10.2 消元——解二元一次方程组教学设计2025-2026学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.2.1 代入消元法解二元一次方程组 第2课时 代入消元法解较复杂的二元一次方程组 1．会用代入消元法求稍复杂的二元一次方程组的解，进一步体会“消元”思想． 2．用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组． 重点：用代入消元法解稍复杂的二元一次方程组 难点：方程组中未知数的系数都不为1(或－1)时，如何用一个未知数表示另一个未知数从而实现代入消元的灵活运用. 一、导入新课 1. 什么是二元一次方程组？ 方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 2. 已知方程 2x + 3y - 1 = 0，用含 x 的代数式表示 y， 则 y =　　　； 用含 y 的代数式表示 x，则 x =　　　.  二、合作探究 探究点一：：用代入法解较复杂的二元一次方程组 例1　(教材P93例3)用代入法解方程组 问题1　类比上节课所学，用代入法求解这种未知数的系数都不为1或－1的二元一次方程组时，第一步应做些什么？ 应对某个方程进行变形，把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，并注意将被表示的未知数的系数化为1. 问题2　对于这个方程组，选择表示出哪个方程中的哪个未知数会使计算更简便？为什么？ 由于方程①中的x的系数的绝对值最小，所以在方程①中用含y的式子表示x会使计算更简便． 问题3　根据你在问题2中的结论，写出解答过程． 解：由①，得x＝y－.③ 把③代入②，得9(y－)＋7y＝39. 解这个方程，得y＝3. 把y＝3代入③，得x＝2. 所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是 问题4　解这个方程组时，可以先消去y吗？试试看. 可以. 解：由①，得y＝x＋.③ 把③代入②，得9x＋7(x＋)＝39. 解这个方程，得x＝2. 把x＝2代入③，得y＝3. 所以这个方程组的解是 总结 用代入法解二元一次方程组，变形有技巧： ①若方程组含一个未知数表示另一个未知数的关系式，直接代入. ②当未知数系数为 1 或 －1 ，选该系数的方程变形. ③未知数系数都不是 1 或 －1 时，通常选系数绝对值较小的方程变形. [练一练] 1. 用代入法解方程组: (1) (2) [延伸拓展]整体代入法解二元一次方程组 1. 解下列方程组：(1) (2) 答案：(1) (2) 归纳总结： 当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中某含有未知数的部分相同时，可把这一部分看作一个整体求解. 探究点二：代入法解二元一次方程组的应用 例2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500 g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量(按瓶计算)比为 2∶5．某厂每天生产这种消毒液 22.5 t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 等量关系：(1) 大瓶数 : 小瓶数= 2 : 5 ； (2) 大瓶所装消毒液 + 小瓶所装消毒液 = 总生产量． 解：设这些消毒液应该分装 x 大瓶、y 小瓶. 根据题意可列方程组) 由得 . ③ 把 ③代入得 解得 x = 20000. 把 x = 20000 代入 ③ ，得 y = 50000. 答：这些消毒液应该分装 20000 大瓶和 50000 小瓶 例3 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件. 某快递员星期一的送件数和揽件数分别为 120 件和 45 件，报酬为 270 元；他星期二的送件数和揽件数分别为 90 件和 25 件，报酬为 185 元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 分析： 送 120 件的报酬＋揽 45 件的报酬＝270， 120x＋45y ＝270， 送 90 件的报酬＋揽 25 件的报酬＝185. 90x＋25y ＝185. 解：设这名快递员每送一件的报酬是 x 元，每揽一件的报酬是 y 元. 由①，得 把③代入②，得90()＋25y＝185. 