6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量在几何与物理中的应用，通过初中几何问题（如三角形中位线平行、直径圆周角直角等）对比传统辅助线法，引出向量方法，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以典例分析（如用基底法证明三角形中位线性质、坐标法解决平行四边形对角线问题）培养数学运算与数学建模素养，结合物理实例（共提旅行包、船航行问题）发展直观想象。小结归纳向量法解题步骤，帮助学生形成结构化思维，教师使用可提升教学效率。

第六章 平面向量及其应用 6.4平面向量的应用 6.4.1平面几何中的向量方法 &6.4.2 向量在物理中的应用举例 学 习 目 标 1 2 3 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 体会向量在解决数学和实际问题中的作用，提升运算能力及解决问题的能力. 通过运用向量方法解决平面几何问题和力学等实际问题，培养直观想象、数学运算和数学建模素养. 新课引入 问题1（平行）：如何证明三角形中位线平行于底边。 问题2（垂直）：如何证明直径所对的圆周角是直角。 问题2（长度）：如何证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 这些问题，用初中的几何知识（全等、相似、勾股定理等）都能解决，但是，这些证明方法往往需要添加巧妙的辅助线，思路比较独特。今天，我们用向量来解决这些几何问题。 新课引入 向量平行 向量 向量垂直 向量 长度 当 （两点间距离公式） 夹角 典例分析 例1 如图，是的中线，用向量方法证明：，. 【分析】在初中，我们常借助内错角、同位角、同旁内角判定两直线平行。还可以借助平行四边形进行证明。你能用初中方法先尝试证明这一结论吗？ F C A B D E 证明：延长DE至点F,使DE=EF,连结CF ∵E为AC中点，∴AE=EC ∴BC=DF=2DE,且DE∥BC ∴四边形DBCF为平行四边形 又∵AD=BD,∴BD=CF ∴AB∥CF,即BD∥CF ∴AD=CF,∠ADE=∠F ∴△AED≌△CEF(SAS) 又∵DE=EF,∠AED=∠CEF 典例分析 例1 如图，是的中线，用向量方法证明：，. 【分析】要想证明，，只需证明 证明：如图，因为是的中线， 所以，. 从而. 又所以. 于是 知识小结 向量法解决平面几何问题的基本思路 转 化 用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题 通过向量运算研究几何元素之间的关系 把运算结果“翻译”成几何关系 运 算 翻 译 典例分析 例2 如图，已知平行四边形，你能发现对角线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？ 【分析】研究对角线、的长度与两条邻边、的长度之间的关系即研究、、、间关系。研究向量问题一般采用基底法或坐标法。 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，， 则，. 典例分析 例2 如图，已知平行四边形，你能发现对角线的长度与两条邻边的长度之间的关系吗？ 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，. 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：. 结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和。 知识小结 向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）基底法：选取适当的基底（原则：模已知，夹角已知）, 将向量用基底表示，并进行相关运算. （2）坐标法：建立恰当的平面直角坐标系,实现向量的坐标化, 将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 即时训练 1.若点是内一点，且满足，求证： 【分析】要证，只需证 A D C B 解：设，，， 则， 因为， 化简，得，即是 所以，故 题型1 用向量方法解决平面几何中的平行问题 1.已知在直角梯形中，，，过点作 于，为的中点，用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 【分析】要证三点共线，即证 与共线且有公共点 解：由已知得四边形为正方形，设, . （1）,, , ,即 . （2）连接,,, , ,又与有公共点，,, 三点共线. 基底法 题型1 用向量方法解决平面几何中的平行问题 1.已知在直角梯形中，，，过点作 于，为的中点，用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，连接,. 向量法 （在建立平面直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上， 使更多的线与轴、 轴平行） 令，则， ．，且 , 四边形 为正方形， 可求得各点的坐标分别为，，， ． 题型1 用向量方法解决平面几何中的平行问题 1.已知在直角梯形中，，，过点作 于，为的中点，用向量的方法证明： （1）； （2）三点共线． 解：（1） , , , ,即 . （2）为的中点， , , . , . 又与有公共点，，， 三点共线． 题型2 用向量方法解决平面几何中的垂直问题 2. 如图，在正方形中，分别是，的中点，求证： . 解：建立如图平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则， , , , 则， .因为 , 所以，即 基底法 （选取基底，证明 ） 向量法 （建系，利用坐标法求 ） 解：设, ，则, , 又 , , 所以 . 故，即 . 题型3 用向量方法求线段的长度或证明线段相等 3. 如图，四边形是正方形，是对角线上的一点，，分别在边，上，且四边形是矩形，试用向量法证明： . 解：易知点，， 都不在端点处，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，，则 ， , , , , ， . 新知探究 除了几何上的应用外，向量还有什么应用吗？我们知道在物理上，位移、力、速度等等都属于向量，那么向量在物理上有什么应用呢？ 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 典例分析 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 【分析】上述问题可以抽象为如图所示的数学模型，只要分析清楚、、三者之间的关系，就可以得到问题的数学解释。 解：设两个拉力分别为和且，夹角为，旅行包的重力为 因为， 所以由菱形的性质得，即 。 典例分析 例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 解：因为 ，所以 因为，且当时，单调递减 所以当越小时，越大，越小 典例分析 例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 【分析】如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的。考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸。 典例分析 例4 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着 方向行驶时，船的航程最短. 如图，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 知识小结 向量法解决物理问题的基本思路 问题转化 建立模型 求解参数 回答问题 把物理问题转化为数学问题 建立以向量为载体的数学模型 求向量的模、夹角、数量积等 把所得的数学结论回归到物理问题中 即时训练 1. 已知两恒力作用于同一质点，使之由点移动到点，求分别对质点所做的功. 解：设物体在力作用下的位移为，则所做的功为 ∵ ∴(焦)， (焦). 即时训练 2. 已知两恒力作用于同一质点，使之由点移动到点，求的合力对质点所做的功. 解：设物体在力作用下的位移为，则所做的功为 ∵ ∴(焦)， (焦). 课堂总结 几何问题 物理问题 感谢聆听! $