8.1 平方根教学设计2025-2026学年人教版数学七年级下册

第八章 实数课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 8.1 第3课时　算术平方根的估算及其大小比较 1．会用计算器和估算的方法求一个非负数的算术平方根，并借此过程感受无限不循环的概念． 2．能用估算的方法确定无理数的大致范围，通过估算的训练，感受其在实际生活中的意义． 重点：用估算的方法确定无理数的大致范围． 难点：用估算的方法确定无理数的大致范围． 一、导入新课 知识链接 可以借用什么工具计算的大小呢？ 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值). 创设情境——见配套课件 二、合作探究　 探究点1：用计算器求一个数的算术平方根 思考： 用计算器怎样进行开平方运算 开平方运算要用到的键是 开平方运算的按键顺序为: 探索：用计算器求下列各式的值： （1）＝56. （2）＝1.414（精确到0.001）；　 【合作探究】 当 “天问一号” 火星探测器的速度大于第二宇宙速度 v (单位：m/s) 时，它就会克服地球引力，永远离开地球，飞向火星. v 的大小满足 v² = 2gR，其中 g 是地球表面的重力加速度，g ≈ 9.8 (单位：m/s2)，R 是地球半径， R ≈ 6.4×106 (单位：m). 怎样求 v 呢? (学生自主作答) 活动：阅读教材P44，P45探究题． （1）用计算器计算探究（1）表格中的算术平方根； （2）总结被开方数与算术平方根的规律； （3）计算探究（2）中的值，通过规律估算题中的近似值，并判断能否估算的值． 总结：被开方数的小数点向左或向右移动2n位时，算术平方根的小数点就相应的向左或向右移动n位（n为正整数）. 例1 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长与宽的比为 3∶2. 但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗? 问题1 求长方形纸片的长. 设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm.根据边长与面积的关系，得 3x·2x=300，6x2=300，x2=50. 由边长的实际意义，得x=. 因此长方形纸片的长为3cm.因为50 ＞ 49，所以50 ＞ 7. 问题2 这里是利用什么来比较大小的？ 这里利用的是与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小，依据是“被开方数越 大 ，对应的算术平方根就越 大 ”. 由上可知3＞21，即长方形纸片的长应该大于21cm. 问题3 根据结果作出判断. 因为=20，所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 不同意小明的说法,小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 估算(a＞0)：根据算术平方根的定义，有m2＜a＜n2，其中m，n是连续非负整数，则m＜＜n，则的整数部分为m，小数部分为－m. 教师补充：我们知道就是，根据乘法的意义可知即为3个相加； 而21=3×7，即3个7相加，根据经验容易得出＞21，这里不需利用不等式进行严格证明. 【练一练】 比较下列各组数的大小． （1）与2.24；（2）与0.5；（3）与1. 方法指导：（2）（3）可将0.5和1化为以2为分母的分数，然后再比较分子的大小． 解：（1）＜2.24.（2）＞0.5.（3）＜1. （学生自主计算，老师总结） （解析见配套课件） 三、当堂检测 1．依次按键，显示结果是（ A ） A．15 B．±15 C．－15 D．25 2．估计的值在（ A ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．下列整数中，与最接近的是（ B ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．比较大小：4＞（填“＞”或“＜”）. 5．利用计算器计算：2（－1）＋3≈4.46（精确到0.01）. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 本课时的教学设计探究性比较强，极大地提高了学生的课堂参与度，能让学生掌握算术平方根的意义、求法以及实际应用，了解算术平方根的非负性，运用算术平方根解决实际问题，并培养独立思考、合作探究的能力，建立初步的数感和符号意识，提升思维能力和实际应用能力． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 8.1 第1课时　平方根 1．了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．体会平方运算到求平方根的演变过程，理解二者的互逆关系，培养勤思考、勤动笔的习惯． 3．会利用平方和开方的互逆关系求某些非负数的平方根，对一些特殊的数及其平方根形成记忆． 重点：平方根的概念及平方根的求法． 难点：求非负数的平方根． 一、导入新课 “西兰卡普”是土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产．如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为4 m2，请问它的边长是多少？ 问题1：你算出的边长是多少？（2 m） 问题2：你是怎样算出这个边长的？ （通过正方形的面积公式反推出来） 问题3：因为正方形边长的平方等于面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢？这个数是唯一的吗？请大家带着问题进行探究． 二、合作探究 探究点一：平方根的概念 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？（3或－3） 问题2：根据问题1填写下表． x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 ± 思考1：上述表格得到的x值有什么特点？ （互为相反数） 思考2：一个数与自身相乘的乘积叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么？ （开平方） 要点归纳：定义1：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根． 定义2：求一个数的平方根的运算，叫作开平方． 根据所学内容回答“导入新课”问题3. （根据开平方求这个数，这个数并不唯一） 分别求下列各数的平方根： （1）；　（2）1.44；　（3）121. 解：（1）±.（2）±1.2.（3）±11. 