解这个方程，得y＝2. 把y＝2代入③，得x＝1.5 所以这个方程组的解是 答：这名快递员每送一件的报酬是 1.5 元，每揽一件的报酬是 2 元. 三、当堂检测 1.用代入法解方程组正确的解法是(　B　) A.先将①变形为x＝，再代入② B.先将①变形为y＝，再代入② C.先将②变形为x＝y－1，再代入① D.先将②变形为y＝9(4x－1)，再代入① 2.解方程组的最好方法是(　C　) A.由①得m＝，再代入② B.由②得m＝，再代入① C.由①得3m＝4n＋7，再代入② D.由②得9m＝10n－25，再代入① 3.用代入法解二元一次方程组： (1)解： (2)解： （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 本节课是上节课的扩充和延续，通过类比用代入法解简单的二元一次方程组来解决稍复杂的二元一次方程组问题．课堂中采用引导式的教学方法，通过具体实例让学生主动思考、尝试，从而更深刻地领悟代入法，进一步体会消元思想在解决数学问题中的应用. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.2.1 代入消元法解二元一次方程组 1．通过解决实际问题，结合一元一次方程的解法，掌握代入消元法的意义，发展抽象思维能力和转化迁移思想． 2．会用代入法解二元一次方程组，提高解题能力；在解题过程中渗透代入消元法的化归思想． 重点：用代入消元法解二元一次方程组． 难点：探索如何用代入法将“二元”转化为“一元”的消元过程． 一、导入新课 创设情境 引言：新疆是我国棉花的主要产地之一. 近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式. 某种棉大户租用 6 台大、小两种型号的采棉机， 1 h就完成了 8 hm2 棉田的采摘. 如果大型采棉机 1 h 完成 2 hm2 棉田的采摘，小型采棉机 1 h 完成 1 hm2 棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台? 一元一次方程：设大型采棉机 x 台，则小型采棉机 (6-x) 台. 2x + (6 - x) = 8 二元一次方程组：设大型采棉机 x 台，小型采棉机 y 台. 提问：如何求这个二元一次方程组的解 二、合作探究 探究点一：用一个未知数表示另外一个未知数 问题1：你能把方程①改写成用含x的式子表示y的形式吗？（y＝6－x） 问题2：你能把方程②改写成用含y的式子表示x的形式吗？（ x = ） 练习1.将以下方程用含x的式子表示y或用含y的式子表示x. （1）x－3y＝6；（2）x＋y＝－2；（3）3x＋2y＝1. 解：（1）x＝3y＋6；y＝. （2）x＝－y－2；y＝－x－2. （3）x＝；y＝. 探究点二：用代入法解二元一次方程组 问题1：在情境问题里①②两个方程中的x和y所表示的意义一样吗？（一样） 问题2：能否把探究点一问题1中所得的式子代入另一个方程中？代入后得到的方程是什么方程？ （把y＝6－x代入②得，2x + (6 － x) = 8.一元一次方程） 问题3：以上做法达到怎样的目的？ （消去未知数y，把二元一次方程组转化成一元一次方程） 追问1：解方程2x + (6 － x) = 8的结果是什么？能否由x的值得出y的值？ （x＝100，把x＝100代入①或者②，解方程得出y＝200） 追问2：结合上述例子，总结代入消元法的概念． 要点归纳：代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法． 例1 解方程组 课件出示，学生独立思考，老师总结． 归纳总结: 解二元一次方程组的步骤： 变形：用含有未知数的式子表示另一个未知数； 代入：把 y = ax + b (或 x = ay + b )代入另一个没有变形的方程； 求解：解一元一次方程得到一个未知数的值； 回代：把求得的未知数的值代入变形后的方程中； 写解：写出方程组的解 用代入法解方程组 课件出示，学生独立思考，老师总结． 例3 第一次买3个篮球和1个排球共花费380元，第二次买2个篮球和3个排球共花费440元，求篮球和排球的价格分别是多少元． 解：设一个篮球的单价是x元，一个排球的单价是y元．根据题意得由①得y＝380－3x③.把③代入②，得2x＋3（380－3x）＝440.解得x＝100.把x＝100代入③，得y＝80.所以这个方程组的解是答：一个篮球的单价是100元，一个排球的单价是80元． 要点归纳：代入消元法的步骤： 1．从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来； 2．