6.2.4向量的数量积（第1课时）（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦向量的数量积及投影向量，通过物理中“功的计算”情境导入，前情回顾向量加减、数乘运算，搭建新旧知识衔接的学习支架，帮助学生自然过渡到新知识探究。 其亮点在于以“功”为现实模型培养数学眼光，通过概念辨析和公式推导发展数学思维，结合正三角形、单位向量等实例强化数学语言表达。课堂小结结构化呈现核心公式，助力学生系统掌握知识，教师可通过题型训练提升教学效率。

6.2.4 向量的数量积 第一课时 第六章 平面向量及其应用 前情回顾 向量的 加法运算 三角形法则 平行四边形法则 首尾相连接 共起点，不共线 向量的 减法运算 记忆：“ 共起点，练终点，方向指被减 ” 三角形法则 前情回顾 向量的 数乘运算 向量的 数乘运算 共线定理 的长度为： 的方向为： ①当时， 的方向与的方向相同； ②当 时， 的方向与的方向相反； ③当 时，＝.　 向量与 共线（ 即 ）的充要条件是： 存在唯一一个实数，使得 学 习 目 标 1 2 3 理解向量的夹角，掌握向量的数量积公式和夹角公式. 理解向量投影的概念，能推导投影向量的表达式. 应用向量的数量积和投影向量解决相关问题. 读教材 阅读课本P17-P19，5分钟后完成下列问题： 1. 两个有公共点的向量所在线段形成的角就是向量的夹角吗？ 我们一起来探究“向量的数量积”吧！ 2. 向量的数量积公式和夹角公式是什么？ 3. 投影和投影向量公式是什么？ 新课引入 前面我们学习了向量的加法、减法和数乘运算，那么两个向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 如图：八戒用拉着行李箱，向东的位移，力与位移夹角为45°， 如何计算力所做的功？ 思考：能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？ 功 学习过程 01 03 02 目录 1 向量的数量积 2 投影向量 3 题型训练 新知探究1 探究1 回忆物理中功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移， 那么力所做的功应该怎么求？ 数学上，我们把“功”称为向量与向量的“数量积”. “数量积”即是两个向量相乘的结果. 功 思考：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？ 标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 新知1 已知两个非零向量，，如图，是平面上的任意一点， 作 ， 则叫做向量与的夹角. 1.向量的夹角： 向量的数量积 θ 注：(1)向量的夹角可表示为<>；(2)向量夹角范围是； (3)两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角. 当时 与方向相同 当时 与方向相反 当时， 与方向垂直，记作： 新知1 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量 叫做 向量的数量积（或内积），记作. 即 2.向量的数量积： 向量的数量积 θ 规定，零向量与任一向量的数量积为0，即. 注：与之间只能用实心圆点“”连接，且不能省略，也不能用“×”； (2)向量的数量积运算结果是一个数量，而不是向量. 新知1 3.向量数量积的性质： 向量的数量积 设是非零向量，它们的夹角是， 是与方向相同的单位向量，则 ① ② (因为) ③当同向时， ；当反向时， ； 特别地， 或 ④ θ 概念辨析 思考：数量积的正负由什么确定？ 数量积公式： 夹角公式： 练习巩固 例1：(1)已知=3=4， 与的夹角，求. (2)已知=3，=4， ，求与的夹角θ. 解：(1) (2) 因为，所以 练习巩固 例2：已知正△ABC的边长为1，求： · ；(2) · ；(3) · . 解：(1)∵与的夹角为60°， ∴ (2)∵与的夹角为120°， ∴ (3)∵与的夹角为60°， ∴ C 学习过程 01 03 02 目录 1 向量的数量积 2 投影向量 3 题型训练 新知探究2 探究2 在计算所做的功的过程中，我们可以先求力在物体运动方向上 的分力，你能将其表示出来吗？ 如何用向量 如图， 叫做向量在 上的投影向量. 新知探究2 如何用向量 在上的投影：= 在上的投影向量： 的长度： 的方向：与向量 新知2 1.投影向量： 投影向量 设，是两个非零向量，，，我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. 在上的投影：在上的投影向量： 练习巩固 例1：已知， ，设的夹角为135°，求上的投影向量？ 解： 上的投影向量为： 练习巩固 例2：已知为单位向量，当向量的夹角等于45°， 求：向量在向量上的投影向量？ 解：当向量的夹角等于45°时，向量在向量上的投影向量为： 学习过程 01 03 02 目录 1 向量的数量积 2 投影向量 3 题型训练 向量的数量积及应用 题型1 题型探究 例1 在中，，，则与的夹角是（ ） A.30° B.60° C.120° D.150° 解：如图：作向量， 则的夹角， 在中，因为， 所以，所以。 C 向量的数量积及应用 题型1 题型探究 例2 (1)已知，，求与的数量积？ 解：(1)当时，若与同向，则， 若与反向，则， 例2 (2)已知，，求与的数量积？ 解：(2)当与的夹角为60°时， 向量的数量积及应用 题型1 题型探究 例3 设，，求与的夹角？ 解：由，得 因为，所以 投影向量及其应用 题型2 题型探究 例4 在已知的夹角为135°，求向量在上的投影向量的模？ 解： (－1)=－15， 在上的投影向量的模为： 3. 投影向量及其应用 题型2 题型探究 例5 在已知的夹角为135°，求向量在上的投影向量？ 解： (－1)=－15， 在上的投影向量的为： . 课堂小结 向量的 数乘运算 向量的 数量积 投影向量 数量积公式： θ 夹角公式： 在上的投影： 在上的投影向量： 感谢聆听! $