判断对错： （1）8是64的平方根；（√） （2）－8是64的平方根；（√） （3）±8是64的平方根；（√） （4）一个数的平方等于81，则这个数是9.（×） （提示：当前阶段，要求一个非负数的平方根，根据平方与开平方的互逆关系进行求解．） 探究点二：平方根的性质 观察并思考： 思考1：观察以上内容你有什么发现？ （学生自主谈论，围绕平方和平方根的相关知识表达，言之有理即可） 思考2：1，4，9，的平方根分别是什么？ （±1，±2，±3，±） 思考3：0的平方根是多少？（0） 思考4：－1，－4，－9，－有平方根吗？（没有） （观察、讨论、归纳平方根的性质．） 要点归纳：性质1：正数有两个平方根，它们互为相反数． 性质2：0的平方根是0. 性质3：负数没有平方根．　 追问：前面我们学了一个数的平方的书写方式，那一个数的平方根又该如何表达呢？ （学生思考，老师给出答案） 要点归纳：正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根记为“－”，读作“负根号a”，则a的平方根可记为“±”，读作“正、负根号a”.0的平方根记为.　　　　　　　　　　　　　　　　 m－1与3－2m是某正数的两个不同的平方根，则m的值是（B） A．4 B．2 C．－2 D．－ 求下列式子中x的值． （1）x2＝49；　　　（2）4x2＝9. 解：（1）x＝±7；（2）x＝±. 三、当堂检测　 1．16的平方根是（ C ） A．4 B．－4 C．±4 D．±8 2．下列各数中没有平方根的是（ B ） A．0 B．－82 C．（－）2 D．－（－3） 3．下列说法正确的是（ D ） A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数 C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根 （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 平方根 本课时由国家非物质文化遗产作为导入，激发学生兴趣，让他们了解平方根的概念，在探究过程中，融入了百以内的数的平方根的求值，引导学生学会用平方运算求解平方根．由一个正数有两个互为相反数的平方根，让学生运用分类讨论的思想方法解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 实数课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 8.1 第2课时　算术平方根及 1．了解算术平方根的概念和意义． 2．会求一些非负数的算术平方根，能运用算术平方根进行计算求值，解决实际问题． 重点：了解算术平方根的概念，会求一些非负数的算术平方根． 难点：会求一些非负数的算术平方根． 一、导入新课 知识链接 结合第1课时的知识计算并思考下面的问题： 学校要举行美术作品比赛，小美画了一幅面积为25 dm2的正方形油画，请问这块正方形油画的边长是多少？ 问题1：正方形油画的边长是多少？（5 dm） 问题2：你是怎么得出这个结果的呢？ （由正方形的面积公式，通过平方和开方互为逆运算推算，且面积不能为负，所以得出5 dm.） 创设情境——见配套课件 二、合作探究 探究点一：算术平方根的概念和性质 计算下表中各正方形的边长： 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 1 3 4 6 问题1：结合平方根的概念，回答各正方形的边长与面积之间有什么关系？ （正方形的边长是面积值的正平方根） 问题2：以上数据中，面积和边长的大小有什么特点？ （面积越大，边长越大） 要点归纳：概念：正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根记为.规定：0的算术平方根是0. 性质1：一个正数的算术平方根是正数． 性质2：0的算术平方根是0. 性质3：负数没有算术平方根． 性质4：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．　 求下列各数的算术平方根． （1）121；　（2）0；　（3）；　（4）0.25. 解：（1）11. （2）0. （3）. （4）0.5. 已知3＋a的算术平方根是5，则a的值为22． 探究点二：估算一个数的算术平方根的近似值 拼一拼：能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？ 组织学生裁剪两个面积为1 dm2的小正方形，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形沿直角边拼在一起，回答下面的问题． 问题：根据正方形面积和边长的关系求大正方形的边长． （解析过程课件展示） 算一算：估算的大小． （1）如何比较1，，2之间的大小； ∵12＝1，（）2＝2，22＝4，∴1＜＜2. （2）确定1.4，，1.5之间的大小； ∵1.42＝1.96，1.52＝2.25，∴1.4＜＜1.5. （3）确定1.41，，1.42之间的大小． ∵1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4，∴1.41＜＜1.42. 如此反复可确定出更精确的近似值，此种方法叫作“夹逼法”．事实上，＝1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数． 要点归纳：用“夹逼法”求近似值的步骤： （1）通过估算，确定在哪两个连续整数之间； （2）通过试算，确定在哪两个连续的一位小数之间； （3）通过试算，确定在哪两个连续的两位小数之间； …… 如此反复，可求得更精确的近似值．　 例1 求下列各数的算术平方根： (1)100； (2) ； (3)0.0001. （学生自主计算，老师总结） （解析见配套课件） 三、当堂检测 1．依次按键，显示结果是（ A ） A．15 B．±15 C．－15 D．25 2．估计的值在（ A ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．下列整数中，与最接近的是（ B ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．比较大小：4＞（填“＞”或“＜”）. 5．利用计算器计算：2（－1）＋3≈4.46（精确到0.01）. （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 算术平方根 本课时的教学设计探究性比较强，极大地提高了学生的课堂参与度，能让学生掌握算术平方根的意义、求法以及实际应用，了解算术平方根的非负性，运用算术平方根解决实际问题，并培养独立思考、合作探究的能力，建立初步的数感和符号意识，提升思维能力和实际应用能力． 学科网（北京）股份有限公司 $