把第1步中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数； 3．解所得的一元一次方程，求得另一个未知数的值．　 三、当堂检测 1．用代入法解方程组下列说法正确的是B A．直接把①代入②，消去y B．直接把①代入②，消去x C．直接把②代入①，消去y D．直接把②代入①，消去x 2．代入法解方程组时，代入正确的是C A．x－2－x＝7 B．x－2－2x＝7 C．x－2＋2x＝7 D．x－2＋x＝7 3．由方程组可得x与y的关系是A A．2x＋y＝4 B．2x＋y＝－4 C．2x－y＝4 D．2x－y＝－4 4．方程组的解是． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.2.2加减消元法解二元一次方程组 1. 用加减消元法解稍复杂的二元一次方程组.(重点) 2. 如何灵活运用加减消元法.(难点) 3. 能选择适当的方法解二元一次方程组.(难点) 一、导入新课 创设情境请观察下面的方程组：： 问题1：直接加减是否可以消去一个未知数? 为什么? 同一未知数的系数绝对值不相同无法通过直接加减消去未知数 问题 2：能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同? 根据等式的性质，在等式的两边同时乘以一个相同的数，等式仍成立 提问：如何用加减法消去 y ?（思考） 二、合作探究 　探究点1：加减消元法解较复杂的二元一次方程组 例1 用加减法解方程组： 解：①×2，得6x－4y＝8.③ ②＋③，得13x＝26，x＝2. 把x＝2代入①，得3×2－2y＝4，y＝1. 所以这个方程组的解是 例2 用加减法解方程组： 方法点拨：方程 ① 和 ② 中同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，应取系数的绝对值的最小公倍数 6，可以先消去 x，也可以先消去 y. 解：①×3，得 6x＋9y＝9. ③ ②×2，得 6x＋4y＝22. ④ ③－④，得 5y＝－13，解得 y＝－. 把 y＝－ 代入①，得 2x－＝3，解得 x＝ . ∴ 这个方程组的解为 要点归纳：　 【练一练】 1. 用加减法解方程组：（1） （2） [归纳总结] 用加减消元法解二元一次方程组的步骤： ①变形：找同一未知数(系数绝对值小的)系数的最小公倍数，将方程两边乘对应数. ②加减：同一未知数系数相反则相加，相等则相减 ③求解：解消元后的一元一次方程. ④回代：将结果代入原方程组简单方程. ⑤写解：用大括号联立两未知数的值. 探究点2：根据方程组的特点选择合适的方法 （1）　（2） （3） （4） 观察方程组： 讨论1：观察方程组中各未知数系数的特点，能直接用加减法消去一个未知数吗？ 讨论2：分别用代入法和加减法解上面的方程组，讨论什么样的方程适合用代入法，什么样方程组适合用加减法． （师生讨论，作出总结） 方法归纳： 解二元一次方程组的方法选择： 1. 优先代入法：任意一个未知数系数为 1 或 -1 时； 2. 优先加减法：同一个未知数系数系数相等(或相为相反数)或成整数倍. 例3 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何? 意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两? 三、当堂检测 1.解方程组：①②③④比较适宜的方法是(　A　) A.①③用代入法，②④用加减法 B.①②用代入法，③④用加减法 C.②③用代入法，①④用加减法 D.②④用代入法，①③用加减法 2.用加减消元法解方程组的最佳策略是(　A　) A.②－①×3，消去x B.①×9－②×3，消去x C.①×2＋②×7，消去y D.①×2－②×7，消去y 3.已知二元一次方程组用加减消元法解方程组正确的是(　D　) A.①×5－②×7 B.①×2＋②×3 C.①×7－②×5 D.①×7＋②×5 （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 用加减法解二元一次方程组的步骤： ①变形，使某个未知数的系数绝对值相等； ②加减消元； ③解一元一次方程； ④求另一个未知数的值，得方程组的解． 进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 二元一次方程组课堂伊始，教师展示生活中的实物图片，包括教室的黑板边缘、课桌的邻边与对边、铁轨、十字路口的道路等，引导学生观察：“这些图形中，两条直线的位置关系有哪些不同？”