B,由sinC-sinA=2sin4cosB,得到c-a=2 acosB=2a×+c2-是， 20e 整理得到b2=a2+ac,所以选项B正角， 对于选项C,因为sinA+cosA=V2sin(A+) ,又由选项A知B=2A, 所以0<B=2A<0<C=-3A<受得到<A<行所陪<A+< 又sn号=m(低+9=x号+×号=4，所以6<m(a+月<1， 2 2 4 4 则+1<sim4+cosA<V2,所以选项C错误， 2 对于选项o,由选项c知，sin4e(（怎， sinC sin(A+B)=sin(A+2A)=sinAcos2A+cosAsin2A =sinA[(1-2sin2A)+2(1-sin2A)]sinA(3-4sin2A)=3sinA-4sin3A 则= 4sin2A 4 设y=4sinA+品令t=simA,te(G9 则0=+片4(+) 易知f()在(，写上单调递增， 所以f0e(43回，即ye(43回则e(g,1) 所以A的取值范围是(，1)故选项D正确， 4sinA-sinc 故选：ABD. 【变式1-6】(25-26高一上湖南益阳·期末)己知a为锐角，若2sinB=cos(2a-B),则tanB的最小值 为 【答案】-马/-V3【难度】04【知识点】复杂根式型、分式型等)函数的值域、用和、差角的余弦公式化 简、求值、二倍角的余弦公式、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用三角恒等变换得anB-(m二一)，应用换元法，令t=2-ana及分类讨论，分式 型函数的性质求tanβ的范围，即可得 【详解】由题设2sinB=cos2acosβ+sin2 asinB,则2tanB=cos2a+sin2 atanB, 所以tamB=品。-oa0no cos2a-sin2a 而0<a< 所以tanB=三. ( 1 1-tan2a 1 -1): 令t=2-taa<2,则aa=2-t,则af=2[a-e-p-1刂=(a3-0, 当t=0时，tamB=(0-1)=- 当f幸0时-分（女一1 t<ocmn刂9当假当=一8取学号， 第6页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时tang[-9,-) 若2>t>0.(点-1)≤ )=点，当且仅当t=V3时取等号，此时am8∈(-1。 2 综上，tam8∈[-9号1，枚tamg的最小值为-号 故答案为：-号 题型02二倍角的正弦 【典例21】(25-26高一上宁夏银川期末)已知c0sa-sima=-号，则sim2a=() A一 8.-9 c.9 0. 【答案】A【难度】0.94【知识点】sinatcosa和sina-cosa的关系、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为cosa-sima=-只，两边平方得cos2a-2 cosasina+sin2a=子 整理得1-sin2a-子所以sin2a=-是 故选：A 【典例2-2】(25-26高一上安徽六安期末)下列各式中结果为1的是() A.2(1-2sin215) B.1-tan150 1+tan150 C.2sin15°cos15° D.cos40(1+V3tan10) 【答案】D【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】应用二倍角正余弦公式化简求值判断A、C,由差角正切公式化简求值判断B,由切化弦及和差角、 二倍角公式化简求值判断D, 【详解】A:2(1-2sin215)=2c0s30°=√3，不符， B:1-tan15 =m45-tam15=tan(450-15)=tan30=5,不符合， 1+tam15° 1+tan45tan15 3， c:2sin15°cos15°=sin30°=2 不符， cos40°(1+√3tan10=cos40°： cos10°+V3sin10o =c0s40°.2sin30+102=2m40cos40°=sh80°=os10e =1,符 cos100 cos10° cos10° c0s10° cos10° 合 故选：D 【典例2-3】（多选25-26高一上湖南长沙.期末）已知m+3os。=5,下列计算结果正确的有() 3cosa-sina A.tana =1 B.tana=2 C.cos2a+sin2a= .sim2a-cos2a=号 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】己知弦（切）求切（弦）小、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据同角三角函数的商数关系以及二倍角公式，可得答案 第7页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由ina43cosa =tama+3=5, 3cosa-sina cosa cosa 3-tana 则tana+3=15-5tana,解得tama=2,故A错误，B正确： 对于c,cos2a+in2a=爱-器- 3 ,故C正确： sinza+cos2a 对于D,im2a-cos2m=a-a品-子赦D正确 sin2a+cos2a tan2a+1 故选：BCD 【典例2-4】(25-26高一上河南许昌期末)已知sim(a-)=号 则sin2a= 【答案】。【难度】0.65【知识点】给值求值型问题、二倍角的正弦公式 【分析】利用和差公式展开，然后平方化简可得 【i详解】因为s血(a-)-o子-co；-号（6ina-os0)-号 即sina-cosa=子所以sin2a+cos2a-2 sinacosa=号，所以1-sin2a=号即sin2a=号 故答案为：号 【变式2-1】(2025高一上·全国.专题练习)v2sin75°cos75°的值是() A.9 B. c.9 D.3 【答案】C【难度】0.94【知识点】二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值 【分析】运用二倍角的正弦公式即可解出 【i详解】因为sin2a=2 sinaee0sa,所以原式-号×2sim75c°os75°=号sim150°=竖×号号 2 2 故选：C 【变式2-2】(25-26高一上湖北武汉期末)化简(V3-tan10)·cos50的值为) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】B【难度】0.85【知识点】二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】先由同角关系将tam10化为mC通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为m0 cos10° cas10,再 使用诱导公式化简为最终结果即可. 2 【详解】原式可化为V3 2cos10°2in100 ·c0s50°= /√3cos10°-sin10 cos10° ·c0s509 C0s50° c0s10° cos10° 「2(sin60cos10°-cos60sin10) c0s50°= 2sin50°cos50° gin100° sin(10°+90) cos10° =1 cos10° cos100 cos100 cos100 eos10° 故选：B 变式23】25-26商一上浙江期利已知a0=克则的值为) A B.号 C. . 【答案】C【难度】0.65【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的基本关系化简原式，最后代入求值即可 第8页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意得2+os0 2sin@cos0+cos20 2sinecos0+cos20 =2tamn0+1= 2x+1 1+sin20 sin20+sin20+cos20 2sin20+cos20 mo2子放c正确. 故选：C 【变式2-4】(25-26高一上·湖北武汉·期末)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有() A.f(x+1)=x2 B.f(x2-2x)=x-1 C.f(sin2x)=sinx D.f(cosx)=sin2x 【答案】B【难度】0.65【知识点】二倍角的正弦公式、已知fg(x)求解析式 【分析】利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析 式即可 【详解】根据函数的定义可知， A选项：令x=0,得f(1)=0,再令x=-2,得f(1)=4,因此不符合函数的定义，A错误： B选项：由f(x2-2x)=lx-1|,得f(x-1)2-1)=lx-1|,令t=(x-1)2-1,得引x-1=Vt+1,得 f(t)=Vt+1,所以f(x)=√x+1,因此符合函数的定义，B正确： C选项：令x=0,则sin2x=0,所以f(0)=0,再令x=2则sin2x=0,所以f(0)=1,因此不符合函数 的定义，C错误： D选项：令x=- f(⑨ =-1:再令x=票f( ）=1,因此不符合函数的定义，D错误. 