鼓励学生自由发言，教师结合学生回答，提炼出两种核心位置关系——相交与平行，引出本节课课题《相交线与平行线》。 接着，让学生动手操作：用两支铅笔在练习本上画出两条直线，观察它们的位置关系，要么相交，要么不相交（平行），明确本节课重点研究这两种位置关系的性质与判定，激发学生的探究兴趣，同时衔接小学阶段所学的基础认知，为后续学习做好铺垫。 二、探究新知（40分钟） （一）相交线的相关概念与性质 1. 教师在黑板上画出两条相交直线AB和CD，交点为O，引导学生观察：两条相交直线形成了几个角？（4个）分别标记为∠1、∠2、∠3、∠4。接着提问：“这些角之间有什么关系？”让学生用量角器测量每个角的度数，记录数据后小组讨论。 2. 小组代表发言后，教师总结：相邻的两个角（如∠1和∠2）有一条公共边，且另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角，邻补角之和为180°；相对的两个角（如∠1和∠3）有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，对顶角相等。 3. 即时练习：给出一组相交直线图形，让学生快速识别邻补角和对顶角，并计算未知角的度数，教师巡视指导，纠正学生的易错点，重点强调“对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角”。 （二）垂线的概念与性质 1. 教师在相交线的基础上，转动其中一条直线，引导学生观察：当其中一个角为90°时，其他三个角的度数是多少？（均为90°）此时，教师给出垂线的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，用符号“⊥”表示。 2. 探究垂线的性质：让学生过直线AB外一点P，尝试画直线AB的垂线，观察能画出几条？通过动手操作，学生发现：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。接着，引导学生测量点P到直线AB的不同线段的长度，发现垂线段最短，总结出“垂线段最短”的性质，并明确点到直线的距离就是垂线段的长度。 3. 应用练习：结合生活实例，如“从直线道路旁的村庄到道路的最短路径”，让学生运用垂线性质解决实际问题，加深对知识点的理解。 （三）平行线的概念与判定 1. 教师展示铁轨、黑板对边等平行图形，给出平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，用符号“∥”表示，强调“同一平面内”是前提条件（避免学生混淆空间中不相交的直线）。 2. 探究平行线的判定方法：教师画出一条截线EF，分别与两条直线AB、CD相交，形成同位角、内错角、同旁内角，引导学生观察：当同位角相等时，AB和CD的位置关系是什么？（平行）通过测量、平移等操作，总结出平行线的三个判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。 3. 教师结合图形，逐一讲解每种判定方法的含义，演示如何利用判定方法判断两条直线是否平行，重点强调“同位角、内错角、同旁内角是由截线和被截线组成的，找准截线是关键”。 三、巩固练习（25分钟） 1. 基础题：给出相交线图形，求邻补角、对顶角的度数；判断两条直线是否垂直，测量点到直线的距离；利用平行线判定方法，判断两条直线是否平行，巩固本节课基础知识点，确保每位学生掌握核心内容。 2. 提升题：设计综合性题目，如“已知两条直线被截，同位角相等，求证内错角相等”，引导学生运用所学知识进行简单推理，培养学生的逻辑思维能力；结合生活实例，如“修建高速公路时，如何保证两条车道平行”，让学生运用平行线判定方法解决实际问题，体现数学与生活的联系。 3. 纠错练习：收集学生练习中的易错点，如混淆邻补角与对顶角、忽略“同一平面内”的前提、判断平行线时找错同位角等，进行集中讲解，帮助学生纠正错误，加深理解。 四、课堂小结（5分钟） 教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：“本节课我们学习了相交线与平行线的哪些知识点？邻补角、对顶角有什么性质？垂线的性质是什么？平行线的判定方法有哪些？”让学生自主发言，梳理知识点。 教师结合学生回答，进行总结梳理，形成知识框架：相交线（邻补角、对顶角）→ 垂线（定义、性质）→ 平行线（定义、判定方法），强调重点难点，帮助学生构建完整的知识体系，同时提醒学生注意易错点，加深记忆。 五、布置作业（5分钟） 1. 