故选：B 【变式2-5】（多选）(24-25高一上江西景德镇期末)化简下式，正确的是() 1-cos2@=tand B.1-cos2@-tand 1+cos2a sin2a C. 3 1 sin10°cos10° =4 D.2c0s20°cos40°c0s80°= 4 【答案】BD【难度】0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案， 【详解】A 1-cos2a 1-(1-2sin2a) sin2a =Vtan2a=tana,选项A错误. 1+c0s2 1+2cos2a-1 cos2a B.1-cos2a 1-(1-2sin2a) 2sin-a sina =tana,选项B正确. sin2a 2sinacosa 2sinacosa cosa 3 1 V3cos10°-sin10 2c0s(10°+30) .4cos40 sin10 cos10 sim10°cos10 29in20° sin20° 4sin50° 4sim(20°+30）_2W3sin20°+2cos20 =2V3+s70>4,选项C错误 sin20° sin20° sin20° sin20° D.2c0s20°c0s40°c0s80°=2sn20°cos20cos40°cos80 sin40°cos40°cos80° 2in80°cos80 7sin160° isin20 sin20 sin20" sin20° sin20 子D正确 故选：BD 【变式2-6】(24-25高-下-江苏期中)已知sin(26-君)=-号6e(0,),则sin(0+) 【答案】四【难度】0.4【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值-一同角三角函数基本关系、 第9页共26页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 己知正（余弦求余（正）弦 【分析】先根据的范围求出20-的范围，再利用三角函数的平方关系求出c0s(20-)的值，最后结合二 6 倍角公式和诱导公式求出sin(0+)的值， 【详解】已知0e0),则20e(0,m,所以20-e(-若). 又因为sin(28-若)=-号<0，所以28-若e(-5,0) 根据三角函数平方关系，可得：cos(29-)=,1-sin2(20-) 可得：o(20-名)=1-(---云-层=9 因为cos(20-名)=cos(20+骨-)=sin(20+),所以sim(20+3=29 再根据二倍角公式.可得：sm(20+)=2sin(0+名)cos(0+)=5@ 又因为sim2(0+)+cos2(0+5)=1② 联立①②求解sim(0+),因为0∈0，)，所以0+e(传，)，sin(0+5)>0 由@得cos(0+月=m85代入@可得：sm20+月+(m5P=1 设sin(0+)=t>0),则t2+=1,两边同时乘以25t2得： 25-252+6=0,解得2=或2=即t=或t= 由于28-e(-,0),则可以再缩小0E(0,),因此6+E(传) 因此血(0+3-te(9)由-品-侣，号-普-会 -10-10 而誓语-e().匹0--()则血(o+=t= 5 故答案为：四 题型03二倍角的正切 【典例3-1】(25-26高一上天津：期末)已知tana=子则tan2a=) A.号 8. c.- D.- 【答案】B【难度】0.94【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角正切公式计算可得 2×写 、【详解】因为taa所以a2a。官子 故选：B 【典例32】2324商一下四川达州期已知a∈(（怎).4an（作-o)=tam2,则品) A.昌 B. c.日 【答案】c【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 第10页共26页 2-2 二倍角公式 讲义 教学目标 理解并掌握二倍角公式及常用公式变形，能够熟练应用公式解题. 教学重点 二倍角公式及变形. 教学难点 公式的灵活应用. 知识点01 二倍角公式 二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 【即学即练1-1】(25-26高一上·天津·期末)(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：D 【即学即练1-2】(多选)(22-23高一下·湖北·月考)下列各式中，值是的是(    ) A． B． C． D． 【答案】ACD【难度】0.94【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断. 【详解】，A正确； ，B不对； ，C正确； ，D正确. 故选：ACD 知识点02 常用公式变形 (1)万能公式： ， ， (2)降幂公式： ； ． (3)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． (4)正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin． 【即学即练2-1】(25-26高一上·河北邯郸·月考)若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】先使用正切的和差公式求出的值，再使用二倍角公式结合三角函数同角关系，齐次化，然后再上下同时除以将转化为，进而可根据的值求解. 【详解】由，解得， 由万能公式：. 故选：C. 【即学即练2-2】(多选)(22-23高一下·江苏连云港·月考)下列公式正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.94【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】根据两角差的余弦公司号、二倍角公式、诱导公式、降次公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由差角余弦公式有，所以A选项错误. 由倍角余弦公式有，B选项正确. 由诱导公式有，C选项正确. 由倍角余弦公式有，D选项正确. 故选：BCD 题型01 二倍角的余弦 【典例1-1】(25-26高一上·宁夏固原·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】运用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】. 故选：A. 【典例1-2】(25-26高一下·全国·单元测试)(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】特殊角的三角函数值、二倍角的余弦公式 【分析】根据余弦二倍角公式即可求解. 【详解】 故选：C 【典例1-3】(多选)(25-26高一上·福建厦门·期末)下列等式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD【难度】0.85【知识点】诱导公式二、三、四、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】A：运用正弦诱导公式进行运算判断即可；B：逆用二倍角余弦公式进行运算判断即可；C：逆用两角差的余弦公式进行运算判断即可；D：逆用两角差的正切公式进行运算判断即可. 【详解】A：因为，所以本选项计算正确； B：，所以本选项计算不正确； C：，所以本选项计算不正确； D：，所以本选项计算正确. 故选：AD 【典例1-4】(25-26高一上·江苏南通·期末)若，则 . 【答案】/【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据，结合二倍角公式，诱导公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为： 【变式1-1】(25-26高一上·广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式可得所求三角函数值. 【详解】由角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点， 所以，， 再根据三角函数的定义得， 再由二倍角公式. 故选：D. 【变式1-2】(25-26高一下·全国·单元测试)已知，满足，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】借助两角和与差的正弦公式及同角三角函数基本关系、二倍角公式计算可得，即可解出，结合范围即可得解. 【详解】 ， 因此，即， 则，解得或(舍去)， 又因为，所以. 故选：C. 【变式1-3】(25-26高一上·湖北随州·月考)若，则( ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 【变式1-4】(25-26高一上·安徽芜湖·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式计算即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：B. 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江苏南京·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD【难度】0.4【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】对于A，根据条件，利用正弦和差角公式，即可求解；对于B，根据条件，利用正弦定理边转角和余弦定理，即可求解；对于C，根据条件得，再利用辅助角公式，即可求解；对于选项D，利用、和差角公式及倍角公式，得到，从而有 ，构造函数，，求出的取值范围，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又， 所以，得到， 又三角形为锐角三角形，所以，， 则，得到，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 整理得到，所以选项B正角， 对于选项C，因为，又由选项A知， 所以，得到，所以， 又，所以， 则，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，， 又 则 ， 设，令， 则，易知在上单调递增， 所以，即，则， 所以的取值范围是，故选项D正确， 故选：ABD. 【变式1-6】(25-26高一上·湖南益阳·期末)已知为锐角，若，则的最小值为 ． 【答案】/【难度】0.4【知识点】复杂(根式型、分式型等)函数的值域、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、基本(均值)不等式的应用 【分析】利用三角恒等变换得，应用换元法，令及分类讨论、分式型函数的性质求的范围，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，而， 所以， 令，则，则 ， 当时，， 当时，， 若， ，当且仅当时取等号， 此时 若，，当且仅当时取等号，此时， 综上，，故的最小值为. 故答案为： 题型02 二倍角的正弦 【典例2-1】(25-26高一上·宁夏银川·期末)已知，则( ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】由同角三角函数关系式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为，两边平方得， 整理得，所以. 故选：A. 【典例2-2】(25-26高一上·安徽六安·期末)下列各式中结果为1的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】应用二倍角正余弦公式化简求值判断A、C，由差角正切公式化简求值判断B，由切化弦及和差角、二倍角公式化简求值判断D. 【详解】A：，不符， B：，不符合， C：，不符， ，符合. 故选：D 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知，下列计算结果正确的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】已知弦(切)求切(弦)、正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据同角三角函数的商数关系以及二倍角公式，可得答案. 【详解】由， 则，解得，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 【典例2-4】(25-26高一上·河南许昌·期末)已知，则 ． 【答案】【难度】0.65【知识点】给值求值型问题、二倍角的正弦公式 【分析】利用和差公式展开，然后平方化简可得. 【详解】因为， 即，所以，所以，即. 故答案为： 【变式2-1】(2025高一上·全国·专题练习)的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.94【知识点】二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值 【分析】运用二倍角的正弦公式即可解出. 【详解】因为，所以原式=， 故选：C 【变式2-2】(25-26高一上·湖北武汉·期末)化简的值为(   ) A． B．1 C． D．2 【答案】B【难度】0.85【知识点】二倍角的正弦公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】先由同角关系将化为，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为，再使用诱导公式化简为最终结果即可. 【详解】原式可化为 ， 故选：B. 【变式2-3】(25-26高一上·浙江·期末)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】利用二倍角的正弦公式结合同角三角函数的基本关系化简原式，最后代入求值即可. 【详解】由题意得，故C正确. 故选：C 【变式2-4】(25-26高一上·湖北武汉·期末)存在函数满足：对任意都有(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】二倍角的正弦公式、已知f(g(x))求解析式 【分析】利用函数的定义，逐一考查所给的函数，不满足题意的选项给出反例，符合题意的函数给出解析式即可. 【详解】根据函数的定义可知， A选项： 令，得，再令，得，因此不符合函数的定义，A错误； B选项：由，得，令，得，得，所以，因此符合函数的定义，B正确； C选项：令，则，所以，再令，则，所以，因此不符合函数的定义，C错误； D选项：令，；再令，，因此不符合函数的定义，D错误. 故选：B 【变式2-5】(多选)(24-25高一上·江西景德镇·期末)化简下式，正确的是( ) A．= B．= C． D．= 【答案】BD【难度】0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】利用三角恒等变换化简各选项即可确定正确答案. 【详解】A.，选项A错误. B.，选项B正确. C. ，选项C错误. D.，D正确. 故选：BD. 【变式2-6】(24-25高一下·江苏·期中)已知，，则 ． 【答案】【难度】0.4【知识点】二倍角的正弦公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】先根据的范围求出的范围，再利用三角函数的平方关系求出的值，最后结合二倍角公式和诱导公式求出的值. 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 设()，则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ，，则. 故答案为：. 题型03 二倍角的正切 【典例3-1】(25-26高一上·天津·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.94【知识点】二倍角的正切公式 【分析】利用二倍角正切公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：B 【典例3-2】(23-24高一下·四川达州·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】根据题意，化简可得，解得，再由代入计算即可． 【详解】，即， ，整理得，解得或， ，，， ． 故选：C． 【典例3-3】(多选)(25-26高一上·陕西榆林·期末)下列选项中与的值相等的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BC【难度】0.65【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用诱导公式化简可判断A；利用诱导公式以及倍角公式可判断B；通分，再利用正切的倍角公式可判断C；利用正切的和角公式可判断D. 【详解】，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：BC． 【典例3-4】(24-25高一下·北京西城·期中)已知，则的值是 . 【答案】/【难度】0.85【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】利用平方关系配方，再由弦化切求正切值，然后利用二倍角公式求值即可. 【详解】由可得， 弦化切得：， 再由二倍角公式得：， 故答案为： 【变式3-1】(24-25高一下·山东枣庄·期末)有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D【难度】0.94【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【分析】由二倍角的正余弦，正切公式可得. 【详解】，①正确； ，②正确； 因为，所以，③正确. 故选：D. 【变式3-2】(25-26高一下·全国·单元测试)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.85【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正切公式 【分析】由条件结合同角关系求，再利用二倍角公式求即可. 【详解】因为，，所以， 所以，则，所以，所以. 故选：A. 【变式3-3】(25-26高一上·安徽合肥·期末)若为第二象限角，且，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知弦(切)求切(弦)、二倍角的正切公式 【分析】利用同角三角函数的商关系和二倍角公式进行化简可求得，然后根据同角三角函数的关系求出. 【详解】由题意得，，化简得， 整理得，,， 因为为第二象限角，所以. 故选：A 【变式3-4】(25-26高一上·安徽阜阳·期末)已知，则的值等于(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的正切公式 【分析】利用诱导公式化简可得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 故. 故选：C. 【变式3-5】(多选)(24-25高一上·山西·期末)已知，则下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D． 【答案】ABD【难度】0.65【知识点】基本不等式求和的最小值、二倍角的正切公式、用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的正切公式可得选项A正确；利用倍角公式及条件可计算，由此可得选项B正确；利用两角差的正切公式和基本不等式可得选项C错误；利用条件可得，根据两角和、差的正弦公式可得选项D正确. 【详解】对于A，若，则，， ∴，故A正确； 对于B，若，则， 由得，，故，解得， ∴，，故，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，由得，即. ∴，故D正确. 故选：ABD. 【变式3-6】(25-26高三上·安徽淮北·月考)求值： ． 【答案】3【难度】0.4【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】先利用两角和及二倍角的正切公式证明，再根据两角和与差的正切公式化简求解. 【详解】， . 故答案为：3. 题型04 常用公式变形 【典例4-1】(25-26高一上·福建福州·期末)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式、万能公式 【分析】利用三角函数的定义得出的值，再利用万能公式可得出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故. 故选：B. 【典例4-2】(25-26高一上·江苏南通·期末)设角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正弦公式、万能公式 【分析】根据三角函数定义与万能公式求解即可. 【详解】角的终边经过点,所以， 所以. 故选：C 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·广东肇庆·期末)下列等式成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.65 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式、辅助角公式 【分析】根据二倍角的正弦公式判断A，根据二倍角的余弦公式判断B，根据二倍角正切公式判断C，利用两角差的余弦公式、二倍角正弦公式，诱导公式判断D. 【详解】因为，故A错误； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，D正确. 故选：BCD 【典例4-4】(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则 . 【答案】【难度】0.94【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式、万能公式 【分析】根据三角函数的定义及万能公式可得. 【详解】因为角以Ox为始边，终边与单位圆交于点， 根据三角函数的定义可得，再由万能公式可得. 故答案为：. 【变式4-1】(25-26高一上·河北承德·期末)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、万能公式 【分析】由三角函数定义、诱导公式结合万能公式即可求解. 【详解】由题意，，所以． 故选：B． 【变式4-2】(25-26高一上·河北邢台·期末)设，若，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】对平方后化简，利用结合二倍角公式求出，结合求出，代入检验，排除增根． 【详解】已知，， 则，解得， ，，或，即或， 当时，，舍去； 当时，，符合题意；，故C正确． 故选：C． 【变式4-3】(25-26高一上·安徽芜湖·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65【知识点】万能公式【分析】根据万能公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式4-4】(25-26高一上·安徽马鞍山·期末)已知角满足，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、cos2x的降幂公式及应用、sin2x的降幂公式及应用 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解. 【详解】角满足， 则 . 故选：D 【变式4-5】(多选)(23-24高二上·四川成都·开学考试)下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.94 【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】A选项，逆用余弦二倍角公式进行求解；B选项，逆用正弦二倍角公式进行求解；C选项，利用辅助角公式和诱导公式求出答案；D选项，将换为，逆用正切差角公式进行求解. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 【变式4-6】(23-24高二上·河南·开学考试)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________． 【答案】【难度】0.85【知识点】cos2x的降幂公式及应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理，结合降幂公式、两角和的正弦公式进行求解即可. 【详解】由正弦定理得，则， 得， 所以，即． 因为所以，因此． 又，所以． 故答案为： 一、单选题 1.(2021高一·全国·专题练习)已知，则=(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】cos2x的降幂公式及应用、给值求值型问题、诱导公式五、六 【分析】利用半角公式和诱导公式进行求解. 【详解】∵，∴． 故选：B． 2.(24-25高一下·河南南阳·期末)(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.94【知识点】二倍角的正切公式 【分析】变形后逆用二倍角的正切公式求解即可. 【详解】 故选：A. 3.(25-26高一上·河南周口·期末)(   ) A． B． C． D．1 【答案】B【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由正余弦二倍角公式及两角差的正弦公式转化为特殊角进行化简，进而求解. 【详解】 . 故选：B. 4.(24-25高三上·安徽·月考)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.65【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式、万能公式 【分析】应用诱导公式和二倍角正余弦公式得，再由二倍角正切公式可得，再应用齐次式法求. 【详解】由，得， 则，而． 故选：B 5.(25-26高一上·福建三明·期末)已知，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65 【知识点】已知正(余)弦求余(正)弦、诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】用诱导公式、同角三角函数的关系和二倍角公式化简求值即可. 【详解】由诱导公式可得， 根据同角三角函数关系得， 因为且，故为第一象限角，因此， ，， ， 故选：C. 6.(24-25高一上·云南昭通·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.65 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、cos2x的降幂公式及应用 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解. 【详解】， 因为，即，， 解得，又，，所以. 故选：A． 7.(23-24高一上·浙江·期末)已知锐角满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】辅助角公式、二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据题意，结合三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得到，再利用余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由， 可得， 可得， 所以 可得 即， 可得 ， 所以，则. 故选：B. 8.(23-24高一下·四川成都·期中)已知，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A【难度】0.4 【知识点】二倍角的正弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】利用平方关系求出，再由求出，及可得答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 可得，， 所以. 故选：A. 二、多选题 9.(24-25高一上·广东汕头·期末)下列化简正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】BD【难度】0.65【知识点】二倍角的正切公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【详解】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 10.(23-24高一下·湖北黄冈·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、诱导公式五、六 【分析】先由得，对于A，由角即可判断得解；对于B，分析得出矛盾进而得，结合诱导公式即可得解；对于C，由和结合二倍角公式和诱导公式求出角A、B、C即可解；对于D，结合选项C利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，若角，则由及得及，不符合， 故角，则由及得， 所以即，故B正确； 对于C，由上， 所以由得，整理得， 解得或，由得，故， 所以，，故，故C正确； 对于D，因为即，所以由正弦定理，故D正确. 故选：BCD. 11.(24-25高一下·河北邯郸·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD【难度】0.4【知识点】余弦定理边角互化的应用、正弦定理边角互化的应用、三角恒等变换的化简问题、二倍角的余弦公式 【分析】根据正切函数的性质判断A，利用正弦定理得到，再由二倍角公式判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，首先证明，同理可得，，再利用作差法及两角差的正弦公式计算，即可判断D. 【详解】对于A：若， 则可得或或，即或或，故A错误； 对于B：若，则由正弦定理可得，则， 所以，即，故B正确； 对于C：若，由余弦定理可得， 即， 所以， 即， 所以， 所以， 所以，即，所以是直角三角形，故C正确； 对于D：因为为锐角三角形，所以，所以， 所以，同理可得，， 所以， 则 ， 即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12.(25-26高一上·天津·期末) 【答案】8【难度】0.65 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】根据同角三角函数基本关系切化弦及两角和差的正弦公式、二倍角公式即可化简计算. 【详解】原式 ． 故答案为：8. 13.(23-24高一上·广东广州·期末)如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为 ，此时 ． 【答案】；/【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、二倍角的正切公式、几何中的三角函数模型、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据题意，得到矩形的面积为，矩形的面积为，进而化简，结合三角函数的性质，以及基本关系式和正切的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知，一块半径为6，圆心角为的扇形铁皮， 可得且， 在直角中，，所以，所以， 所以矩形的面积为， 因为为的中点，所以，所以矩形的面积为， 所以两块矩形铁皮的面积之和为： ， 其中，且， 所以，当时，取得最大值， 此时，即，所以， 因为，所以，即， 解得或(不合题意，舍去)， 综上可得，当时，取得最大值. 故答案为：9； 14.(23-24高一下·江苏·期中)已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为 . 【答案】【难度】0.15 【知识点】求cosx(型)函数的值域、二倍角的余弦公式、正弦定理求外接圆半径、用定义求向量的数量积 【分析】借助向量数量积的定义，的外接圆的半径为及正弦定理，二倍角公式把表示成，在锐角三角形的前提下得到的范围，再借助的范围，即可求出的取值范围. 【详解】因为， ， 设的外接圆的半径为，则 ， ， 在中，由正弦定理可得， 又，所以， 所以 ， 因为，所以， 因为， 所以，所以， 又，所以，故， 所以，所以， 又在上都为增函数， 所以，故， 又，，， ，故， 所以， 其中当时，即点与点重合时左侧等号成立， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15.(23-24高一下·甘肃·期末)已知，，. (1)求的值；(2)求的值. 【答案】(1)；(2)【难度】0.94【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正(余)弦求余(正)弦 【分析】(1)利用同角三角函数关系式得，，结合两角差的余弦公式计算得出答案； (2)利用二倍角公式化简原式，代入计算可得结果； 【详解】(1)因为，， 所以，. 所以. (2). 16.(24-25高一下·天津滨海新区·期中)在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值；(2)若，求(i)的值；(ii)的值. 【答案】(1)；(2)(i)；(ii).【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式 【分析】(1)利用余弦定理可求出的值； (2)(i)利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； (ii)分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】(1)因为，可得，即， 由余弦定理可得. (2)(i)因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； (ii)因为，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 17.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(1)已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； (2)已知，，，求． 【答案】(1)；(2)【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正切公式、给值求值型问题 【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系式、两角差的余弦公式求得. (2)利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和的正切公式求得. 【详解】(1)由题意，是第四象限角，是第二象限角， 所以，， 所以； (2)因为，，， 所以，，则， 所以． 18.(25-26高一上·云南昭通·期末)已知α在第二象限，且． (1)求及的值；(2)求的值． 【答案】(1)，；(2)【难度】0.4【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的正切公式化简、求值、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】(1)利用两角和正切公式计算可求得，利用二倍角的余弦公式化简为的齐次式可求解； (2)利用诱导公式化简为的齐次式求解即可. 【详解】(1)由已知得， 所以． 因为． (2)因， 又因， 所以． 19.(24-25高一下·上海青浦·月考)已知. (1)用a表示的值；(2)用a表示的值；(3)用反证法证明：是无理数. 【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【难度】0.4 【知识点】万能公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式 【分析】(1)应用二倍角正弦公式及平方关系、商数关系有，即可得； (2)由二倍角正切公式得，再由和角正切公式求解； (3)假设为有理数，应用三角恒等变换依次得到为有理数，最后应用和角正切公式得到为有理数，得到矛盾，即可证. 【详解】(1)由； (2)由，则 ； (3)假设为有理数，则也是有理数， ， 所以也为有理数，同理可得为有理数， 由也是有理数，而为无理数， 所以，与假设有矛盾，则是无理数. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2-2 二倍角公式 讲义 教学目标 理解并掌握二倍角公式及常用公式变形，能够熟练应用公式解题. 教学重点 二倍角公式及变形. 教学难点 公式的灵活应用. 知识点01 二倍角公式 二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ． 【即学即练1-1】(25-26高一上·天津·期末)(    ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(多选)(22-23高一下·湖北·月考)下列各式中，值是的是(    ) A． B． C． D． 知识点02 常用公式变形 (1)万能公式： ， ， (2)降幂公式： ； ． (3)升幂公式：1＋cos α＝2； 1－cos α＝2； 1＋sin α＝； 1－sin α＝． (4)正切和差角公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 特别的　sin α±cos α＝sin； sin α±cos α＝2sin； sin α±cos α＝2sin． 【即学即练2-1】(25-26高一上·河北邯郸·月考)若，则(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)(22-23高一下·江苏连云港·月考)下列公式正确的有(    ) A． B． C． D． 题型01 二倍角的余弦 【典例1-1】(25-26高一上·宁夏固原·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(25-26高一下·全国·单元测试)(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(25-26高一上·福建厦门·期末)下列等式计算正确的是(    ) A． B． C． D． 【典例1-4】(25-26高一上·江苏南通·期末)若，则 . 【变式1-1】(25-26高一上·广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式1-2】(25-26高一下·全国·单元测试)已知，满足，且，则(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(25-26高一上·湖北随州·月考)若，则( ) A． B． C． D． 【变式1-4】(25-26高一上·安徽芜湖·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·江苏南京·期中)在锐角三角形中，角所对的边分别是，，则(    ) A． B． C． D． 【变式1-6】(25-26高一上·湖南益阳·期末)已知为锐角，若，则的最小值为 ． 题型02 二倍角的正弦 【典例2-1】(25-26高一上·宁夏银川·期末)已知，则( ) A． B． C． D． 【典例2-2】(25-26高一上·安徽六安·期末)下列各式中结果为1的是(   ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(25-26高一上·湖南长沙·期末)已知，下列计算结果正确的有(    ) A． B． C． D． 【典例2-4】(25-26高一上·河南许昌·期末)已知，则 ． 【变式2-1】(2025高一上·全国·专题练习)的值是(    ) A． B． C． D． 【变式2-2】(25-26高一上·湖北武汉·期末)化简的值为(   ) A． B．1 C． D．2 【变式2-3】(25-26高一上·浙江·期末)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式2-4】(25-26高一上·湖北武汉·期末)存在函数满足：对任意都有(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(24-25高一上·江西景德镇·期末)化简下式，正确的是( ) A．= B．= C． D．= 【变式2-6】(24-25高一下·江苏·期中)已知，，则 ． 题型03 二倍角的正切 【典例3-1】(25-26高一上·天津·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(23-24高一下·四川达州·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(25-26高一上·陕西榆林·期末)下列选项中与的值相等的是(   ) A． B． C． D． 【典例3-4】(24-25高一下·北京西城·期中)已知，则的值是 . 【变式3-1】(24-25高一下·山东枣庄·期末)有三个命题：①；②；③，其中正确命题的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】(25-26高一下·全国·单元测试)已知，，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-3】(25-26高一上·安徽合肥·期末)若为第二象限角，且，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-4】(25-26高一上·安徽阜阳·期末)已知，则的值等于(   ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(24-25高一上·山西·期末)已知，则下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D． 【变式3-6】(25-26高三上·安徽淮北·月考)求值： ． 题型04 常用公式变形 【典例4-1】(25-26高一上·福建福州·期末)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则(   ) A． B． C． D． 【典例4-2】(25-26高一上·江苏南通·期末)设角的终边经过点，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(25-26高一上·广东肇庆·期末)下列等式成立的是(   ) A． B． C． D． 【典例4-4】(25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期末)在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则 . 【变式4-1】(25-26高一上·河北承德·期末)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-2】(25-26高一上·河北邢台·期末)设，若，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】(25-26高一上·安徽芜湖·期末)已知，则(    ) A． B． C． D． 【变式4-4】(25-26高一上·安徽马鞍山·期末)已知角满足，则的值为(   ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(23-24高二上·四川成都·开学考试)下列等式成立的是(    ) A． B． C． D． 【变式4-6】(23-24高二上·河南·开学考试)已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则__________． 一、单选题 1.(2021高一·全国·专题练习)已知，则=(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高一下·河南南阳·期末)(    ) A． B． C． D． 3.(25-26高一上·河南周口·期末)(   ) A． B． C． D．1 4.(24-25高三上·安徽·月考)已知，则的值为(   ) A． B． C． D． 5.(25-26高一上·福建三明·期末)已知，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 6.(24-25高一上·云南昭通·期末)已知，，则(   ) A． B． C． D． 7.(23-24高一上·浙江·期末)已知锐角满足，则(    ) A． B． C． D． 8.(23-24高一下·四川成都·期中)已知，，则(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(24-25高一上·广东汕头·期末)下列化简正确的是(   ) A． B． C． D． 10.(23-24高一下·湖北黄冈·期中)在中，内角，，的对边分别为，，，，则(    ) A． B． C． D． 11.(24-25高一下·河北邯郸·期中)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则是直角三角形 D．若为锐角三角形，则 三、填空题 12.(25-26高一上·天津·期末) 13.(23-24高一上·广东广州·期末)如图，要在一块半径为6．圆心角为的扇形铁皮POQ中截取两块矩形铁皮ABCD和EFGC，使点A在弧PQ上，点B在半径OQ上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线段OB的中点．设，两块矩形铁皮的面积之和为S，则S的最大值为 ，此时 ． 14.(23-24高一下·江苏·期中)已知点为锐角的外接圆上任意一点，，则的取值范围为 . 四、解答题 15.(23-24高一下·甘肃·期末)已知，，. (1)求的值；(2)求的值. 16.(24-25高一下·天津滨海新区·期中)在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求的值；(2)若，求(i)的值；(ii)的值. 17.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末)(1)已知，是第四象限角，，是第二象限角，求的值； (2)已知，，，求． 18.(25-26高一上·云南昭通·期末)已知α在第二象限，且． (1)求及的值；(2)求的值． 19.(24-25高一下·上海青浦·月考)已知. (1)用a表示的值；(2)用a表示的值；(3)用反证法证明：是无理数. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-2二倍角公式讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01二倍角的余弦 2-2二倍角公式 题型02二倍角的正弦 知识点01二倍角公式 题型03二倍角的正切 题型04常用公式变形 知识点02常用公式变形 教学目标、教学重难点 教学目标 理解并掌握二倍角公式及常用公式变形，能够熟练应用公式解题， 教学重点 二倍角公式及变形 教学难点 公式的灵活应用. 知识清单 知识点01二倍角公式 二倍角公式： sin 2a=2sin acos a; cos 2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a; tan2a=(a≠lkm+号且a≠号+ke2刃， 【即学即练11】(25-26高一上天津期末)c0s2日-sim28=() B.月 c.-2 2 . 【即学即练1-2】（多选）(22-23高一下湖北月考)下列各式中，值是的是() A.cosxcos(x++sinxsin (x+ B.tan10°+tan35°+tan10tan35° tan22.5 2-c0s220° C.1-tan222.59 D. 3-sin500 知识点02常用公式变形 (1)万能公式：sin2a=2tama 1+tan2a’ cos2a=1-tan2a 1+tan2a’ (2)降幂公式：sin2a=1-cos2a 2 Cos2a=1+cos2a 2 Sinacosa=sin 2 第1页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6)升幂公式：1+cosa=2c0s2 1-cos a-2sin2 1+sina=(sin号+cos)2: 1-sin a=(sin-cos)2. (4)正切和差角公式变形：tana吐tanB=tan(c吐f)(1干tan atan B). 5)辅助角公式：asin+-bcos*=a2+6sin(+p)其中sin0=,cos0=). b 特别的sina肚cosa=V2sin(a±F): sin3cosa=2sin(a±)： V3 sin=2sin(a±君). 【即学即练2-1】(25-26高一上河北邯郸-月考)若tan(a+)=子则cos2a=() A B. C. 【即学即练2-2】（多选）22-23高一下江苏连云港·月考)下列公式正确的有() A.cosacosβ+sinasin/β=cos(a+β) B.c0s20=2c0s20-1 C.sin(π-a)=sina D.sin2=1-cosa 2 2 题型精讲 题型01二倍角的余弦 【典例1-1】(25-26高一上宁夏固原期末)已知sina=号，则cos2a=) A名 B.一5 c器 【典例1-2】(25-26高-下-全国单元测试)(cosg-sim)(cosg+sin)=(】 A. B。-3 C. D.9 【典例1-3】（多选25-26高一上·福建厦门期末）下列等式计算正确的是(） A.sin(180°-)=sina B.2sin222.5°-1=y2 2 C.cos26cos34+sinm26'sin34°=月 1-吃= 【典例1-4】(25-26高一上江苏南通期末)若cos(20-)=,则sin2(0+= 【变式1-1】(25-26高一上广东珠海·月考)在平面直角坐标系xOy中，若角a的顶点为坐标原点，始边与x 第2页共10页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 轴的非负半轴重合，终边经过点P(3,-4),则cos2的值为) A. C.25 7 【变式1-2】(25-26高一下全国单元测试已知a,P满足cos2a+cosa=sim(G+B)sim(G-P）+sin2B, 且a∈(0，D,则=() A君 B. c. D. 【变式1-3】(25-26高一上-湖北随州月考)若sin(a+)=3则sim(2a+=) A.月 c. 0.9 【变式1.4】(25-26高一上安徽芜湖期末)已知sim(0+君)=则sim(20-)) A B.- C.22 3 D.-22 3 【变式1-51（多选）(24-25高一下·江苏南京期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,sinC- sinA=2 sinAcosB,则() A.B=2A B.b2=a2+ac C.1<sinA+cosA< D.22 <、4si2A <1 2 3 4sinA-sinC 【变式1-6】(25-26高一上·湖南益阳·期末)已知a为锐角，若2sinB=cos(2a-B),则tanB的最小值 为 题型02二倍角的正弦 【典例2112526高一上宁夏银川，期末)已知c0sa-sima-号则sim2a=() A.-是 B.2 4 c.9 【典例2-2】(25-26高一上安徽六安期末)下列各式中结果为1的是() A.2(1-2sin215) B.1-tan150 1+tan150 C.2sin15°c0s15° D.cos40(1+V3tan10) 【典例2-3】（多选）25-26高一上，湖南长沙-期末)已知+3%=5，下列计算结果正确的有() 3cosa-sina A.tand= B.tanr=2C.cos2a+sim2a=号D.sin2a-cos2a=号 第3页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例2-41(25-26高一上河南许昌期末)已知sim(a-)=号，则sin2a= 【变式2-1】(2025高一上.全国.专题练习)W2sin75cos75的值是() A号 B.Z c.9 D.3 【变式2-2】(25-26高一上湖北武汉期末)化简（√3-tan10)·cos50的值为） A.-1 B.1 C.-2 D.2 变式23】25：26高-上浙江期末)已知a0=专侧0g的值为) A B.9 C. D. 〖变式2-4】(25-26高一上·湖北武汉·期末)存在函数f(x)满足：对任意x∈R都有() A.f(lx+11)=x2 B.f(x2-2x)=x-1 C.f(sin2x)=sinx D.f(cosx)=sin2x 【变式2-5】（多选）24-25高一上·江西景德镇期末)化简下式，正确的是() 1-cos2a A. =tana B.1-cos2a-tand 1+cos2a sin2a v3 C. sm100s10=4 D.2c0s20c0s40c0s80°号 【变式2-6】(24-25高-下-江苏期中)已知sin(20-君)=-子日∈(0，，则sim(0+)= 题型03二倍角的正切 【典例3-11(25-26高一上天津期末)已知tana=专则tan2a=) A.月 B. c.-号 D.- 【典例32】(23-24高-下-四川达州：期末)已知ae(（低身，4an(任-a)=tam2a,则品() sin2a+sin2a A号 B C.8 D.8 凰典例3-3】（多选）(25-26高一上陕西榆林.期末)下列选项中与ta35°的值相等的是() c0s20° 1 tan27.5 1+tan10 A.-tan665° B.1+sin20° C.2an27.5° 2 D.1-tani0° 【典例34】(24-25商下北京西城期中已知器=一专则tam2a的值是 1 第4页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式31】2425高-下-山东枣庄期末)有三个命题：①sn15c0s15°=子②os22.5°-sim22.5°=号 ®，一=京其中正确命题的个数为） A.0 B.1 C.2 D.3 【变式32】2526高一下全国单元测试已知x∈0，m,0sx=青则品() A.24 7 B.-24 7 C. D.-24 【变式33】(25-26高一上.安徽合肥期末)若a为第二象限角，且tan2a=,sn,则tana=() 2+cosa A.-V15 B.15 5 C.-V5 D.S 5 【变式34】(25-26高一上安徽阜阳期末)已知2cos(a+月+cos(a-)=0,则tam(2a+)的值等于() A.1 B.-2 c.言 D. 【变式35】（多选）24-25高一上山西·期末)已知tana=3tanB,a,B∈(0，)，则下列说法正确的是() A.若a=F则tan(a+B)=2 B.若a=2B,则a+B=月 c.tam(a-)的最大值为号 D.ina-2=马 sin(a+B)2 【变式36】(25-26高三上安微准北月考)求值：tan20tan40tan60tan80°= 题型04常用公式变形 【典例4-1】(25-26高一上·福建福州期末)己知角8的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终 边经过点(3,4)，则c0s28=(） A酷 c 0.器 【典例42】(25-26高一上江苏南通·期末)设角6的终边经过点P(-1,-V2,则sin26=() A.、2 D.-2V2 3 B. C.22 3 凰典例43】（多选)25-26高一上广东肇庆期末)下列等式成立的是() A.sin15rcos15°=月 B.1-2sim215°=3 2 c D. sin10°- 08104 【典例44】(25-26高一上新疆乌鲁木齐.期末)在平面直角坐标系xOy中，角a以Ox为始边，终边与单位圆 第5页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 交于点（停，-9 ,则c0s2a= 【变式41(25-26高一上河北承德期末)已知角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P(-3,4) 在角a的终边上，则sin(+2a)=() c 【变式42】2526高一上河北邪台期末设a∈(0，)，若sima-cosa=竖，则a=() A君 B.2 C. 0.12 【变式43】(25-26高一上·安微芜湖期末)已知tana=3,则sin2a=() A封 B. c. 0.是 【变式441(25-26高一上安徽马鞍山-期末已知角&，B满足sin(a+)=sin(a-)=子则cos2a+sin2B 的值为) A-月 c.- . 凰变式45】（多选23-24高二上四川成都开学考试）下列等式成立的是() A.sin26°-c0s26°=c0s12° B.4sin15°cos15°=1 C.sin6°-cos6°=-√2sin39° D. V3-tan15 +VBam15-1 变式46123-24高二上河南开学考试已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为abc,且2acos2号=a+c, 则A= 强化训练 一、单选题 1(2021高一全国专题练习)已知sin2a=子则c0s2(a+)) A.B.C.子 2.(24-25高一下河南南阳·期末 3tam 5 1-tan =() A.、3 2 B.、3 6 C. 第6页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 325-26高一上河南周口·期未，0+4sn20-() A.-V3 B.V3 C.-1 D.1 4,(24-25高三上安微月考)已知tan2g=3sim台t+sima3 则cos2a的值为) sina A月 B. C. 5,25-26高一上·福建三明期末)已知αe()若sin(-w)=景则sin(2a-)的值为) A.243-7 B.243+7 C.24-7g D.-24-75 50 50 50 50 62425高一上·云南昭通·期末)已知an0=常0c(0,),则24) sin2+cos9】 A.8 17 B.4 17 C. D.2匝 17 7.(23-24高一上.浙江期末)已知锐角a(a≠50)满足3cos(140°-)·cosa+sin(100°+a)=sin(a-20), 则cos2a=() A.司 B.- 0.9 823-24商一下四川成都期中已知os(（任+刘-号要<x<华则) 1-tanx B器 c-岩 二、多选题 9.(24-25高一上广东汕头·期末)下列化简正确的是() A.c0s72°c0s12°-sin72sim12°=月 B.sin15c0s15°=} C.c0s415°-sin415°=2 1 10.(23-24高一下-湖北黄冈：期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,cosA=simB=2c则 () A.A+B=号 B.2A+C=7 C.a=c D.b=v3a 11.(24-25高一下·河北邯郸期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若tan2A=tan2B,则A=B B.若a>b,则cos2A<cos2B 第7页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若acosB+acosC=b+c,则△ABC是直角三角形 D.若△ABc为锐角三角形，则sin(A-)>sin(任-B)+sin(任-C) 三、填空题 12.(25-26高一上·天津期末 √3tan10°+1 （2cos210°-1)sin10° 13.(23-24高一上广东广州期末)如图，要在一块半径为6.圆心角为45°的扇形铁皮P0Q中截取两块矩形 铁皮ABCD和EFGC,使点A在弧PQ上，点B在半径OO上，边CD与边GC在半径OP上，且点F为线 段OB的中点.设∠AOP=&,两块矩形铁皮的面积之和为S,则S的最大值为一，此时 tana D P 14.(23-24高一下江苏.期中)已知点D为锐角△ABC的外接圆0上任意一点，AB=2,AC=4,则(AC-0C)·BD 的取值范围为 四、解答题 15(23-24高一下甘肃期末)已知0<a<<B<,sina=手simB=号 (1)求c0s(B-)的值；(2)求m2a-cs的值. 1+cos2a 第8页共10页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 16.(24-25高一下.天津滨海新区.期中)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3(a-c)2=3b2-2ac. (1)求cosB的值；(2)若5a=3b,求(i)sinA的值；(i)cos(2A+B)的值， 17.(25-26高一上·黑龙江哈尔滨期末(1)已知cosa=子，a是第四象限角，sinB=子B是第二象限角，求cos(a- )的值： 2)已知tam=克sim8=,B∈(o,),求tan(c+20). 第9页共10页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.,25-26高一上云南昭通：期末)已知a在第二象限，且tana=- a求tam(e+男及sina-6os2a-1的值：a求29的值. cos(3-a)+cos(-a) 19.(24-25高一下.上海青浦·月考)已知tan1°=a. (1)用a表示sin2的值；(2)用a表示tan3的值；(3)用反证法证明：tan1°是无理数. 第10页共10页