基础作业：完成教材对应练习题，巩固邻补角、对顶角、垂线、平行线的基础知识点，确保学生掌握基本技能。 2. 拓展作业：让学生观察生活中更多相交线与平行线的实例，记录下来并说明其对应的知识点；尝试用平行线判定方法，画出一组平行线，培养学生的观察能力和动手操作能力。 3. 预习作业：预习平行线的性质，为下一节课学习做好铺垫。 整个教学过程注重学生的动手操作、小组合作与自主探究，结合生活实例，让学生在实践中理解知识点，培养学生的观察能力、逻辑思维能力和解决实际问题的能力，确保教学目标顺利达成。 10.2.2加减消元法解二元一次方程组 第1课时 加减消元法解简单的二元一次方程组 1．掌握用加减法解二元一次方程组． 2．使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法． 重点：如何用加减法解二元一次方程组． 难点：如何运用加减法进行消元． 一、导入新课 问题1：解二元一次方程组的基本思路是什么? 基本思路：消元 问题2：根据等式性质填空： ①如果 a = b，那么 a±c = ______. ②如果 a = b，那么 ac = _______. ③如果 a = b，c = d，那么 a±c = b±d 成立吗? 答：① b±c ；② bc 请观察下面的方程组： （1）　　　（2） 除了代入消元法，你还有别的办法消去x吗？ （思考） 二、合作探究 探究点一：同一未知数的系数相同或者互为相反数 问题1：方程组（1）的两个方程中，y的系数有什么关系？（y的系数相同） 问题2：方程组（2）的两个方程中，x的系数有什么关系？（x的系数互为相反数） 问题3：（2x＋y）－（x＋y）＝8－6这个等式成立吗？ （根据等式的性质，在等式的两边同时加上或减去一个相等的式子，等式仍成立．） 问题4：化简问题3中的等式，你得到了一个什么方程？ （x＝2，为一元一次方程） 思考：按照上述思路，方程组（2）你能消去一个未知数吗？ 追问：结合上述例子，总结加减消元法的概念． 要点归纳：加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中某个未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． [合作探究] 1、对于加减消元法，应该如何确定使用加法还是减法进行消元？ 答：观察同一个未知数的系数，系数相同的采用减法，互为相反数则使用加法. 2、使用加减消元法时有哪些需要注意事项？ ① 对 x 和 y 中系数绝对值较小的使用加减消元法能够减小计算量. ② 需要注意计算时的符号，必要时可以使用添括号法则. 解二元一次方程组： 解：①－②，得－8y＝8，y＝－1. 把y＝－1代入②得，得2x＋3×（－1）＝－1，x＝1. 所以这个方程组的解是 用加减法解方程组 解：①＋②，得 5x = 15. ③ x = 3 . 把 x = 3 代入①，得3×3＋ = 0. y = －18. 所以这个方程组的解是 思考：把 x = 3代入②，可以解得 y 吗? 要点归纳： 用加减消元法解二元一次方程组的步骤： 1. 加减：两个方程中某个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，转化为一元一次方程. 2. 求解：解消元后的一元一次方程. 3. 回代：把求得的未知数的值代入方程组中系数绝对值较小的方程中. 4. 写解：表示为 的形式. [练一练] 1. 请用加减法解二元一次方程组： (1) (2) (2) 答：1. (2) 2. 已知关于 x， y 的二元一次方程的解满足x－y＝4， 则 m 的值为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答：B 三、当堂检测 1．方程组由②－①，得正确的方程是（B） A．3x＝10 B．x＝5 C．3x＝－5 D．x＝－5 2．已知关于x，y的方程组则y是（A） A．5 B．2a－5 C．a－5 D．2a （其他课堂拓展题，见配套PPT） 四、课堂小结【板书设计】 用加减法解二元一次方程组的步骤： ①变形，使某个未知数的系数绝对值相等； ②加减消元； ③解一元一次方程； ④求另一个未知数的值，得方程组的解． 进一步理解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想．选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析问题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $